参考答案（二）
2015-04-16
1 诱导公式与同角三角关系式
1. 法一：由已知， = = = =-3. 故选D.
法二：本题是二次齐次式，故得 = ，分子、分母同除以cos2α，故原式= = =-3. 故选D.
2. tan- =-tan = -tan13π- =tan =1.
2 和差角公式与二倍角公式
1. sinθ+cosθ= ，两边平方有sinθcosθ=- .
sin3θ+cos3θ=（sinθ+cosθ）（sin2θ-sinθcosθ+cos2θ）= 1-- = ；
sin4θ+cos4θ=（sin2θ+cos2θ）2-2（sinθcosθ）2=1-2×- 2= ；
sin5θ+cos5θ=（sin2θ+cos2θ）（sin3θ+cos3θ）-（sinθcosθ）2（sinθ+cosθ）=1× -- 2× = ，故原式=5× ÷ -2× =3.
2. 原式= + + [sin（20°+50°）+sin（20°-50°）]=1- （cos40°+cos80°）+ sin70°- sin30°=1- （2cos60°cos20°）+ sin70°- = - cos20°+ sin70°= .
3 三角函数的图象
1. （1）f（x）=m·n= Asinxcosx+ cos2x= Asin2x+ cos2x=Asin2x+ . 因为A>0，由题意知A=6.
（2）由（1）得f（x）=6sin2x+ ，将函数y=f（x）的图象向左平移 个单位后得到y=6sin2x+ + =6sin2x+ 的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，得到y=6sin4x+ 的图象. 因此g（x）=6sin4x+ ，因为x∈0， ，所以可知4x+ ∈ ， ，故g（x）在x∈0， 上的值域为[-3，6].
2. （1）由题意，A=1，T= =8，得ω= ，所以f（x）=sin x+φ. 又f（1）=sin +φ=1且- <φ< ，所以 +φ= ，得φ= ，所以f（x）=sin x+ .
（2）因为f（-1）=0， f（1）=1， f（5）=
-1，所以M（-1，0），N（1，1），P（5，-1），故MN= MP= ，NP=2 . 由余弦定理得cos∠MNP=- ，而∠MNP∈（0，π），故sin∠MNP= .
4 三角函数的性质
1. 对于选项A，y=sinx+1；对于选项C，y=2sinx，其单调性都与y=sinx一致，故A、C同真同假，因选项唯一，故排除A、C. 对于选B，y=sinx+cosx= sinx+ ，因x∈- ， ，所以x+ ∈[0，π]，y=sinx+ 非单调递增，对于选项D，y=sinx-cosx= sinx- ，x- ∈- ， ，所以y=sinx-cosx在x∈- ， 上单调递增. 故选D.
2. y=sinx- cosx=2sinx- ，平移后图象所对应的解析式为y=2sinx-a- （a>0），其关于y轴对称，所以-a- =± +kπ（k∈Z），故a= - -kπ或 -kπ，则a的最小值为 . 故选C.
3. （1）x∈- ， ，A=2， =
- -- ，T=2π，ω=1，且f（x）=2sin（x+φ）过- ，2.
因为0<φ<π，所以- +φ= ，φ= ， f（x）=2sinx+ .
当 ≤x≤π时- ≤ -x≤ ， f（x）=2sin -x+ =2sin（π-x）=2sinx.
而函数y=f（x）的图象关于直线x= 对称，则f（x）=f -x，所以f（x）=2sinx+ ，x∈- ， ，2sinx，x∈ ，π .
（2）当- ≤x≤ 时， f（x）=2sinx+ = ，sinx+ = ，所以x+ = 或 ， 即x=- 或 ；
当 ≤x≤π时， f（x）=2sinx= ，sinx= ，所以x= 或 .
所以方程f（x）= 的解集是- ， ， ， .
（3）存在假设存在，由条件得：m-2 5 解三角形 1. 由S△ABC= bcsinA= ×5b× =5 ，得b=4. 据余弦定理知a2=b2+c2-2bccosA=42+52-2×4×5cos =61，得a= . 2. 设在△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c. （1）因为 · =2，所以bccosA=2，又S△ABC=2，所以 bcsinA=2. 所以tanA=2. （2）因为tanA=2，所以cosA= ，由于sinB=2cosAsinC，所以sin（A+C）=2cosAsinC，即sinAcosC+cosAsinC=2cosAsinC，得sinAcosC=cosAsinC，所以A=C，即a=c，故bccosA= = =2，b=2，2c× =2，c= ，所以a= ，即BC= . 综合测试 1. B 2. 已知等式可变化为 tanB= ，则cosB· = ，得sinB= ，B∈（0，π），所以B= 或 . 故选D. 3. 由tan x- =0，得 x- =kπ（k∈Z），x=4k+2（k∈Z），结合图形可知A（2，0）. 由tan x- =1，得 x- = +kπ（k∈Z），所以x=3+4k（k∈Z），结合图形可知B（3，1）. 所以（ + ）· =（5，1）·（1，1）=6.
4. 把P0， 代入f（x）=3sin（2x+θ），得sinθ= ，故θ= .
所以g（x）=3sin2x+ -2φ，把P0， 代入得sin2φ- =- ，φ=kπ或φ=kπ- （k∈Z），观察选项，故选C.
5. 由命题p：不等式lg[x（1-x）+1]>0，可知lg[x（1-x）+1]>lg1. 所以x（1-x）+1>1，所以0 6. f（x）=1-cos +2x- cos2x-1=sin2x- cos2x=2sin2x- ，h（x）=f（x+α）=2sin2x+2α- . 因为h- =0，所以2×- +2α- =kπ（k∈Z），故α= + （k∈Z）. 又因为α∈（0，π），所以α= . 7. 由余弦定理可得cosB= = = ≥ = ，当且仅当a2=c2，即a=c时等号成立. 最小值为 . 8. 对于①，假设f（-x）=-msinx+ncosx=f（x）=msinx+ncosx，则msinx=0，因为m≠0，所以msinx=0不恒成立，故f（x）不是偶函数，①错误；对于②，令x=0， f（0）=n，所以只有当n=0时，函数f（x）图象才过坐标原点，故②错误；对于③， f（x）=msinx+ncosx= sin（x+φ）tanφ= ，所以函数f（x）任意两零点之间的距离为nπ（n∈N？鄢），故③正确；对于④，因为任意x∈R，f（x）≥f ，所以f =0，可得m=n，故④正确；对于⑤， f（x）=msinx+ncosx= sin（x+φ），其中sinφ= ，cosφ= ，所以tanα= = ，可得cos（α+φ）=0，α+φ=kπ+ ，k∈Z，即α=-φ+ +kπ，k∈Z 时， f（α）=± ，故⑤正确. 填③④⑤. 9. f（x）=a（1+cosx+sinx）+b= asinx+ +a+b. （1）当a=-1时，函数f（x）=- ·sinx+ +b-1，由2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ （k∈Z），得2kπ+ ≤x≤2kπ+ （k∈Z），所以f（x）的单调增区间为2kπ+ ，2kπ+ （k∈Z）. （2）因为0≤x≤π，所以 ≤x+ ≤ ，所以- ≤sinx+ ≤1，由题意知a≠0.当a>0时，可得 a+a+b=8，b=5，解得a=3 -3，b=5；当a<0时，可得b=8， a+a+b=5，解得a=3-3 ，b=8. 综上所述，a=3 -3，b=5或a=3-3 ，b=8. 10. （1）因为cosB= = = ≥0，所以B≤90°（当且仅当a=c时取得等号）. （2）因为 · =-2，所以accosB=2. 因为b2=a2+c2-2accosB=12，所以a2+c2=16. 又a+c= b=2 ，所以ac=4，所以cosB= ，所以sinB= ，所以S△ABC= acsinB= . 11. （1）由题设条件知f（x）的周期T=π，即 =π，解得ω=2. 因f（x）在x= 处取得最大值2，所以A=2，从而sin2× +φ=1，所以2× +φ= +2kπ，k∈Z. 又由-π<φ<π得φ= . 故f（x）=2sin2x+ . （2）由已知，g（x）= = = = cos2x+1cos2x≠ . 因cos2x∈[0，1]，且cos2x≠ ，故g（x）的值域为1， ∪ ， . 12. （1）因为m=（sinA，sinC），n=（cosC，cosA），所以m·n=sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB. 又已知m·n=sin2B，所以sin2B=sinB，所以2sinBcosB=sinB，显然sinB≠0，所以cosB= ，所以B= . （2）因为 ·（ - ）= · =c·acosB= ac=8，所以ac=16. 因为三边a，b，c成等差数列，所以a+c=2b，所以b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac=（a+c）2-3ac=4b2-48，所以3b2=48，b=4.
