分数意义教学的着力处

2015-04-11于蓉

教学与管理(小学版) 2015年12期

于蓉

在一次担任课堂教学竞赛评委时，偶然听了4位选手执教苏教版三年级下册“分数的再认识”，2位选手执教五年级下册“分数的意义”，当教材中分布在两个年级的内容连续在课堂上演绎时，不同的选手教学中相同的设计就将一些平时未关注到的现象突现出来，引发思考。首先，这两课都应把通过活动体验部分与整体的关系作为核心吗？两节不同年级的课，都设计了相同的活动，如涂一涂，在每个图里（每个圈里有2个、4个、6个○不等）涂色表示出二分之一，追问：为何都是二分之一，涂出的个数却不一样？重笔墨体验整体与部分关系的活动都是两节课的核心。其次，分数意义的教学就是单位“1”的教学吗？执教分数意义的两位教师都引导学生经历将一个物体、一个计量单位、一个图形、许多物体组成的一个整体概括为单位“1”的过程，一般用时15分钟，其中无任何促进思考的问题。单位“1”便于表述的同时，也为学生理解分数的意义增加了一道坎：必须先理解什么是单位“1”。课后，调查访问学生什么是分数，学生能准确说出：将单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。这是分数的意义吗？将分数意义的教学局限在单位“1”的理解上，也就狭隘了学生对分数的认知。

《义务教育数学课程标准》（2011年版）指出：“作为促进学生全面发展教育的重要组成部分，数学教育既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用。”现象促使笔者追问：分数意义的教学，我们该在何处着力，发挥数学教育的价值？

一、在分数与整数的特别之处着力

从外在形态上看，分数与整数最大的不同是分数是借助于整数，用两个整数和一个分数线组成了一个新的数；从实际意义上分析，导致分数与整数本质差别是计数单位的不同。尽管分数单位同整数的计数单位本质相同，但整数的计数单位是固定不变的：个、十、百、千……，而分数的计数单位是变化的，随着平均分的份数的变化而变化。我们应创设活动让学生感受到分数的本质是源于度量，能够解决物体不可度量属性的可比性，感受到将分数单位累加就会得到一个新的数。

如“分数的初步认识”教学中我们常出示一个平面图形（图1），让学生判断可以用哪个分数表示。

学生一般会想到，不再会想到其他的分数。分数意义的教学中，我们可以改变图形出示的方式（见图2）引导学生思考：长方形和这个正方形的大小有怎样的关系，可以用哪个分数表示？要解决这个问题，学生首先要进行分，将长方形平均分成6份后，恰好其中的一份与正方形的大小相同。正方形的大小是长方形的■，6个■是1。“分”是认识分数的第一个动作，只有等分，才能关注分数单位。再遇到类似图形时（如图3），学生就不会轻易否定不能用分数表示，而是分一分，找到合适的单位后再来确定部分与整体的关系。

分数与整数相比，关注整体又是一个重点，在三年级，学生已经经历了将一些物体看成一个整体的专门训练，本节课中我们直接借助图形，帮助学生理解整体的变化引起表示结果的变化。

小长方形代表的是几分之一，为什么？

现在小长方形代表的是几分之一，为什么？

开放性的问题，让学生调动已有经验寻找用分数表示的可能。图4中学生可以找到、，图5中可以找到、、、，答案的不同源自学生选择的是怎样的整体，在思辨的过程中学生体会到选择整体的重要性。

在分数与整数的联系处、异同处着力，既顺应学生已有的关于数的经验，延续了自然数的认识，又可以帮助学生深入理解分数的计数原理，分数特殊的形态就有理可循，为进一步学习分数的性质和运算打下基础。

二、在分数蕴含的数学思想上着力

数学思想是数学发生、发展的根本，也是数学内容价值的核心体现，可以帮助学生形成良好的认知结构，提升发现问题、解决问题的能力。教学中我们可以在学生已初步认识分数的基础上渗透分数概念中蕴含的数学思想，感悟分数的价值。

首先，渗透数形结合的思想。教学中教师常用的是面积模型表示分数，我们还可以借助数轴让学生理解分数的意义。

与面积模型和实物相比，线段模型更抽象，但在数轴中，数形结合可以形象、直观地显示分数可以表示关系，也具有测量的意义，同时在数的体系里为分数找到它的位置，便于学生体会分数的稠密性以及与整数、小数之间的关系。

其次，渗透等价类思想。如我们可以设计按要求摆红蓝两种圆片的活动。同桌两人分别摆出红色圆片是蓝色圆片的，在学生多样摆法的基础上引导学生思考：为什么用的圆片个数不一样，却依然用表示？还可以表示怎样的摆法？在操作、比较的过程中，学生体会到同一个分数可以将不同事物联系起来。

第三，渗透转化思想。分数意义教学中我们可以引导学生关注图形语言与分数符号表示之间的转化，也需要让学生经历将几个分数单位聚成1个分数，分数也可以看成几个分数单位聚集结果的转化过程。如分数墙的制作，我们可以引导学生自己用分数条制作分数墙，在摆一摆、比一比中发现不同的分数单位之间的关系，不同分数单位与整体之间的关系，学生借助于形发现分数之间的联系，并能自由地进行分数单位间的转换。

数的概念中除了数形结合、转化和等价类思想，还蕴含着公理化思想、函数思想，教师未必要讲给学生，但引导学生思考时应有这样的意识，将教学目标从知识技能的掌握伸向能力的培养、思维方式的提升，从而提升学生的数学素养。

三、在展现分数的丰富内涵上着力

德国科学家克罗内克认为，上帝创造了自然数，其他都是人的作品。从数学发展史来说，分数是第一个由人规定的数。由于人为规定性，分数的抽象性、分数内涵的丰富性都给学生认知分数带来了困难。大部分教师都选择在一节课中认识分数内涵的一部分，让学生透彻地理解。但实践中发现，教材在三年级上册和下册让学生初步认识分数，再到五年级上册认识分数的意义、分数与除法的关系，六年级上册认识分数与比的关系，用很长的战线让学生逐渐接纳、理解分数，这样安排有利的同时也有弊，学生建立的分数概念是支离破碎的，直至在六年级学生遇到1÷3时，还会纠结除不尽怎么办。所以，在分数意义第一课时的学习中，我们需要留有时间，让学生知道分数是怎么产生的，整体展现分数的内涵，看到分数内涵的生长，感受生长过程中人类创造的智慧。结合小学生的年龄特点，可以用讲故事的方式让学生理解现实背景下分数的内涵。

首先，理解测量的含义。用一根绳子测量一个木箱的长，发现木箱的长还不足一根绳子的长。怎么办呢？分一分，找到合适的单位再量。将绳子分一分，得到一个新的测量单位，然后用分得的“单位”量一量木箱的长。测量的结果就是有几个这样的测量单位，也就得到了一个分数。

其次，理解商的含义。讲述200多年前，人们找不到一个合适的数表示把7米长的绳子分成3等份，每一份的长度是多少，瑞士数学家欧拉指出，如果我们把它分成三等份，每份是■米，这样新的数就产生了。追问：2÷3的商是多少，你是怎么想的？

第三，理解比的含义。出示黄花（）朵，红花（）朵，黄花的朵数是红花的（），变换括号中的数值，学生自然经历了从黄花朵数是红花的几倍逐渐到了黄花朵数是红花的几分之几的过程，再组织学生交流，你现在眼中的分数是怎样的？为什么要有分数呢？它还可以怎样？

尽管我们只能用很短的时间展示，没有让学生在具体情境中探究分数的内涵，但可以避免学生看到分数的一部分就以为是全部，意识到这只是分数意义的一部分，随着社会的发展以及数学发展的需要，它的内涵也许会更加丰富。