以学生为主体，以问题为载体——结合“几何概型”教学实践谈谈生本课堂教学策略

☉浙江省绍兴市上虞区城南中学厉永刚

以学生为主体，以问题为载体
——结合“几何概型”教学实践谈谈生本课堂教学策略

☉浙江省绍兴市上虞区城南中学厉永刚

“生本教学”课堂强调学生的主体地位，是以学生为主体，以问题为载体，引导学生深入地参与到课堂教学活动中，学生通过自身的参与，在思考中汲取知识.这样的教学模式，能很好地调动起学生的积极性，教师能借此来培养学生的数学思维和解决实际问题的能力，实现数学课堂教学本质上的提升.在本文中结合的教学案例是“几何概型”，“几何概型”是高中数学课程中最贴近学生生活实际的内容，能考查学生解决实际问题的能力.接下来，笔者将结合“几何概型”教学实践谈谈“以学生为主体，以问题为载体”的高中数学生本课堂教学策略.

一、课前链接，复习提问

常言道：“温故而知新，可以为师矣.”数学知识之间存在密切的联系，课前帮助学生复习学过的知识，是为了加强学生对旧知识的掌握，起到承上启下的作用.

教师：同学们，上节课我们已经学习了古典概型，大家都还记得古典概型的主要特征吗？

学生们：古典概型的基本事件是有限的，另外，每一个事件发生的可能性都是一样的.

教师：嗯，对的.那么古典概型的概率公式是什么？

教师：从公式我们可以看出，求事件的概率其实就是求事件包含的基础事件的个数以及基本事件的总个数，两者之比就是事件的概率.今天，我们要研究几个新的问题，看看这些问题和古典概型有什么异同点.

在教师的引导下，学生对古典概型进行了复习，为后续学习几何概型做好铺垫，同时也有利于学生掌握两者的联系和区别.这是“以学生为主体”的课堂教学中必不可少的环节.

二、设置情景，引入课题

设置恰当的生活实际情景，是为了引发学生的思考和激起学生的学习兴趣，凸显“以学生为主体”的理念，并且以此为契机，发挥“以问题为载体”的作用，通过具体问题情景，将学生引入课题内.

问题1：在坐标轴上，从［0，10］内任意取一个实数，求P（A），其中A=｛大于5的实数｝.（教师在大屏幕中投影出题目）

教师：这道题中基本的事件是什么？

学生们：在［0，10］内取任意实数.

教师：那么我们能将基本事件的个数全部数出来吗？事件之间是等可能性的吗？

学生1：数不完的，实数范围很大，但事件之间是等可能性的.

教师：这样还是我们学习过的“古典概型”吗？

学生们：不是.

教师：那谁能说说怎么求解吗？

（学生细声讨论）

学生2：我认为可以把整体的基本事件看成是一个单位长度的线段，而要求的事件A则是其中的一部分，在（5，10］内都成立，那么事件A就可以看成半个单位长度的线段.P（A）就等于两者之比，即P（A）

教师：回答的很好.没错，这题的解题思路正如刚刚那位同学所说.虽然整体的基本事件和事件A中包含的基本事件的个数我们都无法一一数清，但可以看成是两段有长度的线段，用线段的长度比来求概率.这是一种基本的解题思路.

问题2：甲、乙两同学玩掷飞镖游戏，假设他们都能中标靶，他们约定如果甲中灰色区域就算赢，否则算乙赢.求甲赢的概率.（投影出图1）

教师：这题中的基本事件是什么？

学生们：飞镖中标靶的位置.

教师：那总数有多少？可能性相等吗？

学生1：跟上一题一样，是无限的，但可能性都是相等的.

教师：对的，下一步怎么求呢？

学生2：把圆的面积当成是整体的基本事件，灰色区域当成是甲赢的事件，那它们之比就是甲赢的概率，即

图1

教师：很好，对的.跟刚刚的题类似，但这里我们是用几何图形的面积来求概率.如果题目变成这样呢（如图2）？

图2

教师：这样呢（如图3）？

图3

教师：从这个变化过程中，我们可以得出什么结论呢？

学生1：所求的概率只跟灰色区域所占面积有关，与位置无关.

教师：总结的很好，我们继续看下一题.

问题3：在一个长、宽、高分别为20米、15米、5米的铁笼里有一只鸟，求鸟和铁笼距离大于1米的概率.

教师：题目中的基本事件是什么？

学生们：鸟在铁笼中的位置.

教师：那总数有多少？可能性相等吗？

学生2：是无限的，但可能性都是相等的.

教师：那么下一步怎么求呢？

学生2：可以把铁笼的体积当成是整体的基本事件，鸟在铁笼中的活动范围的体积为所求事件，那么体积比

教师：对，回答的很好.解决这题时我们用体积来计算概率.从上面三题中，我们可以总结出这类题的共同特征.

学生1：整体的基本事件是无限的.

学生2：基本事件是等可能性的.

学生3：都可以用几何知识来求解.

教师：这三位同学总结的综合起来就是我们今天要学的主要内容“几何概型”.

............

在这个过程中，教师始终扮演着“引导者”的角色，学生的主体性得到了充分的体现，通过连续的问题将长度、面积、体积几方面的知识呈现给学生，丰富学生的数学思维，让学生在思考中理解“几何概型”的特征，并掌握基本的解题思路和方法，提高学生的解题能力.

三、探究新知，掌握概念

“以学生为主体，以问题为载体”就是要通过学生的探究和教师的总结归纳，使学生掌握概念，突出学生的课堂主体地位和教师的引导作用.

教师：接下来，我们要明确一下刚刚学习的“几何概型”.

（教师在黑板上将特征和计算公式罗列出来）

教师：这就是“几何概型”，谁能总结一下它和“古典概型”的联系和区别？

学生1：它们的共同点就是基本事件的可能性相等.

学生2：还有它们的概率公式都是比值形式.

教师：恩，对的.那不同点呢？

学生3：古典概型的基本事件是可数的，是有限个，但几何概型中却是不可数的，有无限个.

教师：同学们都掌握的比较好，下面我们看看针对具体的题目，怎么来判断是哪一种类型.

（教师把题目投影在大屏幕上）

1.在一个黑箱内有5把钥匙，其中有一把能打开门，问：从黑箱内随意拿出一把，能开门的概率是多少？

2.一根10米长的水管，在水管上的任意位置截断，问：截断后的两段水管长度都大于或等于4米的概率是多少？

3.在一个正方形方框内，倒入泥沙，问：泥沙落入方框内切圆内的概率是多少.

（学生讨论）

学生1：第一题，钥匙的总数是有限的，即基本事件的个数是有限的，每一把钥匙被拿出的可能性是一样的，所以这是古典概型的题目.

学生2：第二题，水管被截断的位置是任意的，且无法数清，即基本事件的个数是无限的，而截断的位置是等可能性的，所以是几何概型题目.

学生3：第三题，泥沙落入方框内的位置是随机的，且无法数清，即基本事件的个数是无限的，但泥沙落入的位置可能性是相同的，因此是几何概型题目.

教师：全对，很好.同学们都比较好地掌握了这两者的区别，能正确地判断出来，以后同学们做题时，一定要先分清题目的类型，再用对应的方法解决.

.............

“实践是检验真理的唯一标准”，对学生来说“练习是检验学生掌握情况最好的办法”.通过上述探究过程，学生较好地掌握了古典概型和几何概型的区别与联系.教师在课堂中又一次地扮演了“引导者”，发挥着引导学生探究的作用，学生始终处于积极思考的状态，对学生起到较好的激发作用，学生会有较强的“主人翁”感，在掌握概念的同时，增强了学生的数学探究能力.

四、变式练习，加强巩固

在变式练习中结合生活实际，将几何概型融入到真实的例子中，提高数学知识的实用价值，帮助学生建立起“学有所得，学有所用”的观念.

例1一位司机在开车途中，发现车上的时钟没电了，此时它打开电台，想听听整点报时，那么他在5分钟内听到报时的概率是多少？

变式1：火车站每隔15分钟有一班车发出，有人到车站坐车，到达的时间是任意的，则他在车站等待时间不超过5分钟的概率是多少？

（教师将题目投影出来，题目比较简单，由学生自行完成，最后教师指出本质问题即可，讲解过程略）

例2早上妈妈出去买早餐，可能在6点半到7点半之间回到家，爸爸会在7点到8点之间出去上班，问：爸爸能吃完早餐后去上班的概率是多少？

（教师将题目投影到大屏幕）

教师：同学们，我们再看看这道题，谁能说说这题中的整体基本事件是什么？个数和可能性怎样？

学生1：应该是妈妈回来的时间和爸爸出去的时间个数之和，是不可数的，可能性相同.

学生2：不对.妈妈回来的时间和爸爸出去的时间是有约束的，应该是妈妈回来的时间点和爸爸出去的时间点组成的一个组合.可能性相同，个数不可数.

教师：这位同学纠正的很好.这题中的事件是由两个随机事件共同决定的，与前面几题有所不同.这种题目，我们可以借助坐标系将事件转换为坐标系上的点，这样就能用我们前面学过的方法来解决了.同学们，尝试做一做.

（经过几分钟后由学生来回答）

学生1：妈妈和爸爸的时间在x、y轴上表示出来，则题目中所求的事件表达为（x，y）.整体的基本事件就是由6.5≤x≤7.5和7≤y≤8构成的一个正方形.要满足题目中所求的问题，就要满足妈妈在爸爸出去前回来，即y≥x，在坐标轴中就是直线y-x=0下方与正方形围成的图形，可求得其面积是总面积是1，所以所求概率为

（说完后，台下响起了学生的鼓掌声）

教师：非常好，完整地将这道题目解答出来了.这种方法对有两个随机变量的题目都可以用.我们再来看一个变式.

变式2：有两辆公车到达同一个车站，并停靠5分钟，它们在早上8点到9点间能在车站相遇的概率是多少？

（由学生自行解决）

............

对于上述变式练习，通过教师的一步一步引导，学生能基本完成，并且能解答双变量题目，能起到巩固学生知识的作用，也让学生体会到了成功的喜悦感，增加了其对数学的兴趣，为提高学生的数学素养做好铺垫.

总地来说，“以学生为主体，以问题为载体”是“生本教学”的一种具体表现，能起到很好的调动学生积极性和培养学生综合能力的作用，要更好地发挥其功效，还需各位教师不断努力创新教学方法.

1.边静静.“生本教育”理念下的高中数学课堂教学的探索与实践［J］.课程·教材·教法，2011（4）.

2.廖助会.生本教育视野中高中数学教学探究［J］.教育科学研究，2014（3）.

3.刘伟.生本教育理念下指导学生进行高中数学研究性学习［J］.教学月刊，2011（2）.

4.燕海军.高中数学课堂生本教育构建分析［J］.数学通报，2011（12）.