谈谈数学教学中的“回味”

☉湖北省武汉市第一中学 薛松

谈谈数学教学中的“回味”

☉湖北省武汉市第一中学 薛松

《普通高中数学课程标准（实验）》指出：“高中数学课程的教学目标应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造历程，发展他们的创新意识，学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流也是数学学习的重要方式，学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、验证、推理、计算、证明等活动过程.”而我们平时的数学教学习惯于对学生作一次性的“讲深讲透”，却很少想到这样的讲法常常不能促使学生作更多的思考.如果我们在提出问题后，给学生足够时间与空间，让他们不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、运算求解、演绎证明、反思建构、适当推进扩大（以不超纲为限），最后我们再留一些没有完全解决或值得进一步探索的问题给学生，引导学生全面思考问题，解决问题，并让学生在听课或者作业、考试以后对有关知识或问题再进行细嚼、联想，犹如对于一首好诗、一盏香茗，通过不断品尝加深理解、获取新知、感受深意，这就是所谓的“回味”.

下面仅从两个方面在“不等式证明”中各举一例谈谈“回味”的产生.

一、课堂教学中适当拓宽，促使“回味”产生

问题1：试比较log34与log45的大小.

就此止步，则坐失良机，实在可惜.若引导学生对上面的解法进行分析、研究和联系，效果会完全不同.

分析联想1：log23＞log34，log45＞log56，…，一般地，对任意大于1的自然数n，必有logn（n+1）＞logn+1（n+2）①.

分析联想2：因为3、4、5是连续自然数，故三个数为等差数列，此时数列具有首末两项之积小于中项的平方，可联想到三个自然数成等差数列，但不连续时，是否仍有这个性质呢？进一步，产生联想：

当n、m∈N*，且n＞1时，必有logn（n+m）＞logn+m（n+2m）②.

证明：略.

分析联想3：从②的证明可知将n换为大于1的实数a，将m换成正数b，证明仍成立，故从横的方面联想到：当a＞1、b＞0时，必有loga（a+b）＞loga+b（a+2b）③.

分析联想4：现在放弃③式中两个明显特点，一个是左边对数的真数与右边对数的底数相等，另一个是两边对数的真数与底数之差相等，来看它更一般的特点：

（1）两个对数的真数和底数都大于1；

（2）各个对数的真数都大于各自的底数；

（3）底数较小的对数的真数与底数之比大于底数较大的对数的真数与底数之比，即

推论：若b＞a＞1，c＞0，则logab＞loga+c（b+c）④.

显然③式是④式当b=a+c的特例，到此，学生的思维已进入了一个新的境界，无论是学生注意力的集中程度还是思维的深度都令人振奋.

二、考试中事先计划，预伏回味

问题2：判断20142015与20152014的大小.

为了避免部分同学在考试中无从下手，考试时将原题改编为：

观察，试验：12＜21，23＜32，34＞43，45＞54，…，请猜想出20142015与20152014有怎样的大小关系，并推广到一般形式，最后证明猜想.

考试后第一步进行试卷分析，启发学生猜想：

当n＜3时，nn+1＜（n+1）n（n∈N*）；当n≥3时，nn+1＞（n+1）n（n∈N*）⑤.

第二步，教师引导学生分别用数学归纳法、二项式定理及构造函数（函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减）进行证明，并总结出构造函数是解决此类问题的通性通法.

第三步，教师可适时提出能否将此结论推广到n为实数的情况，通过进一步探究，作出新的猜想.

当0＜x＜y＜e时，xy＜yx；当e＜x＜y时，xy＞yx⑥.

第四步，利用上述结论，可指导学生解决2014年高考湖北省理科压轴题第二问：求e3、eπ、3e、3π、πe、π3的最大数、最小数.

解：因为e＜3＜π，所以eln3＜elnπ，πlne＜πln3，即ln3e＜lnπe，lneπ＜ln3π.

根据函数y=lnx、y=ex、y=πx在定义域上单调递增，可得3e＜πe＜π3，e3＜eπ＜3π.

故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中.

由e＜3＜π及⑥的结论，得3π＞π3；3e＜e3.

综上所述，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.

第五步，可引导学生到达高考的另一制高点，求解2014年江苏省高考第19题第三问：当a＞1时，试比较ea-1与ae-1的大小（与原题略有变化）.

经过学生类比、推理、计算、证明，得出解法.

提示：转化为比较（a-1）lne与（e-1）lna的大小，即的大小.构造函数

最后，可布置2014年武汉市高三九月起点考试（理科）压轴题，供学生练习.

已知函数f（x）=ax+xlnx的图像在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3.

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若f（x）≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）当n＞m＞1（m、n∈N*）时，证明：

通过这样的试卷评讲，学生就不会局限于完成一道孤独零碎的考题，而是解决了一类问题，找到了规律，体验了数学思维过程，掌握了数学知识技能，学习了思想方法，并实现思维方法的学习向数学素养的形成过渡，有了一点学会一种把特殊情况推广到一般情况的新方法的成就感.回过头再看原题，就会有一种居高临下的感觉，产生了“回味”，它不但可以使学生学到课本上的东西，更可贵的是能发现新问题，并从中产生探索新知识的乐趣，这乐趣反过来又促进了一个人创造能力的增长.迈出这一步十分重要，它将有助于将知识型人才向创新型人才的转化.

1.沈新权，顾乙.高中数学教学中渗透数学推广意识的策略［J］.中学数学（上），2014（6）.

2.朱哲.数学教学是数学思维活动的学与教［J］.中学数学月刊，2014（4）.

3.林少安.在例题教学中彰显数学教学价值［J］.中学数学研究，2014（8）.