基于现实，运用类比，立意能力<br/>——“图形的旋转（第1课时）”教学设计与思考

基于现实，运用类比，立意能力
——“图形的旋转（第1课时）”教学设计与思考

2015-04-06江苏省南京市雨花台中学春江分校杭秉全

中学数学杂志 2015年24期

☉江苏省南京市雨花台中学（春江分校）杭秉全

基于现实，运用类比，立意能力
——“图形的旋转（第1课时）”教学设计与思考

☉江苏省南京市雨花台中学（春江分校）杭秉全

“图形的旋转（第1课时）”是初中数学教学的一个经典课例．读了本刊近期沈晔老师的《预设操作跟进追问，掌握知识发展思维——图形的旋转（第1课时）教学设计与解读》，很受启发．在这节课的教学实践中，笔者有不一样的思考与设计，现整理成文，与同仁交流．

一、课标要求与教学分析

第一学段（1～3年级）结合实例，感受旋转对称现象．

第二学段（4～6年级）通过观察、操作等，在方格纸上认识图形的旋转，会在方格纸上将简单图形旋转90°．能从旋转的角度欣赏生活中的图案，并运用它们在方格纸上设计简单的图案．

第三学段（7～9年级）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转．探索它的基本性质：一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等．

从课标要求看，“旋转”的学习贯穿于义务教育各学段，遵循由具体到抽象、从感性到理性、由定性认知到定量研究，认知呈螺旋式上升．

小学阶段（即第一、二两个学段）关于“旋转”的学习，主要结合实例初步认识图形的运动，通过观察与动手操作积累感性认识，形成初步表象，不要求给出定义，离定性的认识、定量的研究还有一定距离．

初中阶段（即第三学段）教材的编排遵循从简单到复杂的认知规律，将“旋转”安排在“平移”、“轴对称”之后．

因此，关于“旋转”的学习，要基于小学阶段对图形旋转的感性认知，要基于初中阶段在“平移”、“轴对称”学习中积累的经验，引领学生研究如何定义平面图形关于旋转中心的旋转，探索旋转的基本性质．

二、教学目标与重难点

基于学生对“旋转”的生活体验、感性认识，基于学生在平移、轴对称学习中积累的对“图形的变化”的研究经验，基于课程标准关于“旋转”的要求，结合本节课的学习内容、根据学生的认知特点，将本节课的教学目标设定为：

（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转；

（2）类比平移、轴对称，定义图形的旋转、探索旋转的基本性质；

（3）能画出简单图形关于给定旋转中心，经过旋转后的图形．

教学重点：认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索旋转的基本性质．

教学难点：探索旋转的基本性质．

三、教学设计与意图分析

（一）课前预习准备

填写下表：

平移轴对称定义性质

设计意图：通过对“平移”、“轴对称”定义及性质的回顾，唤醒学生在这两种图形的变化学习中积累“图形的变化”研究经验，为本节课的类比学习做好准备．

（二）课堂教学设计

环节1：从现象到定义，认识旋转

图1

（2）生活中还有与上述情景类似的现象吗？请举例．

设计意图：通过生活中的旋转现象，激发学生在小学学习获得的对“旋转现象”的感性认知，为后面“数学中关于旋转中心的旋转”的探讨做准备．

（3）课件显示运动的钟摆，再数学抽象，用“几何画板”展示钟摆旋转的过程．

（4）上述情境中的运动现象有什么共同的特征？

（5）以前我们还学过哪些图形运动？你能类比它们的概念，归纳出旋转的特点，并尝试给“旋转”下个定义吗？

设计意图：本环节中运用抽象、找共同属性、类比的教学方法，让学生经历概念本质特征的抽象过程．其中，由实物图片抽象成几何图形，是研究生活中的数学现象的一般方法．寻找共同特征，揭示概念本质属性，是常用的逻辑思维、认知方式．通过这样的设计，提高学生类比、概括的能力．

工程建设前期准备工作会影响使用过程中的具体状况。工程质量是决定工程是否合格的关键。农田水利工程对工程质量要求十分严格。判定工程建设是否合格一般通过两个环节，即实际应用与监督管理。实际应用情况多与工程本身或自然因素有关。监督管理一般是针对工程建设过程中材料选择、工程步骤监控、质量评定等方面。

（5）如图2，正方形ABCD中，E是AD上一点，将三角板从△CDE位置沿逆时针方向旋转到△CBF位置．

①请指出三角板旋转的旋转中心、旋转角度；

图2

②三角板内框从△GHK位置变化到△PMN位置，是旋转吗？若是，请指出旋转中心、旋转方向和旋转角度；若不是，请说明理由．

（6）“旋转中心”、“旋转方向”、“旋转角度”是旋转的“三要素”，以图2为例，分析缺少一个“要素”，会得到什么结果？

设计意图：让学生充分认识旋转的“三要素”，并体会缺少其中任何一个都不能唯一确定一个旋转，从而加深对“平面图形旋转”这一概念内涵的理解．

环节2：从目标到思路，探究旋转性质

（1）我们对图形研究，通常在概念之后研究其性质，研究“旋转”的性质就是要研究什么？

设计意图：使学生认识图形研究的基本套路，明确旋转性质研究的目标就是研究旋转前后两个图形的关系．

（2）在“平移”前后两个图形的关系、“轴对称”前后两个图形的关系的研究中，我们通过具体研究了什么，归纳得出它们的性质？

（3）类比“平移”、“轴对称”性质的探究思路，你认为研究“旋转”的性质具体要研究什么？

设计意图：使学生回顾“平移”、“轴对称”的研究，明确图形变化前后两个图形关系的研究，具体就是它们对应元素之间关系的研究．

（4）“平移”、“轴对称”前后两个图形全等，“旋转”呢？

（5）“旋转”前后两个图形中的对应点，与“旋转中心”有何关系？

（6）“旋转”前后两个图形中的对应点，与“旋转角度”有何关系？

（7）请你归纳图形旋转的性质．

设计意图：使学生认识到：图形变化的研究顺序通常是先图形整体关系研究、再微观到对应点关系研究；对应“元素”之间的关系的研究一定要与概念中的“要素”联系．使学生明确旋转性质研究的思路．用问题引导学生主动发现性质，并养成有序思考的习惯，提高归纳、类比的思维能力．

环节3：从思考到操作，运用旋转性质画图

（1）如图3，△M′N′P′是△MNP绕点D顺时针旋转120°后的图形.

图3

①图中有哪些线段相等，哪些角相等？

②旋转后的△M′N′P′是怎样画出的？请说说你的想法．

设计意图：画图是性质的运用，假设法（画出要画图形的草图，分析画图中要保证的数量与位置关系）是分析画图思路的常用方法．用“说画图想法”取代“动手操作画图”，可节省学生盲目画图的操作时间，增加学生思考、交流时间，真正让思考“走”在操作前．

（2）例题：

①如图4，已知点A和点O，画出点A绕点O逆时针方向旋转100°后的图形．

②如图5，已知线段AB和点O，画出线段AB绕点O逆时针旋转100°后的图形．

③如图6，已知△ABC和点O，画出△ABC绕点O逆时针方向旋转100°后对应的三角形．

图4

图5

图6

设计意图：本例设计遵循从简单到复杂的思路，让学生动手操作体验，进一步认知旋转的性质．

环节4：从回顾到提炼，小结旋转学习

（1）回顾今天的学习，你有哪些收获（包括知识、技能、思想、活动经验）？

（2）“旋转”与“平移”、“轴对称”有何区别与联系？请完善课前预习时填写的“图形的变化”知识图表．

（3）回顾我们探索图形旋转性质的过程，你对“图形的变化”基本性质的探究目标、思路、方法有哪些认识？

设计意图：问题式小结，是为了帮学生回顾学习内容，明晰图形研究的基本思路与方法，建构初中“图形的变化”知识结构，形成整体认知．

四、教学反思

1.研究关系，让探究思路更清晰、知识生成更自然

数学是研究数量关系和空间形式的科学．初中数学的主体内容都是在研究“关系”，例如：数之间的大小关系、运算关系，方程、不等式刻画数量之间的关系，函数描述两个变量之间的关系，图形的性质与判定研究图形相关元素之间的数量关系、位置关系等．研究“关系”是数学研究的一个重要内容，正是在“关系”的研究中，生成了数学模型、图形性质等．用研究“关系”的问题引领，可以让学生的研究目标更明确，思路更清晰，让探究过程真正变成一个学生主动参与的思维过程，让知识生成的更自然．

2.运用类比，让教学更轻松、认知结构更稳定

数学知识是一个联系的整体，特别是有些并列的数学知识，它们研究的对象同类、研究的内容相近、研究的方式相同，因而它们学习的经验可相互借鉴．在这些知识的教学中，我们可以合理地运用“类比”的策略，引导学生在“类比”中探究，在“探究”中建构新知识，形成稳定、清晰且整体的认知结构．

本节课环节2的第（2）个问题，就是要让学生回顾、分析得到：平移、轴对称变换前后的两个图形整体都全等；因图形是由点构成，还需研究对应点与相应图形变换要素之间的关系．平移的要素是平移的方向与距离，轴对称的要素是对称轴．平移的性质是：图形经过平移，对应点连线互相平行或在同一条直线上，与平移方向一致，并且相等，都等于平移的距离；轴对称性质是：图形经过轴对称，对应点连线被对称轴垂直平分．类比平移、轴对称，旋转性质的研究，首先要观察旋转变换前后的两个图形整体是否全等？而后研究旋转“对应点”与旋转“要素”之间的关系．旋转的要素是旋转中心与旋转角，这样后面的问题（5）、（6）的提出就非常自然．

3.数学教学要贴近学生的生活现实、数学现实

数学新知识的学习是典型的建构学习过程．“建构学习”是以学习者为参照中心的自身思维构造的过程，是主动活动的过程，是积极创建的过程，最终所建构的意义固着于亲生经历的背景，溯源于学习者熟悉的生活经验，扎根于学习者已有的认知．因此，数学教学应以学生认知发展水平和已有的经验为基础，教学要贴近学生的生活现实、数学现实．

本节课“旋转”概念、性质的学习建构，溯源于学生熟悉的生活中的旋转，因而创设“生活中的旋转”的情境引入；固着于亲生经历了平移、轴对称的学习研究过程，扎根于学生已有平移、轴对称的认知．

4.数学教学要关注新旧知识之间的联系

数学知识博大精深，彼此联系紧密，是一个联系的整体．我们的数学教学应关注新旧知识之间的联系，不能只教给学生一个个孤立的知识点，而应设法帮助学生串成知识链、结成知识网．

平移、轴对称和旋转都属于全等变换，它们定义的语言表述结构、方式一致，性质的研究思路相同．所以，本节课所学习的“旋转”虽是一个“新知识”，但学生有“平移”、“轴对称”的学习经验．在探究活动中运用“类比”的策略，可以使学生认知更轻松；在“问题式小结”中关注三种图形变化的区别联系的分析，可以帮助学生将“旋转”的学习认识，纳入到基于“平移”、“轴对称”学习，初步建立起来的图形全等变换认知结构之中．这样加强了新旧知识间的联系，进一步丰富并巩固了全等变换的认知策略、认知结构．

5.数学教学要立意于思想渗透、能力提升

著名的日本数学教育家米山国藏有这样一段话：“作为知识的数学出校门不到两年可能就忘了，唯有深深铭记在头脑中的数学的精神、数学的思想、研究的方法和着眼点等，这些随时随地发生作用，使他们终身受益．”数学的思想方法是数学的灵魂，数学是数学思维活动的教学．因此，数学教学在关注知识、技能的同时，应立意于：在引领学生经历知识建构的过程之中，渗透基本的数学思想方法，提升学生的数学思维能力．

本节课类比平移、轴对称，让学生明确旋转性质研究的目标，带领学生理顺旋转的研究思路，真正让探究活动具有思维含金量.在增强思维的逻辑性和条理性的同时，让他们领悟到“图形的变化”研究的一些“基本套路”，感悟“类比”的思想方法、学习策略．这样的教学立意是对思想方法和数学思维能力的追溯．