线性代数课程MATLAB辅助教学的实践探索

欧阳异能 沈晓芳

【摘要】讨论了线性代数教学中，在传统理论课基础上，引入计算软件MATLAB进行数学实验。结合简单数学建模训练，激发了学生学习兴趣，提高了学生科学计算和实践应用能力。

【关键词】线性代数  数学实验  MATLAB

【基金项目】石河子大学课堂教学改革项目（KG？鄄2013？鄄14）。

【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）05-0116-01

1.引言

线性代数是高等院校各专业的必修课，是学生学习专业课必备基础，也是研究生入学考试的必考内容。学生通过对线性代数理论的学习，不仅可以培养学生良好的运算能力、逻辑思维能力和抽象分析能力，还可以锻炼学生综合推理以及建模应用能力。但传统线性代数教材以理论为主导、过分注重理论的完整性，强调证明和推导的逻辑性，加上繁琐的计算过程，让人更加觉得线性代数抽象难懂，使学生丧失了学习兴趣。同时传统教材普遍采取以例题讲知识点的应用，根本没有体现出该课程的计算功能和应用性，以至于学生中产生学习线性代数无用论。

近年来，计算机技术发展迅猛，不仅促进了现代教育技术的发展，对经典数学课程的教学内容、教学方法以及教学思想都产生影响。国外为数不少学校已经开始利用计算机进行线性代数教学实践，因而为适应时代发展需要，高校数学教师有必要更新观念，探索一种适应新形势的计算机辅助教学全新教学模式，将线性代数的理论性与应用性有机结合，让线性代数成为真正有用的基础学科。

MATLAB 是一款著名的科学计算软件，它的主要优点在于语句简洁，功能强大，具有数值运算、符号运算、计算结果和编程可视化。它以矩阵为单元，可以直接用于矩阵计算，而线性代数所有运算都以矩阵、行列式为基础的，因此MATLAB是进行线性代数课程辅助教学的有力工具。下面介绍MATLAB辅助线性代数教学的改革在我校的具体实施方法和过程。

2.MATLAB辅助线性代数教学的实践探索

2.1MATLAB软件使用训练

MATLAB是矩阵实验室的英文缩写，它是以矩阵运算为基础的程序语言，语句简洁，计算功能强大。线性代数是以矩阵和行列式为基础计算工具，因此采用MATLAB做线性代数实验尤为适用。我校大部分专业的线性代数在第二学期或者第三学期开设，这部分同学已经开设了C语言课程，具有语言编程基础，MATLAB的应用只需要简单介绍就行，但部分专业新生第一学期就开设线性代数，这部分学生我们采取先讲矩阵的内容，再让学生了解MATLAB的工作界面和简单的编程基础。第一阶段在我校的物理和工商管理专业等专业进行了探索和实践，学生人数大约400人左右，进展比较顺利。

2.2利用基础性实验提高计算能力

矩阵和行列式是线性代数的基本运算，无论线性方程组求解还是向量组线性相关性的判定都离不开矩阵的运算，均以矩阵的初等变换为核心。线性代数的大部分运算需要大量的手工计算，不仅需要掌握基本计算理论，还需要掌握许多计算技巧，往往一个小错误导致整个计算失败，这样就会造成学生忙于学习计算，忽略理论方法学习。MATLAB软件引入线性代数课程可以较好地解决这一问题。我们以MATLAB为实验平台，采取传统理论与实验内容相结合的方法，突出线性代数的应用性，分层次、按步骤进行实验。

实验1 矩阵的基本运算，包括矩阵的加法、减、乘、求逆（inv（A））以及方阵行列式（det（A））、行最简形rref（A），秩（rank（A））、迹（trace（A））等。

实验2 线性方程组求解，包括克莱姆法则求解方程组，矩阵方程求解，求齐次方程组的基础解系（null（A，r））等。让学生根据线性方程组基本原理，列出解题步骤，自己编程实现方程组求解。

实验3 求方阵特征值特征向量，特征值特征向量的计算量相当大，计算过程复杂，一直是学生的计算难点，用计算机可以轻松解决计算问题，只需熟练掌握计算步骤即可。MATLAB求特征值特征向量的命令：[V，D]=eig（A），返回A的全部特征值构成对角矩阵D;A的特征向量构成V的列向量，使AV=VD成立，因此可以通过命令[V，D]=eig（A）和inv（V）？鄢A？鄢V将矩阵A对角化。

2.3利用综合实验提高解决实际问题能力

线性代数的教学不仅要培养学生的理论基础，更要突出培养学生计算能力和应用创新能力。数学模型是实现数学理论与现实问题之间互动的一座桥梁，将数学建模问题引入线性代数课堂，可以大大丰富课程的应用背景，提高学生的计算能力和创新能力。以下就线性方程组在投入产出问题中应用为例，建立数学模型并给出MATLAB求解过程。

例：某地区有三个重要产业，一个煤矿、一个发电厂和一条地方铁路。开采1元钱的煤，煤矿要支付0.25元的电费及0.25元的运输费;生产1元钱的电力，发电厂要支付0.65元的煤费，0.05元的电费及0.05匀的运输费;创收1元钱的运输费，铁路要支付0.55元的煤费及0.1元的电费。在某一周内煤矿接到外地金额为50000元的订货，发电厂接到外地金额为25000元的订货，外界对地方铁路没有需求。问三个企业间一周内总产值分别为多少才能满足自身及外界的需求？三个企业间相互支付多少金额？

模型建立：设x1为煤矿本周内的总产值，x2为发电厂本周内的总产值，x3为铁路本周内的总产值，则

x■-（0x■+0.65x■+0.55x■）=50000x■-（0.25x■+0.05x■+0.1x■）=25000x■-（0.25x■+0.05x■+0x■）=0

设产出向量x=（x1 x2 x3）T，需求向量y=（50000 25000 0）T，

A=0      0.65   0.650.25  0.05    0.10.25  0.05     0，则原方程组可以表示成（E-A）x=y，由此解得产出向量为x=（E-A）-1y，三个企业相互支付金额可用矩阵

B=0        0.65x2   0.55x30.25x1  0.05x2   0.1x30.25x1  0.05x2    0表示。

模型计算：在MATLAB命令窗口输入并运行以下命令可快速得到计算结果：

>> format rat

>> A=[0 0.65 0.55;0.25 0.05 0.1;0.25 0.05 0];

>> E=[1 0 0;0 1 0;0 0 1];

>> y=[50000 25000 0]？蒺;

>> x=inv（（E-A））？鄢y

>> B=A？鄢diag（x）

运行结果为

x =[204175/2  56163  28330]

B =

0     36506      31163/2

204175/8   56163/20   2833

204175/8   56163/20      0

3.结束语

将MATLAB引入线性代数课程教学中，以数学实验和数学模型为桥梁，抽象的数学概念和复杂的推导过程可以得以验证，繁杂的计算过程变得简单，不仅激发了学生的学习线性代数的兴趣，也极大地提高了学生的学习积极性。借助计算机解决实际问题，不仅巩固了学生所学理论知识，学生的创新应用能力也得到了发展，并为今后的学习深造奠定坚实基础。

参考文献：

[1]戴斌祥.线性代数[M].北京：北京邮电大学出版社，2014

[2]陈怀琛，龚杰民.线性代数实践及Matlab入门（2版）[M].北京：电子工业出版社，2009

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[5]黄玉梅，李彦.非数学专业线性代数教学改革探讨[J].重庆文理学院学报，2009，28（5）：87-89