再谈冲刺阶段如何提高数学复习的效率

2015-05-05福建省宁德市民族中学郑一平

中学数学杂志 2015年1期

☉福建省宁德市民族中学郑一平

再谈冲刺阶段如何提高数学复习的效率

☉福建省宁德市民族中学郑一平

编者按：2003年4月郑一平老师曾在中国青年报上发表了《冲刺阶段如何提高数学复习效率》一文（谈自己在高三毕业班冲刺阶段的做法），在当时引起了较大反响，十多年来该文也被多位教师参考借鉴.多年来在毕业班冲刺阶段复习中，郑老师一直对此问题进行研究，效果比较好，因此在高考复习即将进入冲刺阶段时，郑老师在原文的基础上对近年做法进行补充、修改，写成此文，想必对指导高考冲刺阶段的复习一定会有很大帮助.

高考前一个月常被叫做高考复习的冲刺阶段，这一阶段无论是教师还是学生都感到压力很大，感觉时间紧、任务重，需要复习的知识越来越多，知识的缺陷也络绎不绝，正常的时间似乎也不够用，这是很正常的心理.但也经常听到一些教师和学生讲到，进入这一阶段似乎进入高原期，复习总是难以收到较好的效果.笔者长期教学毕业班，深感冲刺阶段复习的重要性，如何让这一阶段复习能够取得更好的效益确实很值得研究.经过多年研究，笔者认为在高考复习的冲刺阶段必须重视“五抓五突出”，即一抓平时复习的薄弱点，突出重中之重；二抓学生思维的易错点，突出典型问题分析；三抓规范训练的落脚点，突出提高解题准确与速度；四抓《考试说明》与信息研究，突出课本基础知识、典型问题的再挖掘；五抓知识的整理与内化，突出问题解决的思维方法.

一、抓平时复习中的薄弱点，突出重中之重

经过第一轮全面系统的复习，同学们对高中的基础知识、基本技能、基本思想和方法都能较全面系统的掌握，但在复习过程中每位学生对每一知识的掌握程度不一样，存在的问题也不同，此时必须在进入冲刺阶段复习时，根据学生实际查一查知识的薄弱点，如果是个别问题，则及时面对面地辅导帮助解决，如果是普通性问题，则对症下药及时补缺补漏，进而通过有针对性的强化训练和讲评，弄清问题实质，以便打好扎实的基础.

根据《考试说明》与近几年高考试题相比较可以发现，高考命题内容都能以《考试说明》为依据，且重点也大相径庭，特别是突出数学知识的主干，以重点知识建构知识的主体，在代数部分重点考查函数、数列、不等式、三角函数、概率、导数等内容；在立体几何部分着重考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的关系；在解析几何部分着重考查直线和圆锥曲线，特别是它们的位置关系.因此很有必要对上述重中之重的内容进行必要的强化与提高，特别是通过一些有针对性的专题复习，提高学生解决综合性问题的能力，提高学生思维的灵活性，为学生取得优异成绩铺平道路.

比如，学生在平时解题中常见的薄弱点之一就是解决问题时思维往往比较单一，不能打破知识间的关系，灵活应用知识去分析解决问题，针对学生的这一缺陷，在冲刺阶段解几复习中笔者选择了下面例题.

例1如图1，抛物线E：y2=4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，|OC|为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M，N.

（1）若点C的纵坐标为2，求|MN|；

（2）若|AF|2=|AM|·|AN|，求圆C的半径.

分析：本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.问题（1）比较简单，容易解决，问题（2）根据条件圆心C在抛物线上且过原点，就容易按常规思路得到如下的解法.

解：（1）抛物线y2=4x的准线l的方程为x=-1，由点C的纵坐标为2，得点C的坐标为（1，2），所以点C到准线l的距离d=2.

图1

这种解法关键抓住了圆心在抛物线上、圆过原点这些几何特征，结合垂径定理和根与系数的关系获得问题解的决.问题（2）的解决是常规解法，也是学生常用的解法，因为涉及直线与圆锥曲线位置关系自然想到通过联立方程组消去一个未知数结合根与系数的关系解决是常用方法，但此时要注意判别式的使用.实际上圆锥曲线的许多问题若能充分挖掘几何特征，利用几何性质解决可以化难为易、化繁为简，收到事半功倍的效果.

二、抓思维易错点，突出典型问题分析

在复习过程中，尽管对基础知识进行较为全面系统的复习，但由于学生知识水平、能力的不同，许多概念、性质、定理、公式在解题应用时学生常忽略解题的基本原则，如解对数问题先考虑定义域再变形转化的原则；解指数不等式先固定底，再取对数的原则；解排列组合混合应用题先组合再排列的原则；化复数为三角形式先固定模式后再由诱导公式化成三角形式等.忽略问题的隐含条件的挖掘而失误，如正、余弦函数的有界性；基本不等式求最值等号成立的条件；等比数列求和公式中对公比q的要求；一元二次方程有解的条件；轨迹中的范围等都是学生解题中易出现问题的所在之处，因此必须通过一些典型问题分析，让学生查找失误原因，以便对症下药，进行有针对性的强化训练，从而减少失误率.

在数学问题中，常出现“∀x1∈（a，b），∃x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“∀x1∈（a，b），∀x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“∃x1∈（a，b），∃x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”；“∃x1∈（a，b），∀x2∈（c，d），使得f（x1）≥f（x2）成立”等形式的命题，这些问题学生在解题时往往不能正确区分每一种情况之间的区别而造成解题失误.为解决这一问题，冲刺阶段复习时特举下面一例：

学生在分析条件后易得到对任意的s，t∈［1，2］，都有f（s）≥g（t），等价于在区间［1，2］上，函数f（x）的最小值不小于g（x）的最大值.

由条件先求在区间［1，2］上，g（x）的最大值为g（2）= 1.只要1成立，等价于a≥x-x2lnx恒成立.

记h（x）=x-x2lnx，则h′（x）=1-2xlnx-x=（1-x）-2xlnx≤0在［1，2］上恒成立.

所以函数h（x）=x-x2lnx在区间［1，2］上单调递减，所以h（x）max=h（1）=1，所以a≥1.

在此基础上对其中条件“如果对任意的s，t∈［1，2］，都有f（s）≥g（t）成立”进行多方变式，s，t中一个为“任意”另一个变“存在”或两个都变“存在”，让学生思考解决，通过这些变式问题的解决就可以消除学生在“任意”与“存在”问题上似是而非的思维错误.

三、抓规范训练的落脚点，突出提高解题的准确与速度

计算能力是高考考查的重要能力之一，也是学生的薄弱环节之一，规范训练的落脚点要放在加强计算能力的培养上，在冲刺阶段应突出学生的练，通过让学生动手、动脑、做题，亲身体会解题对思维能力的益处，在解题中提高运算能力.特别要培养学生思维的全面性，防止学生在思考问题时顾此失彼，要培养学生应用知识正确运算和变形，寻求设计合理、简捷的运算途径，会根据要求对数字进行估算和近似计算.对于每次练习，要求学生解题做到“四要”：一要熟练、准确，它是解题的基本要求；二要简捷、迅速、全面，这是解题的进一步要求，体现思维的敏捷性和深刻性；三要注重思维过程、思维方法的科学性，在处理数量关系时，能根据题目条件寻求合理、简捷的运算途径，还要养成较强的心算和笔算速度，真正做到准确与速度、简捷与熟练的有机结合；四要规范，这是高考取得高分的保证，要防止由于解题格式、过程的不规范而失分，达到会做的题不出错.

图2

学生遇到这一问题往往不加思考地通过计算来解决，常见解法如下.

由条件假设△PMN为正三角形，下面分点P在x轴上方和下方两种情况：

①若点P在x轴上方，当△PMN为正三角形时，由平面几何知识可得，∠PAB=30°，∠PBx=150°，所以直线AP的方程为（x+a），直线BP的方程为y-0=

所以a2=3b2，即此时点P的坐标为（0，-b）.

②同理可证点P在x轴下方时也存在△PMN为正三角形.

但许多学生考虑解答时往往忽略了讨论上方与下方的两种情形造成失分，此时强调思维的严密性就容易引起学生的重视.

本题实际还可考虑引导学生从几何角度分析得到异于上面的简洁解法.

考虑到等腰三角形两底角相等，假设△PMN为正三角形，则∠MPN=∠PMN=60°.

又MN⊥x轴，所以∠PAN=30°，∠PBA=30°，所以△PAB为等腰三角形.

所以点P位于y轴上，且点P在椭圆上，所以点P的坐标为（0，b）或（0，-b）.

高考中的选择题、填空题在数学学科中的比例较大，分值较高，在高考中占有举足轻重的地位，其准确度和速度都直接影响高考成绩，因此在冲刺阶段很有必要加强一般性与特殊性、常规解法与特殊解法、分类讨论与避免分类、有设必求与设而不求等数学方法的应用，强化对解答选择题、填空题方法的指导，从而提高解答选择题、填空题的得分率.因此解答选择题、填空题审题是关键，审题这一关解决了，就可以保证解答既合理又准确，又可以为解决解答题提供足够的思考时间，为取得优异成绩创造条件.

四、抓《考试说明》与信息研究，突出课本基础知识、典型问题的再挖掘

《考试说明》是高考复习的指导性文件，复习效果的好差，很重要因素是对《考试说明》的研究是否透彻.近年各地高考试题基本上都贯彻“总体保持稳定，深化能力立意、积极改革创新”的指导思想，兼顾教学基础、方法、思维、应用、潜能方面的考查，形成平稳发展的稳定格局.认真钻研《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，关注高中数学课程改革进程，吸取新课程中的新思想、新理念，使复习把握数学教育改革的发展方向，就能做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效益.同时应及时了解考试中心，以及中学教学期刊、高考数学培训会议等有关最新动态，并结合教学实践加以研究，从而转化为课堂教学的具体内容，使最后阶段的复习有的放矢、事半功倍.

与此同时，要紧扣课本，要突出课本基础知识的作用，突出课本例题中数学思想方法的挖掘和应用，重视课本习题中潜在功能的挖掘与利用.课本知识是经过几代人集体智慧的智晶，具有很强的权威性、指导性，第一轮复习许多学生往往抛开课本，因而如何回归课本，依“纲”、固“本”，挖掘课本问题的潜在功能，从不同角度借鉴考题的偏拟手法，对课本典型问题进行引伸、推广、结合、发挥其应有作用.

例4（2001年全国高考题）如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，

图3

（Ⅰ）求四棱锥S-ABCD的体积；

（Ⅱ）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.

分析：这是一道底面为直角梯形，一侧棱垂直底面的四棱锥问题，主要考查线面关系和棱锥体积的计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力.只要抓住底面为直角梯形和一侧棱垂直底面这两个已知条件，问题就很容易解决了.

图4

（Ⅱ）如图4，延长BA、CD相交于点E，连接SE，则SE是所求二面角的棱.

因为AD∥BC，BC=2AD，

所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB.

因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线.

又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角.

评析：本题的解决方法多样，也可考虑利用建立空间坐标系解决.但笔者认为研究本题的解法并不重要，重要的是让学生从本题问题中归纳得到“底面为直角梯形且一侧棱垂直底面的四棱锥”的空间模型，而这类问题解题的关键是抓住底面为直角梯形和一侧棱垂直底面这两个已知条件.分析这种模型结合几近年全国各地高考立几试题，我们会发现以“底面为直角梯形且一侧棱垂直底面的四棱锥”为空间模型的试题已成为高考的重热点问题.而以本题为原型进行适当变式就得到下列一组高考试题.

例5（2011年福建卷理）如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，在四边形ABCD中，

图5

（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD.

（Ⅱ）设AB=AP.

①若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长；

②在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P、B、C、D的距离都相等？说明理由.

例6（2011年北京卷理）如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°.

（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；

（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；

（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长.

图6

图7

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）.

通过以这种通过教材中一个典型问题的研究就得到一类问题的解决的做法就充分挖掘出教材习题的应有作用，收到举一反三的目的.

五、抓知识的整理与内化、突出解决综合性问题的解题思维方法

在平时学习过程中，知识往往是以条块的形式出现，综合性、条理性不够且比较零乱，经过一轮复习知识相对比较全面，特别对许多问题的理解更具有系统性和全面性，沟通了知识间的联系.但由于复习往往更多是在教师的引导下进行的，而且知识间互相联系、沟通相对较少，学生缺乏自主的深层次自我归纳与提炼，进入冲刺阶段必须抓住对所学知识进行更全面、系统的归类与内化，真正理解知识内涵，知识间的来龙去脉，形成处理问题的自我认知的意识与调控.通过整体构建知识网络，使知识生成为自我解决问题的思维框架，形成独特的解题思维意识和品质，为解决实际问题提供帮助.并在此基础上让学生通过相同的题设，提不同的问题，解相同的题目，找不同的思路，变同一个问题，得不同的结论，让思维展示多种想象空间，从中获取熟练的应用知识分析解决问题的能力，真正达到提高解决综合性问题的能力.

比如，三角求值问题是三角知识考查的重点问题，但学生往往这方面掌握的不好，在冲刺阶段复习中笔者选择了以下典型实例与学生一起分析解决，并对解题方法进行总结，学生通过此例就能掌握此类问题的解法.