解题教学中“数形结合思想”培养的尝试与思考——高三函数专题复习实践研究

☉上海市桃浦中学 张正丽

解题教学中“数形结合思想”培养的尝试与思考
——高三函数专题复习实践研究

☉上海市桃浦中学 张正丽

把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，就是数形结合思想.数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来.在使用过程中，由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却往往给学生的解题带来很大的困扰.因此，数形结合思想的培养更需偏重于由“数”到“形”转化的训练.

数形结合是一种很重要的数学思想.近年来全国各地的高考题中考查数形结合思想与各章节知识点结合的题型不在少数，尤其是填空选择题中出现较多.在研究函数的图像与性质时常常要用到数形结合的思想，若能正确分析题设并画出函数的图像，往往能事半功倍.笔者在高三函数专题复习中进行了实践探索，结合近年来的高考题及模拟题，带领学生对数形结合方法在研究函数性质方面的应用作一些分析与小结.

一、利用数形结合，合理分类讨论，完善解题思维

在解决函数问题时常常需要利用函数的图像辅助解题，利用数形结合，可以让学生注意到问题解决需要分类讨论，容易让学生在解题过程中形成缜密的思维习惯，提高解题效率.

教学片段一：

例1设函数f（x）=x|x-a|，若对任意x1，x2∈［3，+∞），x1≠x2，不等式恒成立，则实数a的取值范围是_____.

大约两分钟后，开始提问.

师：刚才两位同学说得都不错，那么请大家再考虑一下，对对称轴的分类讨论是否全面了呢？

生4：还缺一个等于零的情况，如图3所示.

图1

图2

图3

师：回答得非常好.下面就请大家结合这三位同学的想法完成这道题……

反思1：大部分学生看到含有绝对值的函数解析式时，首先会想到改写成分段函数的形式，而且也知道此类问题往往需要进行分类讨论，但是常因考虑问题不够全面，思路不完整，容易出现漏解的情况.因此，需要引导学生体会在解决该类问题时使用数形结合方法对合理实施分类讨论有很大帮助.

二、利用数形结合，化繁为简，优化解题策略

教学片段二：

例2已知函数f（x）=|log2x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间［m2，n］上的最大值为2，则m、n的值分别为（）.

在巡视学生的解题过程，发现了以下一些解法：

（1）看到f（x）=|log2x|中有绝对值，第一反应是去绝对值，写成分段函数形式.

（2）考虑到“f（x）在区间［m2，n］上的最大值为2”，学生就开始分类讨论，即“f（m2）=2或者f（n）=2”，再结合“f（m）=f（n）”和“m＜n”的条件求出n和m.此过程计算量还比较大，且有学生未考虑m，n的大小关系，所以出现多解的情况.

通过巡视发现一部分学生虽有大致的解题思路，但没有意识到如果能适当借助函数的图像数形结合来解题，就可以避免分类讨论.因此，笔者根据学生解题中出现的障碍，通过下列问题引导学生重新思考本题的解题思路与步骤.

（1）画出函数的图像，并观察函数f（x）=|log2x|有何特征.

（2）如何利用条件“0＜m＜n时，f（m）=f（n）”确定m，n的位置.

（3）尝试在图像（如图4）中标注出［m2，n］的大致位置，观察能否确定在何处取到最大值.

反思2：在解题过程中，常常会遇到考查函数图像与性质的一类题型，经常要用到数形结合的思想，有时还要用到分类讨论，若能恰当使用数形结合思想，有时也可以避免分类讨论，化繁为简.因此，在运用数形结合思想解题过程中要充分考查数学问题的条件与结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得以解决.

图4

三、利用数形结合，构造函数解决方程问题

在函数与方程的专题复习后，给学生留下了一道思考题：“若关于x的方程有四个不同的实数根，则实数k的取值范围是______.”第二天批改作业的时候，发现学生的作业中有几种解题方法非常的漂亮，决定在课堂上展示，以此鼓励其他学生也积极地思考问题.

教学片段三：

课堂上，先极力称赞了给出完全正确解题过程的两位学生，并且请他们分别讲解了自己的思维过程.

生1：（图5）首先考虑x=0是方程的一个根，然后方程两边是可以约掉|x|的，那么方程就应该是有三个不同的非零的根，即等价于考虑与y=k（x-3）的图像有三个交点.因为函数y=k（x-3）的图像是过定点（3，0）的，而是偶函数，由于x＜0时必有一个交点，故只需要考虑x＞0时，方程有两个不同的实数根，所以k

生2：（图6）同样我也是看出x=0是方程的一个根，然后当x≠0时，就讨论应有三个不同的交点，画出的图像后发现在k＜0时，必有一个负根，故只需考虑方程=kx在（0，3）内有两个不同的实根即可，后面做的过程和刚才的同学是一样的了.

图5

图6

听完这两位同学的发言后，其他学生都非常的惊讶，这时课堂的气氛异常活跃起来了，都七嘴八舌开始讨论起来，有的说我怎么没有想到呢，有的是没发现x=0是方程的一个根，还有的说自己也是按照这样的思路做的，但是做了一半却做不下去了……

（学生们都在讨论着）这时有一个学生举手了.

生3：刚才他们的方法都是发现了x=0是一个根，先化简了，但是我做的时候没有想到，就想直接转化为找函数有四个交点，可我没有做出来，是不是这样做不了呢？

师：这位同学的问题提得非常好.在你们的作业中，老师发现有几位同学也是用这种方法做的，但是解题过程中存在一些问题，都没有解下去.其实这种方法完全是可以解题的.

然后笔者提示并引导学生画出了这两个函数的图像（图7），让学生完成此方法的解题.

（大约过了五分钟）又有学生举手了.

生5：老师，从这张图中发现x=0肯定是一个根，既然这样，那不如找函数它们的图像应该有三个交点，岂不是更简单嘛？

师：恩，观察很仔细啊！那么函数y=|x|（x-3）的图像怎么画呢？

生5：（主动到黑板上画出函数的图像，如图8）可以先将y=|x|（x-3）写成分段函数然后函数是常值函数，图像是一条平行于x轴的直线，这样从图中直接就看出范围了.

图7

图8

听完这位学生的解释，其他学生也更惊讶了：对啊，这个方法更简单呀，一下子就求出范围了……

师：这位同学的想法太好了.完全是正确的，而且你的方法也是非常简单的，请大家按照这个思路来完成解题……

看到课堂的气氛如此活跃，学生讨论得这么的津津有味，并且很好地掌握了绝对值函数，笔者感到非常的欣慰.

反思3：本题考查的是学生能否正确运用函数方程的思想将求方程解的问题等价转化为函数图像交点的问题.学生在此类问题的解题过程中往往不能等价转化，就会出现漏解、错解.上述四种方法也正是数形结合思想在解函数方程问题过程中的充分体现.恰当地使用数形结合可以将抽象问题具体化，甚至有时能很快从图像中找出答案.在此也应须遵循两个基本原则：（1）尽量使其中一个函数不含参数，这样可以固定一个函数图像；（2）所找的两个函数尽量是比较常见的、已学过的、形式相对简单一点的.

在完成本题讲评之后，为了及时巩固学生对此类问题的掌握程度，笔者当场又给学生出了一道题，如下：

此题要求学生独立完成，大约六分钟后查看完成情况，发现学生的回答过程基本都正确.

反思4：“数”与“形”作为数学研究的两个基本对象，既是统一又是对立.运用数形结合思想解题时，有时把数转化为形，以形直观地表达数来解决，往往使复杂问题简单化、抽象问题具体化.但是若构图不准确、不完整，数与形之间就会不等价，易造成错解或漏解.因此，在数形转化结合的过程中必须遵循下述原则：转化等价原则；数形互补原则；求解简单原则.当然在解题教学渗透数形结合的思想时，应指导学生掌握以下两点：（1）善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系；（2）正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图.

四、对在解题教学中有效提高学生数形结合能力的一点思考

“数形结合”作为数学中的一种重要思想，在高中数学中占有极其重要的地位.关于这一点，查查近年高考试卷，就可见一斑.在多年来的高考题中，数形结合应用广泛，大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程、解不等式、求函数的最值、求复数和三角函数等问题中，巧妙地运用“数形结合”思想解题，可以化抽象为具体，事半功倍.

我们在教学过程中必须注意培养学生的数形结合思想.教师要引导学生根据问题的具体情况，注意改变观察和理解问题的角度，揭示问题的本质，用“数”的准确澄清“形”的模糊，用“形”的直观启迪“数”的计算，从而使问题得到解决.在平日的教学中，教师要紧紧抓住数形转化的策略，沟通知识联系，激发学生的学习兴趣，提高学生的思维能力.而且数形结合也不能只作为解题工具，只有充分揭示出数形结合的意义，深入挖掘其教育价值，数形结合在后续学习中才会有更旺盛的生命力，高中数学教学中数形结合提高解题能力的研究也才会有更宽、更好的奠基.

1.薛党鹏.函数的图像与性质［J］.中学数学教学参考（上），2012（1-2）.

2.［美］G.波利亚.怎样解题［M］.上海：上海科技教育出版社，2005.

3.赵久勇，王梅蓉.数形结合应用中的错误剖析［J］.高中数学教与学，2011（11）.