数列、推理与证明

汤小梅

为了让您理清数列、推理与证明的复习要点，理顺数列中的一对姐妹花（等差数列与等比数列），成功穿越数列的应用，理透推理与证明的横向联系和纵向延伸，整合知识，提炼破解技巧，现走进经典例题，通过跟踪练习，让您复习数列、推理与证明so easy，轻松突破数列、推理与证明的思维瓶颈.

等差数列与等比数列是新课标高考的必考热点之一，一般的考查方式是一道客观题、一道解答题，试题难度多为中偏低档或中档，总分值约为16～18分.

（1）等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式；（2）数列的前n项和Sn与第n项an的关系式；（3）与数列有关的最值问题.

（1）活用公式→熟练掌握等差（比）数列的定义、通项公式与前n项和公式及其有关性质.

①方程法，即将an与Sn统一表示为a1和d（或q）的方程（组），以求其基本量（五个基本量中，通常先求出a1和d（或q），然后求其他的基本量）：

对于等差数列{an}，an=a1+（n-1）·d，Sn= d=na1+ ；

对于等比数列{an}，an=a1qn-1，Sn=na1，q=1， ，q≠1.

②性质法，即运用等差（比）数列的相关性质解题，常可整体代换，回避单个求值. 较为常用的如：a，b，c成等差？圳2b=a+c；a，b，c成等比？圯b2=ac；若m+n=p+q？圯am+an=ap+aq（或aman=apaq）（n，m，p，q∈N ）；有关和的性质，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…仍成等差（比）数列等. 需要指出的是，等差、等比数列的性质具有对称性，因此可用类比的思想理解和记忆.

（2）分类讨论→熟练掌握数列的前n项和Sn与第n项an的关系，由Sn求解an时，要注意n=1的检验，这是通项公式能否合写的关键；

（3）提炼方法→叠加法、迭乘法、倒序相加求和法、错位相减求和法、裂项相消求和法、分组求和法.

（4）寻找规律→求解数列中项的最值或前n项和的最值时，应注意结合数列通项公式的特征灵活处理，在做题过程中要认真研究，总结相应的规律.

例1 已知数列{an}是递增的等差数列，a1，a2是方程x2-3x+2=0的两根.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求数列 的前n项和Sn.

破解思路 （1）先求出方程x2-3x+2=0的两根，再利用数列{an}的单调性，得出a1，a2的值，从而可求出等差数列{an}的公差，即可求出数列{an}的通项公式；

（2）利用（1）的结论，先求出数列 的通项，观察通项的特点，只需利用裂项相消法即可破解求和问题.

答案详解 （1）方程x2-3x+2=0的两根为1，2，由题意得a1=1，a2=2. 设数列{an}的公差为d，则d=a2-a1=1， 所以数列{an}的通项公式为an=n.

（2）由（1）知 = = - ，所以Sn= + +…+ =1- + - +…+ - =1- = .

例2 已知数列{log3（an-1）}（n∈N ）为等差数列，且a1=4，a2=10.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）求证： + +…+ < .

破解思路 （1）利用a1=4，a2=10，先求出数列{log3（an-1）}的首项与第二项，再求出等差数列{log3（an-1）}的公差，从而求出数列{log3（an-1）}的通项公式，即可解出数列{an}的通项公式；

（2）利用（1）的结论，先求出数列 的通项，再利用等比数列的前n项和的公式，求其前n项的值，通过放缩法，即可证明原不等式成立.

答案详解 （1）设等差数列{log3（an-1）}的公差为d，由a1=4，a2=10得log3（4-1）=1，log3（10-1）=2，所以d=1，所以log3（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=3n+1.

（2）由（1）知，an=3n+1，所以 = = · ，所以 + +…+ = + + +…+ = = 1- < .

例3 已知首项为 的等比数列{an}的前n项和为Sn（n∈N ），且-2S2，S3，4S4成等差数列.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）证明：Sn+ ≤ （n∈N ）.

破解思路 （1）求解的切入点是已知三项成等差数列，得等比数列{an}的公比q的方程，从而可求出q的值，即可求出数列{an}的通项公式.（2）证明的关键是先求出Sn，再利用数列的单调性即可破题.

答案详解 （1）设等比数列{an}的公比为q，因为-2S2，S3，4S4成等差数列，所以2S3=4S4-2S2，即S4-S3=S2-S4，可得2a4=-a3，于是q= =- . 又因为a1= ，所以可得an= ×- =（-1） · .

（2）由（1）知，an=（-1） · ，所以Sn=1-- ，从而可得Sn+ =2+ ，n为奇数，2+ ，n为偶数.

当n为奇数时，Sn+ 随n的增大而减小，所以Sn+ ≤S1+ = .

当n为偶数时，Sn+ 随n的增大而减小，所以Sn+ ≤S2+ = . 故对于n∈N ，有Sn+ ≤ .

例4 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，则nSn的最小值为__________.

破解思路 利用等差数列的前n项和公式，求出等差数列{an}的首项与公差，求出Sn，数形结合，判断Sn的图象特点，求nSn的最小值.

答案详解 由S10=0，S15=25得a1=-3，公差d= ，所以Sn= n（n- 10）. 所以Sn是关于n的函数，其图象关于n=5对称，n<10时，Sn<0，n>10时，Sn>0，所以nSn的最小值应在n=5，6，7，8，9中产生，代入计算得n=7时nSn最小，最小值为-49.

1. 设数列{an}满足a1=2，a2+a4=8，且对任意n∈N ，函数f（x）=（an-a +a ）x+a ·cosx-a ·sinx，满足f′ =0，解决下列问题：

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若bn=2an+ ，求数列{bn}的前n项和Sn.

2. 已知数列{an}，a1=1，an=λan-1+λ-2（n≥2）.

（1）当λ为何值时，数列{an}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；

（2）若λ=3，令bn=an+ ，求数列{bn}的前n项和Sn.

3. 已知数列{an}满足a1=- ，a2=1，anan+1+anan-1=2a a （an≠0，n∈N ，n≥2），Sn为数列{bn}的前n项和，且b1= ，4nSn+3 =3·4n.

（1）求证：数列 是等差数列，数列{bn}是等比数列；

（2）若数列{cn}满足cn= ，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn+1-2Tn+Tn-1（n≥2）的最大值.endprint