势垒边界对共振透射的影响

任振忠，王 丹

（晋中学院信息技术与工程学院，山西晋中030619）

（编辑 郭继荣）

几乎所有的量子力学著作都会对一维势垒散射问题进行讨论.但长期以来，大部分的著作只是对透射系数和反射系数加以描述，对势垒中的微观粒子的概率分布几乎没有涉及，并且一些书中展示的示意图并不科学.2011年宫建平对一维势垒散射中粒子的概率分布进行了详细的数值研究[1]，发现当入射粒子能量大于势垒高度时势垒中的粒子概率在某些入射能量下会出现振荡现象，而不是单纯地衰减.

本文探讨方势垒下振荡峰的个数与入射能量、势垒宽度的关系，并讨论势垒边界情况对振荡的影响.

本文采用转移矩阵方法进行散射问题的计算，详细过程可参看文献[2，3].

1 方势垒散射中势垒间振荡与入射能量、势垒宽度的关系

对于一维空间中的散射问题，方势垒可表示为：

入射粒子（质量为μ）满足的薛定谔方程为：

对于E＞U0情况，取.在计算中，采用ħ＝1，μ＝1，能量单位取 U0＝1，长度单位取 x0＝（/μU0）1/2.

通过计算得到透射系数D和反射系数R分别为:

R＝1-D

当sin ak2＝0时，即ak2＝nπ（n为整数时）时，透射系数D为1，存在共振透射，势垒中有n个振荡峰.如图1、图2所示.

图1 入射粒子的概率密度分布.k2=3π，a=1，n=3

图2 入射粒子的概率密度分布.k2=1，a=3π，n=3

2 势垒边界对共振透射的影响

为了讨论势垒边界情况的影响，我们人为地把方势垒的竖直边界变为斜线段，如图3所示.

利用转移矩阵方法分别计算了E＝1.5时，b＝0,0.5,1,2,5情况下的透射系数和反射系数随势垒有效宽度a变化的情况，如图4~8所示.无论b等于什么数值，D和R仍旧随势垒有效宽度a的增加做振荡变化.边界的影响表现在共振透射的位置发生移动，并且透射系数的最低点有所增加，即粒子透射更加容易.

图3 存在边界的方势垒示意图.a表示势垒的有效宽度，b代表边界的倾斜程度.

图4 透射系数D和反射系数R随势垒有效宽度a的变化情况.E=1.5，b=0.

图5 透射系数D和反射系数R随势垒有效宽度a的变化情况.E=1.5，b=0.5.

图6 透射系数D和反射系数R随势垒有效宽度a的变化情况.E=1.5，b=1.

图7 透射系数D和反射系数R随势垒有效宽度a的变化情况.E=1.5，b=2.

图8 透射系数D和反射系数R随势垒有效宽度a的变化情况.E=1.5，b=5.

这时候，共振峰的个数与入射能量、势垒有效宽度的关系ak2＝nπ（n为整数时）仍然存在，只是要加上一个初始影响.

3 结论

本文探讨了粒子在一维方势垒散射中共振透射与入射能量、势垒宽度的关系，并讨论了方势垒存在边界时，即不是严格的方势垒时，边界状况对共振透射的影响.边界条件只是影响了起点位置，并不影响到共振透射与势垒有效宽度的振荡关系.希望本文的讨论对实验有一定的意义.

［1］宫建平.一维势垒散射中粒子的概率分布［J］.大学物理，2011，30（6）：12~16.

［2］宫建平.利用转移矩阵方法求解一维散射问题［J］.大学物理，2012，31（7）：5~8.

［3］宫建平.一维双势垒散射问题［J］.晋中学院学报，2012，29（3）：19~24.