巧用“图象面积”求解习题

胡冰琳

【摘要】高中物理涉及了很多图象，物理图象中的“面积”有着非常丰富的内涵。本文阐述巧用“面积”求解问题。

【关键词】图象面积

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0144-02

高中物理涉及了很多图象，物理图象中的“面积”有着非常丰富的内涵。这里所说的“面积”是指物理图象中图线与横轴所夹的面积，物理图象中“面积”的物理含义是由横、纵两轴物理量的乘积及相应物理公式决定的。深刻理解“面积”的物理含义是利用“面积”有效处理物理问题的关键所在，下面列举4个例题，突出体现巧用“面积”求解问题的奇秒之处。

1.F-x图象

在反映作用在物体上的力F随位移x变化的F-x图象中，横、纵两轴物理量的乘积为Fx，即为力F做的功，所以F-x图象中图线与横轴所夹的“面积”的物理意义就是力F所做的功。

例1  如图1所示，一对足够长的平行光滑轨道放置在水平面上，两轨道相距L=1m，左端之间用R=3Ω的电阻连接，轨道的电阻忽略不计。质量m=0.5kg、电阻r=1Ω的导体杆静置于两轨道上，并与两轨道垂直。整个装置处于磁感应强度B=2T的匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上。现用水平拉力沿轨道方向拉导体杆，拉力F与导体杆运动的位移x的关系如图2所示。当拉力达到最大时，导体杆恰好开始做匀速运动。当位移x=2.5m时撤去拉力，导体杆又滑行了一段距离△x后停下，已知在滑行△x的过程中电阻R上产生的焦耳热为12J。求：

图1                               图2

（1）导体杆运动过程中的最大速度vm;

（2）拉力F作用过程中，回路中产生的焦耳热Q。

解  （1）撤去F后导体杆滑行过程中动能转化为电能

■=■=■           ①

由能量守恒定律得 ■mv■■ =QR+Qr    ②

联立①②解得vm=8m/s

（2）匀速运动时最大拉力与安培力平衡

Fm=BImL  ③            Im=■   ④

联立③④得Fm=8N

由图象面积可得拉力做的功WF=18J   ⑤

由能量守恒可得 WF=Q+■mv■■     ⑥

联立⑤⑥得Q=2J

2.a-t图象

在反映物体加速度a随时间t变化的a-t图象中，横、纵两轴物理量的乘积为at，即为运动物体在这段时间内的速度的变化量，所以a-t图象中图线与横轴所夹“面积”的物理意义就是物体速度的变化量。

例2  某舰载机降落到静止的航母上，图3为航母甲板上拦阻索阻拦舰载机过程的俯视示意图，图4为舰载机尾钩钩住拦阻索正中位置随即关闭发动机后加速度a随时间t变化的图象。已知舰载机质量M=2.0×104kg，尾钩刚钩住拦阻索时的初速度v0=75m/s，t1=0.3s，拦阻索与尾钩刚钩住时拦阻索的初始位置夹角θ=45°，此时舰载机所受空气阻力与甲板摩擦阻力大小之和f=2.0×105N，求：

图3                              图4

（1）t1=0.3s拦阻索的拉力大小T;

（2）t1=0.3s舰载机的速度大小v1，t1=0.3s至t2=2.5s内通过的位移大小s。

解（1）由图象可知加速度大小a1=30m/s2    ①

由牛顿第二定律得2Tsinθ+f=Ma      ②

联立①②解得T=2.8×105N

（2）图象0-0.3s的面积代表速度的减少量

△？淄=■×0.3m/s=4.5m/s  ③

t1=0.3s，v1=v0-△v=70.5m/s   ④

t1-t2时间内的位移大小s=v1（t2-t1）-■a（t2-t1）2  ⑤

联立④⑤得s=82.5m

3.E-r图象

在反映电场强度E随距离r变化的E-r图象中，横、纵两轴物理量的乘积为Er，即代表电势差，所以在E-r图象中，图线与横轴所夹的“面积”的物理意义就是电势差。

例3  半径为R，均匀带正电荷的球体在空间产生球对称的电场。场强大小沿半径分布如图5所示，图中E0已知，E-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积。

（1）已知带电球在r≥R处的场强E=■，式中k为静电力常量，该均匀带电球所带的电荷量Q为多大？

（2）求球心与球表面间的电势差△U;

（3）质量为m，电荷量为q的负电荷在球面处需具有多大的速度可以刚好运动到2R处？

解  （1）从图中可得E0=■  解得Q=■

（2）球心与球表面间的电势差△U就是图线O-R部分的面积△U=■  ①

（3）由题中可得E-r曲线下O-R部分的面积等于R-2R部分的面积，距离球心R到2R的电势差也为△U

由能量守恒得■mv■■=q△U  ②

联立①②得 ？淄0■

4.V-t图象

在反映物体速度v随时间t变化的v-t图象中，横、纵两轴物理量的乘积为vt，即为位移，所以v-t图象中图线与横轴所夹的“面积”的物理意义就是物体运动位移。

例4  酒后驾车严重威胁公众交通安全。若将驾驶员从视觉感知前方危险到汽车开始制动的时间称为反应时间，将反应时间和制动时间内汽车行驶的总距离称为感知制动距离。科学研究发现，反应时间和感知制动距离在驾驶员饮酒前后会发生明显变化。一驾驶员正常驾车和酒后驾车时，感知前方危险后汽车运动v-t图线分别如图6、7所示。求：

（1）正常驾驶时的感知制动距离s1

（2）酒后驾驶时的感知制动距离比正常驾驶时增加的距离△s

图6                      图7

解 （1）图6中的图象在0-4.5s的面积代表位移s1

s1=■×30m=75m

（2）图7中的图象在0-5.5s的面积代表位移s2

s2=■×30m=105m        △s=s2-s1=30m

通过上面的四个例题，利用图象“面积”巧妙地求出变力做功、非匀变速运动的速度变化量、非匀强电场的电势差和物体运动的位移，使复杂问题的过程通过“图象面积”求解变得更加简单化，实践证明，物理图象的“面积”不仅可以快速、高效的处理高中物理的线性问题，而且在处理解析法难于解决的非线性问题有着想不到的功效，这就要求我们老师在平时的课堂教学中应注重这类思想的引导与渗透，从而快速提高学生解决物理问题的能力。