利用导数法处理不等式问题的思维起点

2015-05-05江苏省丹阳市第五中学吴延俊

中学数学杂志 2015年1期

☉江苏省丹阳市第五中学吴延俊

利用导数法处理不等式问题的思维起点

☉江苏省丹阳市第五中学吴延俊

在近年各省市高考试题中，常见到这样一类问题：对区间内任意（在区间内存在）自变量，使得不等式成立，求参数取值范围或证明不等式问题.由于这类问题本身的抽象性及隐蔽性，同学们在解决这类问题时，常常束手无策.本文对此类问题举例分析，说明其求解策略.

一、单变量问题的合并处理

思维起点：对任意的x∈［a，b］，都有f（x）≥g（x）成立，是不同函数对同一变量下的恒成立问题，通常设h（x）=f（x）-g（x），则可转化为求h（x）min≥0.若函数f（x）、g（x）在区间［a，b］上恒为正值，也可以设h使 h（x）min≥1.

例1设函数f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的导函数.

（1）略；

（2）若f（x）≥ag（x）恒成立，求实数a的取值范围.

解析：（1）略.

当a≤1时，φ′（x）≥0（仅当x=0，a=1时等号成立），所以φ（x）在［0，+∞）上单调递增.又φ（0）=0，所以φ（x）≥0在［0，+∞）上恒成立，故恒成立（仅当x=0时等号成立）.

当a＞1时，对x∈（0，a-1］有φ′（x）≤0，所以φ（x）在（0，a-1］上单调递减，则φ（a-1）＜φ（0）=0，即a＞1时，存在x＞0，使φ（x）＜0，故ln（1+x）≥不恒成立.

故a的取值范围是（-∞，1］.

评析：若将问题改为存在x∈［a，b］，使得f（x）≥g（x）成立，是不同函数对同一变量下的恒成立问题，通过构造函数h（x）=f（x）-g（x），进而将问题可转化为求h（x）min≥0，问题得解.

二、双变量问题的分别处理

思维起点：某些不等式问题涉及x1、x2两个无关的变量，使得f（x1）和g（x2）的取值互不影响，应对两函数的最值进行分别求解.

（1）略；

（2）如果对于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2），求a的取值范围.

解析：（1）略.

（2）先考察函数g（x）=-x2+2x-3（x∈R）的图像（图略），配方得g（x）=-（x-1）2-2，所以函数g（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，且g（x）max= g（1）=-2.

因为对于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以a≤1.

下面考察函数h（x）=xlnx（x＞0）的图像.h′（x）=lnx+1.令h′（x）=lnx+1=0，解得单调递减，在.因为对于任意x1、x2∈R，且x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）成立，所以

评析：若将题目改为：存在x1∈［a，b］，x2∈［c，d］，使

f（x1）＞g（x2）成立，则问题转化为使f（x）max＞g（x）min.

三、参变量问题的分离处理

思维起点：对于含参数a的不等式，将参数a与主元x分离开来，问题变形为“不等式f（x）＞a（＜a）恒成立”，进而将问题演变为求函数f（x）的最值，而此时函数f（x）中不再含有参数，求最值比较简便.

（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；

解析：（1）略.

四、等价转化，构造辅助函数

思维起点：利用导数法证明不等式的关键是进行适当的变形，变式的依据是将不等式两端化为相同结构的式子，如：证明（an+bn）m＞（am+bm）n，将不等式两端取对数得ln（an+bn）m＞ln（am+bm）n，即mln（an+bn）＞nln（am+bm）⇒将问题转化为函数f（x）=的单调性问题；或者将不等式构造为已知条件中所给出的函数类型，再利用其单调性证明.

（1）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；