回归催生本源形式决定思路──2014年高考数学全国新课标Ⅱ卷理科第17题探究

☉陕西省武功县教育局教研室 李歆

回归催生本源形式决定思路──2014年高考数学全国新课标Ⅱ卷理科第17题探究

☉陕西省武功县教育局教研室 李歆

2014年高考数学全国新课标Ⅱ卷理科第17题：

已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=3an+1.

是等比数列，并求｛an｝的通项公式；

命题组提供的参考答案如下所示.

解：（Ⅰ）由an+1=3an+1，得是首项为、公比为3的等比数列.

在上述解法中，命题组巧妙地构造了一个中间不等式“3n-1≥2×3n-1”，这就像是“天外来客”，不仅让学生感到陌生、惊讶，就连教师也觉得莫名其妙.为了找到教师和学生都满意并且能接受的方法，笔者从解决这类问题的放缩对象an入手，开始了下面的探求之旅.

旅程1：关于数列｛an｝的通项公式的另一种表示

通常情况下，我们对数列｛an｝的通项公式的表示都是写成①这种形式，这种形式既简单优美，又受到老师和学生的喜爱，但是这种形式用来证明问题（Ⅱ）中的不等式时却有一定的局限性，因为在的分母中出现了两项的差，“用放缩法将分母缩小使分式值放大”做起来困难较大，由此笔者想到：如果能改变｛an｝的通项公式的表示形式，使的分母上出现若干项的和，那么问题（Ⅱ）的证明可望得到顺利解决.笔者的思路回归到课本，从探求数列通项公式的源头上找到了答案.

由已知得：

a1=1，

a2=3a1+1=3+1，

a3=3a2+1=32+3+1，

……

猜想：an=3n-1+3n-2+…+32+3+1②.

证明如下所示.

（1）当n=1时，a1=31-1=1，可知②式成立.

（2）假设当n=k时，②式成立，即有ak=3k-1+3k-2+…+32+ 3+1，那么当n=k+1时，ak+1=3ak+1=3（3k-1+3k-2+…+32+3+1）+ 1=3k+1-1+3k+1-2+…+33+32+3+1，即知②式也成立.

综合（1）（2）知：对一切n∈N*，②式都成立.

评注：数列是高中数学的重要内容，数列中的一些概念、公式、定理等在形成与生成的过程中往往渗透了观察、归纳、猜想、证明等基本的解题思想和方法，当我们在解决由递推关系式求数列的通项公式问题时，应当首先想到这种方法.以上采用“归纳猜想法”，得到了数列｛an｝的通项公式的另一种表示形式②，虽然在结构上比①式要复杂一些，但却为第（Ⅱ）问用放缩法证明指明了方向，因此，从这个意义上来说，形式决定思路.

有了通项公式②，不等式③的证明如“水到渠成”，畅通无阻.

综上可知不等式③成立.

很显然，按照上述模式继续下去，还可以得到证法4、证法5等.

根据上述证法2、证法3，可以得到不等式③的如下两个加强.

加强1：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=3an+1，则有：

加强2：已知数列｛an｝满足a1=1，an+1=3an+1，则有：

评注：对不等式③的证明，还有许多其他方法（如文献1、文献2等），但利用通项公式②之后，使放缩的内容发生了质的变化，从而使不等式③的证明实现了根本性的突破.这样的证明不仅思路自然，别具一格，而且在放缩过程中没有任何的技巧性，容易被众多学生和教师所接受.将①式和②式的结构加以比较，以及它们在不等式③的证明中所起到的作用加以分析，就会得到这样的结论：在数学解题中，追求某种最佳结果固然重要，但有时将某种过程暂时停留，往往能获得异样的精彩.

旅程3：关于试题的推广

对以上探究进一步分析，可以将上述高考试题作如下推广.

推广：已知数列｛an｝满足a1=q，an+1=pan+q，其中p、q为常数，且p＞1，q＞0.

高考试题是命题专家经过深思熟虑后精心编制的经典题，有一定的基础性和指导性.但是命题者提供的参考答案并不全是完美的，有些解法在很大程度上存在着较大的局限性，因此，教师在选用高考试题时，必须对标准答案作深入细致的分析与研究，要站在学科教学的角度，并结合学生的实际思维水平，从多个角度、多个视角对高考试题进行求解与改编、加强和推广，这样对于培养学生的解题能力，领悟高考试题的内涵功能，正确把握复习方向，都有着非常重要的意义和作用.

1.王帅.以一道高考数列问题为例谈解题思路的寻找［J］.中学数学（上），2014（9）.

2.彭卫星.解决与数列有关的不等式求和问题若干策略——以2014年高考新课标卷Ⅱ第17题为例［J］.中学数学（上），2014（10）.