分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法

姚克俭

( 黑龙江建筑职业技术学院，黑龙江 哈尔滨 150025 )

分段函数在分段点处可导性与连续性的判定方法

姚克俭

( 黑龙江建筑职业技术学院，黑龙江 哈尔滨 150025 )

连续性与可导性的判定是高职学院高等数学课程非常重要的一部分内容，分段函数作为一类比较常见的函数，对学生后续专业课程及岗位实践工作都有着非常重要的作用。分段函数可导性与连续性的学习是高等数学课程教学的重点，也是难点所在。通过两种类型的分段函数的连续性与可导性的讨论方法，给出高职学院学生在这部分内容的学习中应掌握的方法，连续性与可导性的应用可以解决高职学院高等数学很多相关问题，有比较高的实用价值。

分段函数；可导性；连续性

引言：分段函数的概念

在高职学院高等数学中，分段函数指的是函数在定义域内存在若干特殊点，由这些特殊点将定义区间分成若干个子区间，每个子区间内函数解析式都各不相同。这里我们假定每个函数解析式都为初等函数，也是连续函数。但分段函数一般说来不是初等函数，所以分段函数的可导性与连续性的讨论是比较特殊的。我们也可以通过分段函数的图像关系来形象地讨论可导性、连续性，但这种方法显然有很大的局限性，如何讨论分段函数在分段点处的可导性与连续性，是本文的重点。我们主要讨论以下两种分段函数，即：

(1)

(2)

一、分段函数在分段点处的连续性

由此可以很简单地判定这两类分段函数在分段点处的连续性。

F(0-0)=F(0+0)=F(0)，所以函数F(x)在x=0处连续。

二、分段函数在分段点处的可导性

定理2 若函数f(x)在定义域内为可导函数，则f(x)必为连续函数；反之不成立。

由函数连续性的定义可知：函数f(x)在定义域为连续函数。

推论：若函数f(x)在定义域内不连续，则函数f(x)必不可导。

证明：利用导数的定义显然可证。

由定理2-2可知，对于这种类型的分段函数的可导性的判定，我们应利用左、右导数的定义讨论在分段点处的左、右导数是否存在。若左、右导数分别存在且相等，则函数在分段点处必可导，则其一定连续；若左、右导数不相等，则函数在该点处不可导，此时讨论在x=x0处的左、右极限是否存在，是否相等，从而可以得到函数F(x)在x=x0处是否连续。

我们可以利用定理2-2的结论进行讨论

f(0-0)=0；f(0+0)=0;f(0)=0;所以函数f(x)在x=0处连续。

三、 讨论可导性与连续性应注意的问题

此类解法出现错误的原因在于：

f(1-0)≠f(1+0)，所以函数f(0)在x=1处不连续，由前面推论可知函数f(x)在x=1处不可导。

说明：用初等函数的求导方法讨论分段函数在分段点处的可导性的时候，要注意分段函数在分段点处必须为可导函数，否则，这种方法将会失效，如：

综上所述，分段函数是高职专科层次高等数学的一类非常常见、也是很重要的一类函数，它在帮助我们解决高等数学有关连续性与可导性的学习中占有非常重要的地位。在讨论分段函数在分段点处的可导性与连续性的时候，首先要讨论分段函数在分段点处是否连续，若不连续，则不可导；其次，在讨论在分段点处的可导性的时候，一定要用左、右导数的定义讨论在分段点处的可导性，而不能用导数的四则运算进行讨论，否则很容易出现错误；最后，如果分段函数在每一个子区间内的函数为初等可导函数，其在分段点处连续，可以用初等函数的求导方法求左、右导数，讨论其是否相等，从而讨论在分段点处是否可导。这种讨论方法能满足高职学院学生的从简心理，更好地掌握分段函数可导性与连续性的关系及判定方法，有助于学生加深对分段函数的可导性、连续性的理解，搞清导数与连续的关系。这种方法在高职专科层次的高等数学教学中是一种很有效的教学方法，值得推广。

[1]同济大学应用数学系[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]塔怀锁.分段函数的导数[J].北京工业职业技术学院学报，2004(3).

[3]姜海勤.分段函数分段点可导性的一个定理及应用[J].扬州职业大学学报，2008(5).

[4]姚克俭.基于数学模型及数学实验的高职本科应用数学课程设置的研究[J].中国校外教育，2014(7).

(责任编辑：孙建华)

Determination Method of Piecewise Function Differentiability and Continuity in Piecewise Point

YAO Kejian

( Heilongjiang College of Construction, Harbin, Heilongjiang 150025, China )

Continuity and derivative of judgment is a very important part of advanced mathematics in higher vocational colleges. As one of the more common functions, piecewise function plays a very important role on their following professional courses and practice post work. The guided and continuous learning of Piecewise function is not only the focus but also a difficulty of higher mathematics teaching. Through continuous piecewise function of two types of differentiability and discussion method, this paper emphasizes that the vocational college students should master the method in this part of the contents. The continuity and differentiability of the application of higher mathematics in higher vocational college can solve many related problems and have a high practical value.

piecewise function; differentiability; continuity

2015-04-20

姚克俭(1969-)，男，河北乐亭人，副教授，研究方向为应用数学、数学建模。

G718.5

A

1671-4385(2015)04-0061-03