逆向思考，创新思维——也谈柯西不等式一个变式的应用

☉浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗☉浙江省海盐县环境监测站 徐佳月

逆向思考，创新思维
——也谈柯西不等式一个变式的应用

☉浙江省海盐县元济高级中学 张艳宗
☉浙江省海盐县环境监测站 徐佳月

在中学数学中，柯西不等式的使用非常广泛，功能强大，结构和谐，在不等式应用方面非常给力，具有重大的应用价值.适当地运用柯西不等式，对一些难度较高的不等式，尤其是奥赛试题具有立竿见影的效果.文1、文2通过柯西不等式得到一个如下简单的变式，用之可以漂亮地解决很多国内外的不等式名题.

在应用变式①解决问题的过程中，受惯性思维的影响，我们常从左到右看待此不等式，即左边≥右边.事实上，我们可以换一个看待问题的角度和方式，逆向思考，创新思维，若从右到左重新审视此不等式，则有：

以上两个不等式除代数式在位置上的些许改变，没有本质上的变化，但变式②对一些不等式问题可以给予简捷、完美的解答，现整理成文，与各位一起探讨.

例1（第29届俄罗斯数学奥林匹克试题）若a，b，c＞ 0，且a+b+c=1，求证：

上述三式相加，即可获证.

评注：文1对③式使用变式①证明，是顺向思维，此处我们逆向思考，利用变式②也给出了漂亮的证明，这充分体现了方法的灵活性与思维的创新性.

评注：柯西不等式变形②与均值不等式的巧妙结合，使得证明新颖、别致.正如宋庆老师所言：“题不在多，关键在创新.”

1.王淼生.例谈柯西不等式一个最简单变式的应用［J］.上海中学数学，2012（11）.

2.安振平.一道高考不等式题的研究性学习［J］.中学数学（上），2012（3）.