回归节点“文化板块”——解题教学的着脚点

☉安徽省安庆市宜秀区五横初级中学 戴向阳

☉安徽省安庆市怀宁县秀山中学戴向前

回归节点“文化板块”
——解题教学的着脚点

☉安徽省安庆市宜秀区五横初级中学 戴向阳

☉安徽省安庆市怀宁县秀山中学戴向前

有些复杂的数学题（尤其几何题）往往是由多个思维节点“串连”在一起构成的，在这些节点中总有一个起点.对于“串连”类节点型试题，其起点是外显在题干信息中，其他节点是前一节点牵带而出的，俗话说“拔出萝卜带出泥”，只有萝卜拔出，才能看见下面，这类节点不妨称作“中途点”.数学解题就是正确找到起点，从起点出发，游览每一个“中途点”，当每个“景点”都逛过一遍后，数学解题就结束了.构成数学题的每个节点，有着自身的“文化板块”——数学知识点、数学意识、数学活动、思想、方法等，节点的这种“文化板块”，正是诉说着其来龙去脉的起源.所以追朔这种起源正是揭开其蕴含本质的一种高效的研究问题的方法.因此，笔者倡导，解题教学回到节点的“文化板块”中去.

下面笔者结合例题具体谈谈，在节点“文化板块”处实施解题教学，以飨读者.

一、试题呈现

例题（2014年河南）如图1，矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的平分线上时，DE的长为________.

图1

二、解读节点——翻折

本题初读一片迷茫，如一头雾水：①图形不完整，缺失∠ABC的平分线，不清楚点D′在∠ABC的平分线上的相对位置——D′到B点的距离D′B的大小，没有数据D′B就无法计算DE；②当把△ADE沿AE折叠时，点D真的会落在∠ABC的平分线上吗？要使D点落在∠ABC的平分线上，与什么量有关？决定于什么？③点D′的位置是唯一的吗？重重迷雾直指翻折后D点的位置D′，而D′又源于翻折.所以本题起始节点是D′的捕捉.而D′生成于翻折活动，故本题解答应尝试从D′的“文化板块”——动手实践中考究“翻折”实质，因此本题教学应立足于学生动手操作、实验、探究等“数学活动”，从中体会、感悟，在实践中把握问题实质，揭开问题面纱.

三、教学环节

1.回到操作中去，定位D′

（1）准备长宽比不等的两张矩形纸片，如图2，纸片a宽3cm、长8cm，纸片b宽3cm、长4cm.

图2

（2）拿一张自备的矩形纸片，按图3方式折叠矩形的一个角，并使折痕经过A点.

图3

教师提问：折叠时，你会遇到什么问题？在学生回答没告诉沿哪条折痕折叠时，教师追问：确实，本题没有给出折痕，正因为没给，所以同学们折的不一样.是完全不一样吗？在学生思考得出所有折叠都过A点时，教师鼓励学生进行反复不同的操作.在学生充分体验思考后，教师引导：过A点折叠矩形的一个角，你有什么感悟吗？如果你有感悟，能和同学们分享一下吗？

当有学生指出，过A点折叠矩形的一个角，实质上把线段AD绕A点旋转时，教师适时给出引导：过A点任意折叠矩形的一个角时，D点必落在哪儿？此时学生易给出如下应答：D点必在以A为圆心、AD为半径的圆上，如图4所示.

图4

（3）作出纸片a、b中∠B的平分线，分别折叠纸片a、纸片b，观察并思考下列问题：

①过A点折叠矩形的一个角，D点一定会落在∠B的平分线上吗？

学生操作发现，折叠纸片a，D点不在∠B的平分线上；折叠纸片b，D点在∠B的平分线上.

②过A点折叠矩形的一个角，D点所落的位置D′点，与∠B的平分线有哪些位置关系？（D′点不在∠B的平分线上；D′点在∠B的平分线上位置是唯一的；D′点落在∠B的平分线两个不同位置上）

③折叠后D点与∠B的平分线三种位置关系决定于什么？与哪些量有关？

学生不难发现，D点与∠B的平分线关系，实质上就是直线（∠B的平分线）与⊙A的位置关系，而直线与圆的位置关系用圆心到直线的距离d与r（AD）的大小关系来衡量.其中d决定于AB长，d=AB×sin45°.

（4）回观例题，探究D′与∠B的平分线的关系.

图5

图6

如图5所示，作∠B的平分线BM，过A点作AF⊥BM，垂足为F.则AF=AB×sin45°=所以BM与⊙A（以A为圆心，AD为半径）相交，令交点为P、Q，如图6所示.

图7

图8

图9

如图7所示，连接AQ、AP，在Rt△AQF中，AQ=AD=5，勾股定理Rt△AFB中，FB=AB×cos45

教师：定点Q、P已经找到，Q、P在角平分线BM上的相对位置也已确定.那么定点Q、P在问题中扮演怎样的角色呢？定点Q、P在什么方面对解题起着驱动作用呢？解题中既生出Q、P，那么问题一定与Q、P相关，要找出问题的出路，就必须回到Q、P中去.

2.回到定点中去，量化D′

（1）定点含义是什么？

（2）定点Q、P到B点的距离是定值吗？

当学生指出定点Q、P到矩形ABCD的顶点、边界、静态线段的距离都是定值时，教师顺势诱导：本题中我们应关注定点中哪些方面的特征呢？

经过一翻思考探究，学生会得出应关注定点Q、P到线段DC、AB、AD的距离.于是很容易将问题化归为图8中的问题：在矩形AHGD中，沿过A点的某条直线折一个“拐”△ADM，使D点落在边HG上.同理P点也演化为类似问题.

（3）在图8中，谁能告诉老师BH、AH、DG、QH、QG各是多少吗？

（4）请找出图8中矩形AHGD的有关已知线段.

在学生找出AD=5、DG=3，GQ=1后，师生从图8中提炼出图9中的问题，在矩形AHGD中，AD=5、DG=3，沿直线AE折叠△ADE，D点恰好落在GH上Q点，且已知QG= 1，求DE的长.

教师：怎样求DE的长呢？你对这样的问题熟悉吗？是否有一种似曾经相识的感觉？

这时学生头脑中熟悉的翻折模型被唤醒了：将图形的一个角的顶点折到图形某边所在直线上.这里是将矩形的一个“拐”△ADE的顶点D折到与△ADE的边DE所在线DG相邻的边HG上.既然问题与熟知的模型有关，就得回到模型中去认识.

3.回到模型中去，研方法

（1）该模型中已知哪些量，求解什么量？

（2）这种翻折模型中通常潜藏着怎样的基本模型？（生答勾股定理模型）

（3）是勾股定理中什么变式模型？这类模型通常转化为什么来求解？

学生指出，这属于定长线段DG被折弯后构成直角三角形变式模型，这类模型需要转化为方程来求解.设DE=EQ=x，EG=3-x，则有12+（3-x）2=x2，解得故.同理，当D′位于图7中的P点时，DG=4、PG=2，令DE=EQ=x，则有22+（4-x）2=x2，解得

四、教学感悟

（一）节点式解题教学的优点

1.指向明确，思维集中

节点式解题教学，把试题看成节点结构，解题教学是发生在节点处的教学活动，使思维涌向局部知识块，有益于节点的突破.这种节点式解题教学，它指向明确，思维集中，靶式突破.教者在每个环节中能保持清醒的头脑和坚定信念，思考的方向具体、明确；听者心镜明亮，能抓住听讲重心与问题关键，易于注意力集中，催发思维激荡在节点的“文化板块”中，快速融入问题，积极思考，高效理解.

2.再现过程，延伸“场外”

“没有过程的结果是事实的外在灌输”（罗增儒语），节点式教学能有效地呈现数学解题的思维活动真实过程，是真正意义上的“过程解题”.它通过节点，有效地将漫长的解题教学过程划分成几个片断，挂接在节点处.正如一篇文章被分成若干段，只要掌握每一段的段义，就能复叙各段具体内容一样，从而通晓全文.节点式教学能有效地将解题过程长久滞留于学生头脑之中，在“场外”能及时清晰“再现”出来，在“场内”的学习体验也延伸到“场外”，并经久不衰.

3.立足节点，告别零收益

这种解题教学好处多多：（1）通过把复杂问题分成块块，利于各个击破；（2）节点理论，有利于缩小问题的包围圈，有利于学生思维集中在认识结构的局部领域，使思维活跃在更小的范围空间，形成“锥形思维”，易于找到突破口，推进解题；（3）这种教学中心明确，便于学生集中精神，让思维停留在某个核心上，利于放下畏难情绪，让更多学生参与进来，让不同学力的学生各有收获，收获在不同环节.学困生知道哪个节点听懂，哪个节点没听明白，哪个节点课后“垫一垫脚”自己能“够到”，哪个节点还需课后找老师继续点拔或寻求辅导，树立了学好数学的自信心.这样的课堂，让学困生真正告别了昔日一堂课下来零收益的现象.

（二）节点式解题教学的建议

1.回归“板块”，突破节点

每个节点都有自身的“文化板块”，在节点面前，只有回到节点的“文化板块”中去，才能找到化解节点的知识、方法、思想，所以数学解题的起点是“回到节点板块中去”.著名数学教育家G.波利亚指出，在解决问题时，或在解决问题遇到困难时，告诫人们要“回到定义中去”.实质上构成试题的不光是概念（定义），还有定理、公式、运算（或运算律）、模型、图形对称性与操作活动等.在试题的节点结构理论中，这些正是构成节点“文化板块”的数学内容所在.数学试题的节点有着丰富的内容，解题教学的目光应锁定在节点的“文化板块”内，从哪来回哪去，自然而然间突破了节点.

在一定意义上，数学解题教学就是在局部范围内，引导学生认识节点的发生、形成、发展的过程，在节点的“文化板块”内回审节点的作用，或发现节点中的模型，最后水到渠成.

2.慢“炖”火候，静等“开花”

数学解题过程正如煲汤，讲究的是“慢炖火候”.节点式解题教学，慢在节点处，要多给学生时间思考、操作、实验、尝试失败，在交流碰撞、反思中，静等学生思维开花.在倡导“慢教育”的理念下，解题教学应慢在何处？慢在何时？怎样才能慢下来？节点式解题教学就这样的慢下来了，慢在节点处的“文化板块”中，慢在节点处产生思维障碍时.每个节点的“文化板块”有着各自的丰富知识，需要去唤醒、去串联、去“勾兑”、去有效整合，这需要留下时间.既是节点，必有思维之障，这时需要破“障”，需要寻求破“障”之法，所以要有时间去“思辨”.如此，想不慢都不行.慢，才是真实解题，慢，思维才会“开花”、“结果”.

那种鼻子眉毛一把抓，所有信息一把罗的解题方式，难免混乱思维，常常是“浮云遮望眼”，陷入泥潭沼泽中.无论是整个问题，还是局部的节点，“回到节点文化板块中去”是数学解题教学的着脚点.

1.戴向阳.行走在思维节点上的中考试题教学［J］.中学数学教学参考（中），2014（12）.

2.刘华.关注“过程”让例题教学更高效［J］.中学数学（下），2013（3）