习题引导探究发散演绎精彩

☉浙江省余姚市第二中学 杨福来

习题引导探究发散演绎精彩

☉浙江省余姚市第二中学 杨福来

高考数学命题以“能力立意”为指导思想，更加注重考查考生的基础知识、创新意识和发散思维.很多高考题都来源于书本的例题和习题的改编再创造，我们有必要深入地认识课本中的习题，在课堂中教会学生数学地思考问题，进而培养学生的发散思维，提高学生的能力.

题目直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：OA⊥OB.

一、习题分析

本题是人教版《全日制普通高级中学教科书（选修2-1）数学》73页的第六题，主要考查解析几何的基本思想和基本方法，看似平凡，其实是一道可以用来进一步推广方法和技巧的好题，对启迪学生的发散性思维，拓宽学生的解题思路很有帮助.

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2）.

将直线y=x-2代入抛物线y2=2x得x2-6x+4=0，所以x1x2=4，x1+x2=6，y1y2=（x1-2）（x2-2）=-4.

二、习题的推广和挖掘

发散1：A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上异于顶点的两个动点且OA⊥OB，则：

（1）A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值；

（2）直线AB过定点.

证明：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线为x=my+n，代入抛物线得y2-2pmy-2pn=0.

所以y1y2=-2pn，y1+y2=2pm.

又OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=

（2）由（1）得直线为x=my+n=my+2p，所以直线过定点（2p，0）.

在发散1中，如果改为逆命题，直线过定点（2p，0），同理也可以证明出OA⊥OB.进而我们思考，在上题中直角顶点O是坐标原点，A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上异于顶点的两个动点，如果把直角顶点移到抛物线上来，可以得到类似的结论吗？

发散2：定点M（x0，y0）在抛物线y2=2px（p＞0）上，A、B是抛物线上的两个动点且MA⊥MB，则直线过定点.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线为x=my+n，代入抛物线得y2-2pmy-2pn=0.

所以y1y2=-2pn，y1+y2=2pm.

又MA⊥MB，所以M→→A·M→→B=0.

所以（x1-x0）（x2-x0）+（y1-y0）（y2-y0）=0.

所以直线AB为x=my+2p+my0+x0=m（y+y0）+x0+2p.

所以直线AB恒过定点（x0+2p，-y0）.

因此当直角顶点在抛物线上动起来时，也可以得到直线过定点，原来抛物线有这么好的发散结论，所以笔者就在想能不能继续发散，得出抛物线其他的定点定值问题呢？

发散3：抛物线y2=2px（p＞0），F为抛物线的焦点.

（1）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点弦AB的两个端点作抛物线的切线AP、BP，则两切线的交点P在抛物线的准线上；

（2）过抛物线y2=2px（p＞0）的准线上任何一点P作抛物线的两条切线AP、BP，切点为A、B，则直线AB过抛物线的焦点F.

以上两式相减可得（y1-y2）y=p（x1-x2），即（y1-y2）y=代入y1y=-p（x1+x2）中，可得y1y2=2px.

又由发散1类似可得y1y2=-p2，所以即交点P的坐标为

到此通过发散，我们得到了一个关于焦点弦的结论，这也给笔者打开了广阔的思路，笔者尝试着对上题进一步的思考，得到一个变式：过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的一条弦AB，记准线与x轴的交点为E，AE、BE分别交y轴于P、Q两点，求证：线段EF平分角∠PEQ.（提示：事实上只需要证明kAE+kBE=0即可）

事实上，对于变式的思考，我们涉及了抛物线及斜率之和，如果我们进一步发散，可以得到如下结论.

发散4：已知抛物线x2=2py（p＞0），F为抛物线的焦点，A、B是抛物线上的两个动点，且在y轴的同侧，如果直线AF的斜率和直线BF的斜率互为相反数，则直线AB过定点.

证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），焦点为

所以x1x2=p2.

直线AB的斜率肯定存在，设直线方程为y=kx+b，代入抛物线得x2-2pkx-2pb=0.

所以x1x2=-2pb.

所以x1x2=p2=-2pb.

三、结束语

高考数学命题以“能力立意”为指导思想，更加注重考查考生继续学习的潜能和基础文化素质，以及创新意维与发散思维.很多高考题都来源于书本的例题和习题的改编再创造，试题的解答不需要高深的数学知识和高难度的变形技巧，而需要有较强的在新情景下解决问题的能力，需要一定的创新意识和发散意识.因此我们有必要重新深入地认识课本中的习题，在课堂中我们要体验学习的过程，理解数学的本质，提高数学素养，学会数学地思考问题，学会对习题的思考发散，提高学生的能力.

1.普通高中课程标准试验教科书数学（选修2-1）［M］.北京：人民教育出版社，2006.

2.王恒亮.抛物线定点、定值问题的探究［J］.中学数学（上），2013（4）.