基于终端滑模机器人模糊自适应路径跟踪控制

王洪泉，师五喜，常绍平，修春波

天津工业大学 电气工程及自动化学院，天津 300387

1 引言

移动机器人系统是一类典型的非完整系统，近年来，许多学者对其跟踪控制问题进行了大量研究[1-6]。根据参考轨迹是否为时间的函数，跟踪控制分为轨迹跟踪和路径跟踪。对于轨迹跟踪问题，文献[1-4]基于运动学模型分别提出了反步法、神经网络方法、模糊神经网络方法和输入输出线性化方法。对于路径跟踪问题，文献[5]研究了机器人质心恰好位于轮轴几何中心时的路径跟踪问题，文献[6]研究了机器人质心位于两驱动轮的中轴线上时机器人的路径跟踪问题。众所周知，所设计的机器人最终是负载的，而负载的位置将直接影响整个机器人系统质心位置，通常情况下质心位置并不在两驱动轮的中轴线上，且其准确位置不好确定，所以文[5-6]假设机器人质心位于轮轴几何中心或两驱动轮的中轴线上对负载机器人系统是不合适的。由于质心位置不好确定，所以负载移动机器人系统是一个典型的不确定非线性系统。

自从文[7]证明了模糊系统的万能逼近性以来，自适应模糊系统和传统线性滑模控制相结合，已被应用到了含不确定性的移动机器人系统跟踪控制中[8-11]。但传统的线性滑模控制在系统到达滑模面后只能实现无限时间的渐近收敛，因此不能实现有限时间跟踪。此时为了加快收敛速度，必需增大滑模控制中的设计参数，这会使控制器的增益增大，从而导致控制输入的饱和，这种现象在实际应用中是不期望产生的。终端滑模（TSM）[12]作为一种有效的有限时间收敛方法得到了许多学者的广泛关注[13-23]，近些年来相继提出了快速终端滑模（FTSM）[17]、非奇异终端滑模（NTSM）[18]，而且已被应用到机器人控制中。如文献[18，20-21]基于NTSM对机械手进行了跟踪控制研究，文[23-24]基于运动学模型对移动机器人进行了简单的终端滑模控制设计。但文[23-24]的研究对象是质心位于驱动轮轴中点的已知系统。

本文对质心位置不确定的移动机器人系统进行了基于快速终端滑模的自适应模糊路径跟踪控制研究。文中利用模糊系统逼近机器人系统中的未知函数来设计间接自适应模糊控制器，设计鲁棒控制器来对逼近误差进行补偿。文中基于李亚普诺夫稳定性分析方法为未知参数设计了自适应律，并证明了该方法不但可以保证闭环系统中的所有信号有界，而且可使跟踪误差在有限时间内收敛到原点的小邻域内。仿真结果验证了本文方法的有效性。

2 问题描述

本文所研究的移动机器人结构如图1所示，图中前方左右两轮为驱动轮，车体后方为无动力的万向轮，起到支撑平衡机器人的作用。

考虑实际情况中机器人带有负载，其质心一般并不在车体的几何中心。图1中假设机器人的质心位于C点，P点为机器人两个驱动前轮的轴线的中点，P点到C点间的距离为L（当质心位于两轮轴的前半部时L为正，否则为负），直线CP与机器人车体的中轴线的夹角为γ。u1为机器人前进方向上的线速度，u2为机器人转向的角速度。设C点坐标为 (x1，x2，x3)，其中x1、x2分别为横纵坐标，x3为机器人车体中轴线和X1轴的夹角。设P点坐标为 (x′1，x′2，x′3)，则P点的运动学方程为：

又P点与C点(x1，x2，x3)的位置关系如下：

对式（2）求导，并将式（1）代入得到：

图1 轮式移动机器人

其中˙˙，分别为C点的速度分量，上式即为机器人以C点为参考点的运动学方程。

根据路径跟踪问题的提法[5]，本文的控制目的为：对于运动学模型为式（3）的机器人，给定光滑的几何路径f(x1，x2)=0 ，定义跟踪误差z=f(x1，x2)，当系统的参数L与γ未知时，在反馈控制律u(x1，x2，x3)的作用下，使系统在有限时间内沿期望的几何路径运动，即对于一个任意给定的小正数ϕ，存在时间t1，当t＞t1时，使得跟踪误差z=f( )x1(t)，x2(t) ＜ϕ。

本文假设机器人以期望的线速度u1运行，角速度u2作为控制输入。对跟踪误差z求导得：

将式（3）代入式（4）得：

令x=[x1，x2，x3]T，并设：

并记u2=u，则式（5）可写为：

由系统的可控性知，g(x)≠0，本文不妨假设g(x)＞0，并作如下假设：

假设1存在常数g0＞0，使得g(x)＞g0＞0。

对图1所示的机器人系统，如果质心C的准确位置已知，即L以及γ均已知，则此时设计控制律：

其中k＞0。将式（7）代入到式（6）得误差方程：

显然跟踪误差z必将渐近收敛到零。

但在实际运行时，由于负载的影响，质心C的准确位置无法得知，从而使得L和γ未知，即式（7）中的g(x)未知，因此控制律（7）无法实现，而且式（7）不能实现跟踪误差的有限时间收敛。

为了能够实现本文的控制目的，即在有限时间内使含不确定性的机器人系统实现路径跟踪，本文采用基于终端滑模的自适应模糊控制方法。

引理1[19]假设存在连续函数V(t)＞0满足如下不等式：

则V(t)将在有限时间ts收敛到平衡点，其中

以上α＞0，β＞0，p和q为奇数，且q＜p。

3 基于终端滑模的模糊自适应路径跟踪控制器的设计

为了能使跟踪误差在有限时间内收敛，设计滑模面为：

其中α＞0，β＞0，p和q皆是正奇数，且q＜p，为表示方便，文中令γ=q/p。

此时将控制律u设计为：

将式（9）代入式（6）得到：

跟据引理1，z将在有限时间内收敛。但由于式（6）中g(x)是未知的，因此控制律（9）无法实现，本文使用模糊逻辑系统的万能逼近性来逼近非线性函数g(x)，其模糊逻辑系统的模糊规则库为如下形式：

其中(i=1，2，…，n)和Gl均为模糊集合，隶属函数分别为(xi)和(y)，且皆为高斯型，M为模糊规则数。x=[x1，x2，…，xn]T∈Rn为模糊系统的输入向量，y∈R为输出变量。采用单值模糊产生器、乘积推理规则和中心平均模糊消除器。于是模糊系统的输出就可以表示成如下形式：

其中θ=[θ1，θ2，…，θM]T为自适应变量向量，θl=为取最大值时所对应的点。ψ(x)=[ψ1(x),ψ2(x),…,ψM(x)]T为模糊基函数向量，其中

由于模糊系统的逼近误差总是存在的，为对其进行补偿，设计控制律如下：

其中鲁棒控制uc后面来设计。

将式（12）代入式（6），可得

定义自适应向量最优参数为：

其中集合Ωg为自适应参数θ的容许集，集合Dx为模糊系统的输入变量的定义域。

其中η＞0，λ＞0，μ＞0，h＞0。

定理对形如式（6）的机器人系统，采用自适应模糊控制律式（12），未知参数自适应律为式（16）～（19），则

（1）闭环系统中的所有信号都有界。

其中w，V′，α′，β′的定义见定理证明。

证明（1）选取李亚普诺夫函数：

对上式求导得：

用z左乘式（14）得

将式（22）代入式（21）得到

将自适应律式（16）代入式（23），又因为 |ω|≤ρ*，所以

将式（15）代入式（24）得

由假设1知g(x)≥g0＞0，则式（25）改写为：

由于

于是将式（27）代入式（26）得到

再将自适应律式（17）～（19）代入式（28），得到

所以闭环系统中的所有变量z，θg，，，ζ都有界。又由式（11）和式（15）可知等效控制律ueq和鲁棒控制律uc都有界，所以u有界。

（2）因为 |ω|≤ρ*，由式（22）得：

式（30）可写为如下形式：

若选择适当的α，使得α-w|z|-1＞α0＞0，则对于式（33）有

记α′=2α0，β′=22β，则式（34）可写为：

4 仿真

以下对本文提出的控制方法进行仿真实验。控制目的是使机器人在有限时间内跟踪期望路径跟踪误差，此时

则有

假设运动学模型（3）中，L=0.3，γ=π/6，机器人的初始位姿为 (0.4，0.2，π/8)，线速度u1=1。参数(0)初始值的每个分量在区间[-1，1]内随机选取，(0)=0.1，(0)=0.1，ζ(0)=0.1，自适应律中的参数选择为：η=3.8，λ=1.5，μ=0.6，h=0.1。控制律中的参数ε=0.1。

图2和图3分别为线性滑模和本文提出的基于快速终端滑模的自适应模糊路径跟踪控制作用下机器人对半径R=1圆形路径的跟踪效果，可以看出在本文提出控制律作用下，机器人明显更加快速地实现路径跟踪。

图2 线性滑模控制律作用下机器人跟踪路径

图3 本文提出的控制律作用下机器人跟踪路径

图4为两种控制律的作用下机器人路径跟踪误差的比较，在有限时间ts=8.67 s后，跟踪误差z已经收敛到一个小邻域|z|≤1×10-2内，收敛效果明显优于线性滑模控制，从而验证了本文提出方法使得机器人跟踪误差在有限时间内收敛。

图4 两种控制方法下误差曲线

图5为本文所设计的控制律u的曲线，可以看出控制信号是有界的。

图5 控制输入曲线

5 结论

本文研究了质心位置不确定的移动机器人系统的路径跟踪问题，为含有不确定性的机器人系统设计了基于快速终端滑模控制的自适应模糊路径跟踪控制方法。文中利用模糊系统逼近机器人系统中的未知函数来设计自适应模糊控制器，设计鲁棒控制器来对逼近误差进行补偿。文中基于李亚普诺夫稳定性分析方法为未知参数设计了自适应律，并证明了该方法不但可以保证闭环系统中的所有信号有界，而且可使跟踪误差在有限时间内收敛到原点的小邻域内。仿真结果验证了本文方法的有效性。

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