弱完全交既约元及其性质①

王　娣，卢　涛（淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000）

弱完全交既约元及其性质①

王娣，卢涛*
（淮北师范大学数学科学学院，安徽 淮北 235000）

根据格上交既约元、完全交既约元的概念，定义了弱完全交既约元，进而得出完备格上弱交既约元的一些性质及相关结论，并给出了完全交既约元的另一种等价定义.

连续交既约元；完全交既约元；弱完全交既约元

0　引言

交既约元作为格论中的一种特殊元素，具有一些很好的性质，在格论中占有重要地位，许多学者对它进行了研究.王学平、李裕梅分别在完备Brouwerian格和完全分配格上通过交既约元对Fuzzy方程进行了研究并得到了很好的结论.之后祝祯祯、卢涛又对完备格上交既约元作了进一步的研究，并给出了连续交既约元的概念.本文引入弱完全交既约元的概念，讨论了它的一些基本性质，并给出了交既约元的另一个等价定义.

1　预备知识

定义1［4］设P为偏序集，对任意a，b∈P，如果a＜b，且对∀x∈P，a＜x＜b不成立，则称b是a的上邻.记作b≻a

定义2［5］设L为交半格，对于任意x，y，a∈L，当a=x∧y蕴含x=a或y=a，则称a为L的交既约元.记M（L）=｛a∈L|a为交既约元｝。

定义3［6］设L为完备格，a∈L，如果对于任意S⊆L由a=∧S可推出a∈S，则称a为L的完全交既约元.记Q（L）=｛a∈L|a为完全交既约元｝.

定义4设L为定向完备偏序集，（以下均记为dcpo），a∈L，如果对于任意F∈Fil（L），由a=∧F可推出a∈F，则称a为L的弱完全交既约元.记RQ（L）=｛a∈L|a为弱完全交既约元｝，易见，1∉RQ（L）且在完备格中，完全交既约元是弱完全交既约元.

定义5［3］设L为完备格，a∈L为交既约元，如果存在S⊆L，由a=∧S可推出a∉S，则称a为格L的连续交既约元.记C（L）=｛a∈L|a为连续交既约元｝，显然1∈C（L）.

注1在完备格L中，易知

（1）Q（L）=RQ（L）∩M（L）；

（2）由注（1）可以得到完全交既约元的一个等价定义：

定义3设L为完备格，a∈M（L）.如果对于任意F∈Fil（L），由a=∧F可推出a∈F，则称a 为L的完全交既约元.

2　弱完全交既约元的性质

引理1设L是交半格，a∈L，如果存在x，y ∈L，使x≻a，y≻a，但x≠y，则x‖y（表示x与y不可比较），且x∧y=a.

证明因x≻a，y≻a，则不等x＞y，y＞x式都不会成立，又x≠y，从而x‖y，若x∧y≠a，设x∧y=b，则b＞a，且x≥b＞a，y≥b＞a，所以x=b=y，这与已知矛盾.因此x∧y=a.

引理2设L是交半格.若a∈M（L），a则至多有一个上邻.

证明设a有两个上邻x与y，x≠y，则由引理1知x∧y=a.而x＞a，y＞a，这与已知a∈M（L）矛盾.所以a至多有一个上邻.

定理1设L是dcpo，a∈L，若a∈RQ（L），则a至少有一个上邻.

证明设a∈RQ（L），则a≠0且↑a-｛a｝≠⊄.因L是dcpo，易知↑a-｛a｝也是dcpo，进而∧（↑a-｛a｝）存在，且∧（↑a-｛a｝）≥a.若∧（↑a-｛a｝）=a，因为对任意x∈（↑a-｛a｝），x＞a，结合a∈RQ（L），及定义4，必有↑a-｛a｝不是定向集.进而存在x，y∈↑a-｛a｝，对任意p∈↑a-｛a｝，有x＜p或y＜p，即x，y至少有一个是↑a-｛a｝中的极小元，进而x，y至少有一个是↑a-｛a｝的上邻.若∧（↑a-｛a｝）＞a.设∧（↑a-｛a｝）=b，若存在x∈L，a＜x＜b，于是x∈↑a-｛a｝，从而x≥∧（↑a-｛a｝），即x≥b，矛盾.所以不存在x∈L，a＜x＜b，从而有∧（↑a-｛a｝）是a的上邻.故a至少有一个上邻.

定理2设L是完备格.若a∈M（L）且a有唯一上邻，则a∈RQ（L）.

证明设a∈M（L），若a有唯一上邻p，于是p≻a.∀F∈FilL，若a=∧F，则一定有a∈F.否则，若a∉F，则∀x∈F，x＞a.而p≥x∧p≥a.如果p＞x∧p，则由p是a的唯一上邻知a=x∧p.又由a∈M（L）知x=a或p=a，矛盾.因此p= x∧p，即x≥p.从而有，这与a =∧F矛盾.所以∀F一定有a∈F.由定义4可知a∈RQ（L）.

由引理2，定理1，定理2可得交既约元是弱完全交既约元的一个内部刻画：

定理3设L是完备格.若a∈M（L），则a∈RQ（L）的充要条件是a有唯一上邻.

证明设a∈M（L），若a∈RQ（L），则由引理2及定理1得，a有唯一上邻.由定理3及注1（1）得：

推论1设L是完备格.若a∈M（L），则a∈ Q（L）的充要条件是a有唯一上邻.

定理4设L是完备格.若a∈M（L），a≠0，则a∉RQ（L）的充要条件是a没有上邻.

证明"必要性"设a∈M（L），若a没有上邻，则由定理3得a∉RQ（L）."充分性"设a∉RQ（L），若a有上邻，则由a∈M（L）及引理2知a有唯一上邻.设p≻a.由a∉RQ（L），则存在F∈FilL，使a=∧F但a∉F.从而∀x∈F，x＞a又p≻a，类似于定理2的证明过程知x≥p，因此由x的任意性知，∧F≥p≻a，这与a=∧F矛盾.所以a没有上邻.

引理3设a∈M（L），a≠0，则a∈C（L）的充分必要条件是a没有上邻.

定理5L交半格，若M（L）不为空集，则M（L）=RQ（L）∪C（L）.

证明显然由注1.1-（3）知RQ（L）∪C（L）⊆M（L），且对任意a∈M（L），由引理2知，a至多有一个上邻.若a有唯一上邻，由引理3知，a∈C（L），所以a∈RQ（L）∪C（L），从而M（L）⊆RQ（L）∪C（L）.即证M（L）=RQ（L）∪C（L）.

［1］Wang Xueping.Infinite fuzzy relational equation in a complete Brouwerian lattice［J］.Indian J Pure Appl Math，2002，33（1）：87.

［2］李裕梅.完备Brouwerian格上Fuzzy关系方程的极大解存在的一些条件［D］.成都：四川师范大学.2003.

［3］卢涛，祝祯祯.完备格上交既约元的性质［J］.江苏师范大学学报（自然科学版），2014，32（2）：50-52.

［4］Birkhoff G.Lattic theory［M］.3rd ed.New York：Amer Math Soc Colloq Public，1979：10-35.

［5］ 郑崇友，樊磊，崔宏斌.Frame与连续格［M］.北京：首都师范大学出版社，2000.

［6］Crawley P，Dilworth R P.Algebraic theory of lattic［M］.Englewood Cliffs：Prentice Hall，1973：3-20.

Weak Complete Intersection Irreducible Elements and Some Properties

WANG Di， LU Tao

（Institute of Mathematics，Huaibei Normal University，Huaibei 235000，China）

According to the definition of intersection irreducible elements and completely intersection irreducible elements，the definition of weak complete intersection irreducible elements were given.Some properties and conclusions of weak complete intersection irreducible elements were obtained.An equivalent notion of complete intersection irreducible elements was given.

continuous intersection irreducible element；complete intersection irreducible element；weak complete intersection irreducible element

O189

A

1008-1402（2015）06-0837-02

2015-10-12

国家自然科学基金项目（11171156）；安徽省自然科学研究项目（KJ2012Z358）.

王娣（1991-），女，安徽安庆人，淮北师范大学数学科学学院硕士研究生.研究方向：格上拓扑学.通讯作者：卢涛（1974-），男，山东诸城人，博士，副教授.研究方向：拓扑学，范畴论.