用U曲线法确定岭估计中的岭参数

鲁洋为，王振杰

用U曲线法确定岭估计中的岭参数

鲁洋为，王振杰

(中国石油大学(华东) 地球科学与技术学院，山东 青岛 266580)

在岭估计中，岭参数的确定是关键。本文针对岭估计中岭参数确定困难的问题，提出采用U曲线法确定岭参数，并将U曲线法与L曲线法、GCV法进行了比较，结果表明：用U曲线法确定岭参数能获得较高精度的解，与L曲线法及GCV法相比，具有一定的优势。

岭估计；岭参数；U曲线法；L曲线法；GCV法

0 引言

在测量数据处理中，一般采用有偏估计来改善病态条件下的最小二乘解，其中岭估计是常用的方法[1-8]。在岭估计中，岭参数的选择是关键，不同的岭参数，解算的结果会有所差别。目前，岭参数的确定方法主要有岭迹法[9-10]、广义交叉核实法(generalized cross validation，GCV)[11-13]和L曲线法[14-18]。岭迹法比较直观，但是具有一定的主观性；GCV法在理论上能够获取最优的岭参数，但有时GCV函数的变化过于平缓，定位其最小值很困难[9-10]；L曲线法可以比较容易的获得岭参数，并且能够得到比较精确的解，但L曲线法存在求解结果过于依赖曲线拟合精度[19]、求解过程可能不收敛等缺点[20]。本文研究采用U曲线法来确定岭参数[19-22]，并通过算例，将U曲线法与L曲线法、GCV法进行了比较，分析了U曲线法的性能，得出了一些有益的结论。

1 U曲线法确定岭参数的基本原理

1.1 岭估计的原理

设有观测方程

L=AX+Δ

(1)

(2)

由式(1)和式(2)可得岭估计的解为

(3)

1.2U曲线法的基本原理

岭参数的选择方法很多，其中最常用的方法是GCV法[11]和L曲线法[14-15]。GCV法确定岭参数，则要求GCV函数的最小值，由(1)、式(3)得GCV函数为：

(4)

式(4)中，H(α)=A(ATPA+αI)-1ATP，n为观测值个数，tr为矩阵的迹。

当式(4)取最小值时的α即为GCV法所确定的岭参数，GCV法的优点是，当式(4)的最小值存在时，可以选择一个最优的岭参数；它的缺点是，GCV函数有时变化过于平缓，这时定位它的最小值很困难。

U曲线法与L曲线法有所不同，U曲线法根据定义的U(α)函数，得到U(α)-α曲线，曲线左侧曲率最大点的α即为U曲线法所确定的岭参数。U曲线函数的定义为：

(5)

U曲线法和L曲线法的关键都是定位曲线中曲率最大的点，对于U曲线，其曲率可以表示为：

(6)

式(6)中，U(α)′、U(α)″分别为U(α)的一阶导数和二阶导数，并且

(7)

(8)

式(7)、式(8)中x(α)、y(α)的一阶导数、二阶导数x(α)′、x(α)″、y(α)′、y(α)″的计算可参考文献[21]。

由文献[19，21]可知，U(α)函数具有以下性质：

(1)U曲线在区间 (0，)内严格递减，在区间(，+∞)内严格递增；

(2)U曲线在区间(，)内存在局部极小值，并且当设计矩阵A只有一个非零奇异值时，U(α)存在唯一的极小值；

采用U曲线法确定岭参数时，对式(6)在区间 (，)内求最大值，定位出U曲线左侧曲率的最大值点，该点所对应的α即为所求的岭参数。

由以上分析可以看出，U曲线法不需要进行曲线拟合，其计算量要小于L曲线法的计算量，也不会出现曲线发散，无法确定岭参数的现象，与L曲线法及GCV法相比，U曲线法更适合用于确定岭参数。

2 算例分析

图1 用U曲线法确定岭参数的示意图

合；GCV法在本例中也能够准确的定位出GCV函数的最小值点，确定岭参数，没有出现发散的现象。

图2 用L曲线法确定岭参数的示意图

图3 用GCV法确定岭参数的示意图

基于这三种方法的岭估计结果如表1所示，可以看出，基于L曲线法和GCV法的岭估计解算的未知数估值与真值之差的二范数分别为：0.356 1、0.373 3，即L曲线法略优于GCV法；而基于U曲线法的岭估计解算出的未知参数的估值与真值之差的二范数为0.270 6，其精度明显优于L曲线法和GCV法的精度。

表1 岭参数及‖△‖

3 结束语

U曲线法具有理论严密，定位准确的特点，与L曲线法相比，具有计算量小，不需要进行曲线拟合的优势；与GCV法和L曲线法不同，U曲线法不会出现无法确定岭参数的现象；基于U曲线法的岭估计结果的精度优于基于L曲线法、GCV法的岭估计结果的精度，值得进一步研究与推广应用。

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Determining the Ridge Parameter in Ridge Estimation Using U-curve Method

LUYang-wei，WANGZhen-jie

(School of Geosciences，China University of Petroleum，Qingdao 266580，China)

The determination of ridge parameter is a key problem in ridge estimation，and the U-curve method is used to determine ridge parameter in this paper.We also compare the U-curve method with L-curve method and GCV method using an example and the results show that the U-curve method can get higher accuracy and have an advantage over L-curve method and GCV method.

ridge estimation；ridge parameter；U-curve method；L-curve method；GCV method

鲁洋为，王振杰.用U曲线法确定岭估计中的岭参数[J].导航定位学报,2015,3(3):132-134+138.(LU Yang-wei,WANG Zhen-jie.Determining the Ridge Parameter in Ridge Estimation Using U-curve Method[J].Journal of Navigation and Positioning,2015,3(3):132-134+138.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20150326.

2015-05-18

国家自然科学基金(41374008)。

鲁洋为(1990—)，男，陕西安康人，硕士生，研究方向为GNSS定位与测量数据处理。

P228

A

2095-4999(2015)-03-0132-03