二次函数与三次函数问题

虽然现行高中数学教材中，没有专门介绍二次函数和三次函数，但由于二次函数涉及的问题“博大精深”，尤其二次函数的性质、最值问题，一元二次方程根的分布情况问题，二次不等式的解法和恒成立问题一直都是考试的热点问题；由于三次函数的导函数是二次函数，因此可以通过研究其导函数（二次函数）来研究三次函数的性质，各地的高考试题中三次函数问题经常在压轴题中出现.

对于二次函数，其重点和难点是：①二次函数在规定区间上的最值问题；②一元二次方程根的分布情况问题. 对于三次函数要做到：能由函数的解析式得到函数的极值、函数的单调性，从而画出函数的大致图象，了解其零点的分布情况.

解决二次函数的相关问题时，由于其解析式有三种形式（①一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；②标准式：y=a（x-m）2+k（a≠0）；③两根式：y=a（x-x1）（x-x2）），所以对解析式的选择显得非常重要，特别要注意解析式与具体问题的匹配. 对于三次函数问题，特别要重视通过研究其导函数来解决问题，即把三次函数问题化归为二次函数问题.

例1 已知函数f（x）=x2-2（a+2）x+a2，g（x）=-x2+2（a-2）x-a2+8，设H1=max{f（x），g（x）}，H2=min{f（x），g（x）}，其中max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值，记H1的最小值为A，H2的最大值为B，则A-B等于（ ）

A. 16 B. -16

C. a2-2a-16 D. a2+2a-16

破解思路 本题的常规解法是设法把A，B用a表示出来，然后再求出A-B. 若分别求出函数H1（x）和H2（x）的解析式，再求其最小值和最大值，则要经过繁杂的运算过程，且容易犯错；而利用数形结合的思想方法解决则能做到“有图有真相”. 同时，对于选择题，也可以用特殊法来解决.

答案详解 法1：抛物线y=f（x）=（x-a-2）2-4a-4的顶点为P（a+2，-4a-4），抛物线y=g（x）=-（x-a+2）2-4a+12的顶点为Q（a-2，-4a+12）.

由f（x）=g（x）？圳2（x-a）2-8=0？圳x=a-2或x=a+2，即两抛物线的交点恰为抛物线y=f（x），y=g（x）的顶点. 如图5，作出它们的图象，由图象可知A，B分别是P，Q两点的纵坐标，即A=-4a-4，B=-4a+12，所以A-B=-16.

图5

法2：事实上，对于？坌a∈R，函数y=f（x）和y=g（x）的图象都有公共点，所以y=H1（x）和y=H2（x）也有公共点，不妨设其公共点的纵坐标为y0，则A≤y0≤B，所以对于？坌a∈R，A-B≤0，故可否定A，C，D.

例2 已知二次函数f（x）=ax2+2x-a满足f（-1）

破解思路 要得到a的取值范围，只需得到实数a应满足的“目标不等式”，所以问题的关键是如何把题目给出的关于某些函数值的不等式“翻译”成关于a的不等式，这里显然要利用函数的单调性解决之. 注意到二次函数的单调性与二次函数图象的开口、对称轴相关，所以还要用到分类讨论的方法.

答案详解 由题意可知，a≠0.若a>0，则f（x）是（0，+∞）上的增函数，所以f（3）>f（2）>f（1），与已知矛盾. 所以必有a<0. 令x0=->0，由于y=f（x）的图象关于直线x=x0对称，且开口向下，由f（-1）3-x0>2-x0>x0-1，解得1

例3 已知函数f（x）=（1-2a）x3+（9a-4）x2+（5-12a）x+4a（a∈R）在区间[0，2]上的最大值是2，求a的取值范围.

破解思路 （1）当a的值确定时， f（x）在区间[0，2]上的最大值也随之确定. 从理论上讲，其最大值可以表示成关于a的函数h（a），解方程h（a）=2可得到a的值. 但这个想法有以下两个不足：其一，求函数h（a）的解析式是一件很不容易的事，所以没有可操作性；其二，照理可求出a的值，而题目所要的结论是a的取值范围，因此题目中可能还隐藏着其他“机关”.

（2）注意到函数f（x）在区间[0，2]上的最大值只可能在边界点的函数值及在这个区间上的极值点的函数值中产生，因此必有f（0）≤2， f（2）≤2成立，由此可缩小“包围圈”. 在操作过程中没有必要真去求出函数f（x）的最大值，只需其在区间[0，2]上的极值点的函数值不大于2即可.

答案详解 法1：（分类讨论，各个击破）因为f（x）=（1-2a）x3+（9a-4）x2+（5-12a）x+4a（a∈R），所以f ′（x）=3（1-2a）x2+2（9a-4）x+（5-12a）=（x-1）[3（1-2a）x-（5-12a）] .

记t=其中a≠，由t=1可得a=. 由题意可知， f（0）=4a≤2，得a≤. 又因为？坌a∈R， f（2）=2恒成立， f（1）=-a+2≤2得a≥0，所以0≤a≤.

①当0≤a<时，0<1

②当≤a<时，t≤0<1<2， f（x）是[0，1]上的减函数，是[1，2]上的增函数，所以f（x）在[0，2]上的最大值为max{f（0）， f（2）}=2，满足条件.

③当

④当a=时， f（x）是[0，1]上的减函数，是[1，2]上的增函数，所以f（x）在[0，2]上的最大值为max{f（0）， f（2）}=2，满足条件.

⑤当a=时， f ′（x）=（x-1）2≥0，f（x）是[0，2]上的增函数，所以f（x）在[0，2]上的最大值为f（2）=2.

由①②③④⑤可知a的取值范围是0≤a≤.

评注 这种解法的指导思想是运用分类讨论的思想，把需要论证的问题分解成若干个小问题，然后各个击破，所以总的解题思路显得很自然. 在该解题过程中利用了x=1是其中的一个极值点，边界点的函数值f（0）≤2等条件，从而把a的取值范围压缩为0≤a≤，但后面的论证过程显得比较繁杂. 若能大胆猜想0≤a≤就是a的取值范围，则可以对其论证过程作必要的修正，如通过改变主元的方法，简化证明过程.

法2：（大胆猜想，小心论证）由题意可知， f（0）=4a≤2，得a≤，又因为？坌a∈R， f（2）=2恒成立， f（1）= -a+2≤2得a≥0，所以0≤a≤.

下面证明：？坌x∈[0，2]，a∈0，有f（x）≤f（2）=2恒成立.

由于f（x）=g（a）=（-2x3+9x2-12x+4）a+x3-4x2+5x.

要证明：？坌a∈0，，g（a）≤2恒成立，只需证明：g（0）≤2，g≤2成立. 令h（x）=g（0）=x3-4x2+5x，则易知h（x）是[0，1]和，2上的增函数，是1，上的减函数，所以h（x）在[0，2]上的最大值为max{h（1），h（2）}=2，即？坌x∈[0，2]，g（0）≤2成立.

令s（x）=g=（x-1）2+， s（x）在[0，2]上的最大值为max{s（0），s（2）}=2，即？坌x∈[0，2]，g≤2成立.

综上所述，a的取值范围是0≤a≤.

评注 本解法的关键是能注意到f（2）=2，且x=1是函数的一个极值点，从而大胆猜想a的取值范围是0≤a≤. 这种解法过程简捷，确实令人拍案叫绝，但其缺点也很明显，即思路不是很自然.

在发现“暗藏机关”f（2）=2后，问题即化归为“0≤x≤2时， f（x）≤f（2）恒成立，求实数a的取值范围”. 运用分离变量法，把问题化归为求函数的最值，是求解不等式中参数的范围最常用的方法之一.

法3：（分离变量，再求最值）由题意可知， f（0）=4a≤2得a≤. 又因为？坌a∈R， f（2）=2恒成立，所以函数f（x）在区间[0，2]上的最大值是2？圳0≤x≤2时， f（x）≤f（2）恒成立？圳0≤x≤2时，（x-2）[（-a）（2x2-5x+2）+x2-2x+1]≤0恒成立？圳0≤x<2时，（-a）（2x2-5x+2）+x2-2x+1≥0恒成立？圳0≤x<2时，a（x-2）（2x-1）≤x2-2x+1恒成立？圳0≤x<时，a≤恒成立且

令g（x）=0≤x<，则g（x）=2--0≤x<，其值域为（0，2]，所以=的最小值为，所以a≤. 当

综上所述，a的取值范围是0≤a≤.

1. 关于x的方程x3-px+2=0有三个不同的实数解，则实数p的取值范围为________.

2. 已知函数f（x）=x3-3x+1，x∈R，A={xt≤x≤t+1}，B={xf（x）≥1}， 若集合A∩B只含有一个元素，则实数t的取值范围为________.

3. 已知函数ft（x）=（x-t）2-t（t∈R），设a