基于CGCS2000椭球的大地测量实用公式

王爱生，徐 欢，张 棋，魏 猛

基于CGCS2000椭球的大地测量实用公式

王爱生，徐 欢，张 棋，魏 猛

(江苏师范大学 测绘学院，江苏 徐州 221116)

针对目前已出版的文献中都没有给出有关2000中国大地测量坐标系统对应椭球(CGCS2000椭球)的实用公式，根据大地测量学中有关椭球计算和高斯投影的基本公式，使用CGCS2000椭球参数，给出多种常用计算公式的实用公式，包括子午圈曲率半径、卯酉圈曲率半径、子午线弧长、底点纬度、白塞尔大地主题解算的A、B、C等系数、高斯投影等，有些公式形式简单、使用方便，特别适合工程技术人员，有些公式有几种表示方法，适合理论推导和演算。每个公式都附有算例来验证其正确性，通过这些算例也能了解公式的适用性。

CGCS2000椭球；实用公式；曲率半径；子午线弧长；底点纬度；白塞尔大地主题；高斯投影

0 引言

在大地测量计算时，会涉及到复杂的计算公式和长长的椭球参数。因此，希望有比较简单的实用公式直接应用。以往针对克拉索夫斯基椭球和IAG-75椭球的实用公式在许多文献中都会找到。例如，针对克拉索夫斯基椭球的主曲率半径的实用公式[1-3]、针对IAG-75椭球的主曲率半径计算公式[1-2，4]、针对克拉索夫斯基椭球的子午线弧长实用公式[1-8]、针对IAG-75椭球的子午线弧长实用公式[1-2，4，6-8]、针对克拉索夫斯基椭球的底点纬度实用公式[1，3-5，7-8]、针对IAG-75椭球的底点纬度实用公式[1][4-5，7-8]；针对克拉索夫斯基椭球的白塞尔大地主题计算A、B、C等系数的实用公式[1-2]、针对IAG-75椭球的白塞尔大地主题计算A、B、C等系数的实用公式[1-2]、针对克拉索夫斯基椭球的高斯投影计算的实用公式[1-3，5]、针对IAG-75椭球的高斯投影计算实用公式[1-2，5]。从2008-07-01起，我国正式使用2000国家大地坐标系(China Geodetic Coordinate System 2000，CGCS2000)，其对应的椭球为CGCS2000椭球[9-10]。北斗卫星导航系统(BeiDou navigation satellite system，BDS)使用的坐标系也是CGCS2000[11]。但是目前针对CGCS2000椭球的实用公式还很少见到，文献[6]曾给出针对CGCS2000椭球的子午线弧长的实用公式。因此，本文将不加推导给出主曲率半径、子午线弧长、底点纬度、白塞尔大地主题解算的系数以及高斯投影正算和反算的实用公式，并通过算例检核公式的正确性。

1 CGCS2000椭球参数

表1是CGCS2000椭球参数以及其它常用的椭球参数[1，6，10]。表1中a是椭球的长半径，b是椭球的短半径，f是椭球的扁率，e2是椭球的第一偏心率，e′2是椭球的第二偏心率，c是椭球的极曲率半径。我国的1954年北京坐标系使用克拉索夫斯基椭球，1980西安坐标系使用IAG-75椭球。表中可见，CGCS2000椭球与WGS84椭球仅有微小的差别。

2 主曲率半径级数展开公式

主曲率半径是指子午圈的曲率半径M和卯酉圈的曲率半径N，基本公式是：

(1)

2.1 正弦级数展开式

M=m0+m2sin2B+m4sin4B+m6sin6B+

m8sin8B+m10sin10B

(2)

N=n0+n2sin2B+n4sin4B+n6sin6B+

n8sin8B+n10sin10B

(3)

式(2)中，m0=6 335 439.327 08，m2=63 617.757 70，m4=532.351 81，m6=4.157 73，m8=0.031 31，m10=0.000 23；式(3)中，n0=6 378 137.000 00，n2=21 348.836 46，n4=107.187 92，n6=0.597 96，n8=0.003 50，n10=0.000 02

2.2 余弦级数展开式

(4)

(5)

2.3 算例

选取不同的纬度B进行代入公式(1)、(2)和(4)计算的子午线曲率半径M，代入公式(1)、(3)和(5)计算的卯酉圈曲率半径N，结果如表2。

表1 几种常用的椭球参数

表2 主曲率半径计算

3 子午线弧长与底点纬度

子午线弧长是在子午线上纬度从0到B的曲线距离，用X表示，以m为单位。底点纬度是子午线弧长对应的纬度，用Bf表示，底点纬度的计算其实是已知子午线弧长计算对应的纬度。

3.1 表示成正弦的倍数函数的子午线弧长公式

X=111 132.952 54B°-16 038.508 69sin2B+

16.832 6sin4B-0.022sin6B

(6)

文献[6]给出的子午线弧长的表达方式与上式相同，但是取到sin8B项。同时，各个系数的有效数字取位与上式不同。

3.2 表示成正弦的n次幂和余弦的乘积的子午线弧长公式

X=111 132.952 54B°-(32 009.818 6sinB+

133.959 8sin3B+0.697 5sin5B)cosB

(7)

3.3 表示成余弦的n次幂与正弦的乘积的子午线弧长公式

X=111 132.952 54B°-(32 144.480 0cosB-

135.366 9cos3B+0.709 5cos5B)sinB

(8)

3.4 用正弦倍数函数表示的底点纬度公式

Bf=β+2.518 826 589×10-3sin2β+3.701 005×

10-6sin4β+7.447×10-9sin6β+1.1×

10-10sin8β

(9)

3.5 用余弦升幂多项式表示的底点纬度公式

Bf=β+(50 228 929.6+(293 785.7+(2 171.0+

141.4cos2β)cos2β)cos2β)×10-10cosβsinβ

(10)

3.6 算例

已知纬度，根据式(6)、式(7)和式(8)可计算子午线弧长，将计算出的子午线弧长代入式(9)和式(10)，计算出的底点纬度应该与已知的纬度相同。计算结果显示在表3中。

表3 子午线弧长与底点纬度计算

4 白塞尔大地主题解算

大地主题解算包括大地主题正解和反解。设在椭球面上有长度为S的大地线，其两端点为P1和P2，如果已知P1的大地坐标(B1，L1)和在P1点处的大地方位角A1，计算P2的大地坐标(B2，L2)和在P2点处的大地方位角A2，称为大地主题正解；如果已知(B1，L1)和(B2，L2)，计算S、A1和A2，称为大地主题反解。有关白塞尔大地主题解算的所有公式都在文献[1]中，其中涉及到的几个系数与椭球参数有关。下面给出的系数与文献[1]中的系数是对应的，式中的有关符号的含义也与文献[1]相同。

4.1 正算时的A、B、C

(11)

4.2 正算时的α、β

(12)

4.3 反算时的A、B″、C″

(13)

4.4 反算时的α、β′

(14)

4.5 算例

已知B1=35°，L1=114°，A1=25°，S分别等于1 000 m、10 000 m等，代入贝塞尔正解公式计算(B2，L2)和A2，将正解的结果(B2，L2)连同已知的(B1，L1)代入反算公式，计算出来的S(表中为S′)和A1(表中为A1′)应与已知S和A1相同，并且正解的A2与反解的A2(表中为A2′)相同。

表4 白塞尔大地主题解算

5 高斯投影正反算公式

5.1 正算公式

(15)

式(15)中

式(15)中，B和L的单位是弧度，L0是中央子午线经度。N的计算式其实就是式(5)，只不过取的项数和数字的位数不同而已。当然也可以使用式(3)来计算。

5.2 反算公式

(16)

式(16)中

(17)

式(17)中，B、L的单位均为弧度，Bf的计算式与式(9)相同。当然也可以使用式(10)。

5.3 算例

由B和L计算x和y称为高斯投影正算，由x和y计算B和L称为高斯投影反算。将正算的结果x和y代入反算公式，计算出来的B(表5中的B′)和L(表5中的L′)应该与初始的B和L相同。

表5 高斯投影正反算

6 结束语

本文给出的几个公式，通过数值试验，证明是正确的。

1)子午线曲率半径正弦级数展开式和余弦级数展开式都取至sin或cos的10次方项，可精确到0.05 mm；卯酉圈曲率半径的正弦级数展开式取至sin的10次方项，可精确到0.05 mm，余弦级数展开到cos的10次方项，可精确到0.1 mm。

2)子午线弧长的三个公式中，式(6)和式(7)在纬度在30°左右时，仅相差0.1 mm，在45°左右时相差0.3 mm，在60°以上时可能相差0.7 mm，而式(8)与式(6)和式(7)相差较大，最大达0.9 mm。因此推荐使用式(6)和式(7)。

3)用底点纬度公式(9)计算出来的纬度与已知的纬度最大相差0.000 02″，对应的球面距离约为0.6 mm，而用式(10)计算出来的纬度与已知纬度最大相差0.000 03″，对应的球面距离约为0.9 mm，因此，在计算底点纬度时推荐使用式(9)。

4)利用本文给出的系数进行白塞尔大地主题解算时，当S在1 000 km以下时，正反算检核的效果很好，反算的大地线长度与已知的大地线长度最大相差0.014 m，而方位角最大相差0.005 1″。即使S达到10 000 km，长度相差仅为0.222 m，方位角相差仅为0.117 1″。

5)将高斯投影正算结果代入反算公式，当距中央子午线小于5 km时，与原始值只差0.000 01″，距中央子午线300 km时，只差0.000 04″。由此说明高斯投影正反算实用公式能够精确到1 mm。

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Practical Formulas for Geodetic Surveying Based on CGCS2000 Ellipsoid

WANGAi-sheng，XUHuan，ZHANGQi，WEIMeng

(School of Geomatics and Geodesy，Jiangsu Normal University，Xuzhou 221116，China)

Because published literature did not give practical formula corresponding to Chinese Geodetic Coordinate System 2000 ellipsoid(CGCS2000 ellipsoid)，according to the basic principle of the ellipsoid calculation and Gauss projection in geodesy，using CGCS2000 ellipsoid parameters，many practical calculation formula are presented.These formulas consist of curvature radius of the meridian，curvature radius of the prime vertical，meridian arc length，latitude of pedal，Bessel formula coefficients A，B，C etc for solution of geodetic problem and Guass project.Some formulas are simple and easy to use，especially for engineering technicians.Some formulas have several representations，suitable for theoretical derivation and calculation.Each formula is accompanied by an example to verify its correctness，and can also be used to understand the applicability of the formula.

CGCS2000 ellipsoid；practical formula；radius of curvature；meridian arc length；latitude of pedal；Bessel solution of geodetic problem；Guass project

王爱生，徐欢，张棋，等.基于CGCS2000椭球的大地测量实用公式[J].导航定位学报,2015,3(3):105-109+131 (.WANG Ai-sheng,XU Huan,ZHANG Qi,et al.Practical Formulas for Geodetic Surveying Based on CGCS2000 Ellipsoid[J].Journal of Navigation and Positioning,2015,3(3):105-109+131.)

10.16547/j.cnki.10-1096.20150321.

2015-05-18

江苏师范大学科研基金(09XLR18)。

王爱生(1965—)，男，山西孝义人，教授，主要从事大地测量的研究和教学。

P228

A

2095-4999(2015)-03-0105-05