矩阵和关于{1,2}-逆与{1,4}-逆的混合吸收律

李 莹, 查秀秀, 王方圆(聊城大学 数学科学学院, 山东 聊城 252059)



矩阵和关于{1,2}-逆与{1,4}-逆的混合吸收律

李 莹, 查秀秀, 王方圆
(聊城大学 数学科学学院, 山东 聊城 252059)

定义2个矩阵和关于广义逆的混合第一和第二吸收律的概念,利用矩阵的广义逆Schur补、秩方法及奇异值分解(SVD)得到2个矩阵和关于{1,2}-逆与{1,4}-逆的混合第一、第二吸收律成立的充要条件.

M-P逆; {i,j,k}-逆; 广义schur补; 秩方法; SVD; 混合吸收律

1 引言及预备知识

本文中以Cm×n表示所有m×n复矩阵的集合.A*、r(A)、R(A)分别表示矩阵A的共轭转置、秩与值域.给定矩阵A∈Cm×n,其广义逆G[1-2]是满足下列4个方程中某些方程的矩阵

AGA=A,GAG=G,

(AG)*=AG, (GA)*=GA.

令Ø≠η={i,j,k}⊆{1,2,3,4},Aη表示满足以上(i)、(j)、(k)方程的矩阵G的集合,G称为矩阵A的一个{i,j,k}-逆,记为A(i,j,k).若η={1,2,3,4},则称G为A的M-P逆,记为A+.EA=I-AA+,FA=I-A+A,分别为A*和A的零空间上的正交投影.

矩阵的广义逆在概率统计、数学规划、控制论、测量学、博弈论和网络理论等领域都有广泛而重要的应用[3],同时在最小二乘问题、长方及病态线性方程问题、马尔可夫链等统计问题中也是一种基本的研究工具.广义逆应用的广泛性要求它自身理论发展不断地充实完善.

如果A、B为可逆矩阵,则必有A-1+B-1=A-1(A+B)B-1.否则,对于{1}-逆,文献[4]举例说明了不一定存在A(1)和B(1),使得A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1).本文考虑将上式中的{1}-逆换成2种不同的{i,j,k}-逆,若仍有等式成立,则称矩阵和关于2个广义逆满足混合吸收律,定义如下.

定义 1.1 设A,B∈Cm×n,如果存在G∈Aη,H∈Bζ使得

A(G+H)B=A+B,

则称A、B关于η-逆和ζ-逆满足混合第一吸收律.若使得

G+H=G(A+B)H,

则称A、B关于η-逆和ζ-逆满足混合第二吸收律.

在定义1.1中,若η=ζ,则为矩阵和关于某一种广义逆的第一、第二吸收律.

文献[5-12]提出了一种秩方法.该方法被大量应用到广义逆矩阵、矩阵方程、矩阵不等式、反序律、正序律、最小二乘以及统计量分析等问题的研究中[13-14].本文拟用秩方法、广义Schur补及矩阵的奇异值分解对矩阵和关于广义逆的混合吸收律进行研究,推导关于{1,2}-逆与{1,4}-逆的混合第一、第二吸收律成立的充要条件.

引理 1.1[9]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,D∈Cl×k,则有

r(D-CA+B)=

(1)

(2)

引理 1.2[10]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,D∈Cl×k,则有

min {r(A)+r(D),r(C,D),

(3)

(4)

其中

(5)

(6)

引理 1.3[12]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,则有

r(A,B)=r(A)⟺R(B)⊆R(A),

引理 1.4[12]设A∈Cm×n,B∈Cm×k,C∈Cl×n,若R(AQ)=R(A),R((PA)*)=R(A*),则有

r(AQ,B)=r(A,B),

2 矩阵和关于{1,2}-逆与{1,4}-逆的混合第一吸收律

定理 2.1 设A,B∈Cm×n,则有

(7)

(8)

证明 由(1)及(3)式

由于

r(A,B)≤r(A)+r(B),

所以

由引理1.4有

又

所以

r(A)+r(B),

而

r(B)≤r(A)+r(B),

因而

(7)式成立.下证(8)式.由(1)及(4)式有

下面对r1和r2进行化简并比较大小.

所以r2≤r1,从而

r(B)+max{r1,r2}=r(A,B)+

推论 2.1 设A,B∈Cm×n,则下列叙述等价:

1) 任意A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4},都有

A+B=A(A(1,2)+B(1,4))B;

2) 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A+B=A(A(1,2)+B(1,4))B;

3 矩阵和关于{1,2}-逆与{1,4}-逆的混合第二吸收律

定理 3.1 设A,B∈Cm×n,则有

min{n,m,n+m-r(A)-r(B)}.

(9)

(10)

证明 由(3)及(5)式有

(-In)A(1,2)(Im-(A+B)B(1,4)))=

min{n,m,n+m-r(A)-r(B)}.

(9)式成立.下证(10)式.由(6)式有

r(B,Im-AA(1,2))).

设

其中

P=(P1,P2),Q=(Q1,Q2),

分别为m和n阶酉矩阵,P1∈Cm×r(A),Q1∈Cn×r(A),∑r(A)=diag(σ1,σ2,…,σr(A)),σ1≥σ2≥…≥σr(A)为A的非零奇异值,则有

其中,A12和A21为适当阶数的任意矩阵.计算得

r((In-A(1,2)A)B*)=

r(B,Im-AA(1,2))=

r(P*B,P*(Im-AA(1,2))P)=

则有

r(B,Im-AA(1,2)))=

下面分别计算上式中的2个极秩.Q为列满秩阵,所以

由(2)式,上式等于

又

min{m,m+r(B)-r(A)},

所以

A(1,2)(A+B)B(1,4))=

max {r(B)-r(BQ1),r(A)-r(BQ1)}.

由A的奇异值分解

从而

所以

又

根据引理1.4

故结论成立.

推论 3.1 任意A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}都有

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

当且仅当A,B为非奇异阵.

推论 3.2 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

当且仅当

证明 存在A(1,2)∈A{1,2},B(1,4)∈B{1,4}使得

A(1,2)+B(1,4)=A(1,2)(A+B)B(1,4),

当且仅当

A(1,2)(A+B)B(1,4))=0.

若r(A)≥r(B),则r(BQ1)=r(A),而r(BQ1)≤r(B),所以r(BQ1)=r(A)=r(B).若r(A)≤r(B),则r(BQ1)=r(B),而

r(BQ1)=r(BA+AB*)≤r(A),

从而r(BQ1)=r(A)=r(B).所以结论成立.

注 3.1 文献[4]中给出了存在A(1)和B(1)使得

A(1)+B(1)=A(1)(A+B)B(1)

成立的等价条件,即r(A)=r(B).有如下结论,若存在A(1,2)和B(1,4)使得混合第二吸收律成立,则关于A(1)和B(1)的第二吸收律必成立,反之,则不一定.

本文中所有吸收律等式中所涉及的某种广义逆均为同一个矩阵,若不同,则问题转化为考察关于矩阵及其广义逆的表达式构成的2个集合之间的关系,此时问题将复杂得多,也是下一步将要研究的课题.

致谢 聊城大学科研基金(31805)对本文给予了资助,谨致谢意.

[1] Ben-Israel A, Greville T N E. Generalized Inverses:Theory and Applications[M]. New York:John Wiley and Sons,1974.

[2] 郭文彬,魏木生. 奇异值分解及其在广义逆理论中的应用[M]. 北京:科学出版社,2008.

[3] 王松桂,杨振海. 广义逆矩阵及其应用[M]. 北京:北京工业大学出版社,1996.

[4] 陈孝娟,郭文彬. 奇异值分解在广义逆中的应用[J]. 华东师范大学学报:自然科学版,2008,2008(1):25-29.

[5] Tian Y. Reverse order laws for the generalized inverses of multiple matrix products[J]. Linear Algebra and Its Applications,1994,211:85-100.

[6] Tian Y, George P H. Rank equalities for idempotent and involutary matrices[J]. Linear Algebra and Its Applications,2001,335:101-117.

[7] Tian Y. The Moore-Penrose inverse of a partitioned matrix and its applications[J]. Appl Math J Chinese University,1992,7:310-314.

[8] 田永革. 矩阵Moore-Penrose逆中子矩阵秩的计算公式[J]. 北京工业大学学报,1992,18(4):84-92.

[9] Tian Y. Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their Applications[D]. Canada:Montreal University,2000.

[10] Tian Y. More on maximal and minimal ranks of Schur complements with applications[J]. Appl Math Comput,2004,152:675-692.

[11] Tian Y, Liu Y. Extremal ranks of some symmetric matrix expressions with applications[J]. SIAM J Matrix Anal Appl,2006,28:890-905.

[12] Marsaglia D, George P H. Equalities and inequalities for ranks of matrices[J]. Linear and Multilinear Algebra,1974,2(1):269-292.

[13] Guo W, Wei M, Zhao J. Forward order law for g-inverses of the product of two matrices[J]. Appl Math Comput,2007,189:1749-1754.

[14] Liu Y, Wei M. Rank equalities for submatrices in generalized inverseM(2)T,SofM[J]. Appl Math Comput,2004,152:499-504.

[15] 黄敬频. 矩阵方程组[A1XB1,A2XB2]=[C,D]的最小二乘解[J]. 四川师范大学学报:自然科学版,2003,26(4):370-372.

[16] 何兴月,廖祖华,胡森涵,等. Quantale矩阵的加权M-P广义逆[J]. 四川师范大学学报:自然科学版,2012,35(3):340-344.

2010 MSC：15A09

(编辑 李德华)

The Mixed Absorption Laws of the Sum of Two Matrices on {1,2}-Inverse and {1,4}-Inverse

LI Ying, CHA Xiuxiu, WANG Fangyuan
(CollegeofMathematicsScience,LiaochengUniversity,Liaocheng252059,Shandong)

The concept of the mixed first absorption laws and the mixed second absorption laws on generalized inverse is given. Using the matrix rank method, the generalized Schur complement and SVD, necessary and sufficient conditions about the mixed first absorption laws and the mixed second absorption laws on {1,2}-inverse and {1,4}-inverse are established.

M-P inverse; {i,j,k}-inverse; generalized Schur complement; matrix rank method; SVD; mixed absorption laws

2014-05-22

国家自然科学基金(11301247)

李 莹(1974—),女,副教授,主要从事矩阵理论的研究,E-mail:liyingld@163.com

O151.21

A

1001-8395(2015)06-0851-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2015.06.012