初一学生数学思维的培养和发展

唐琴

数学是一门思维的科学。数学学习能让一个人的思维具有广阔、深刻、灵活、严谨、敏捷等优秀品质。而这些思维品质正是每个人在成长过程中需要重点培养的方面。因此，在数学教学中必须根据学生的思维特点进行有效的教学，教学模式和教学方法必须适合学生的思维特点，让优势的一面更加的稳定和成熟，让弱势的一面逐步发展壮大。

“初一”是学生由小学生转变为中学生的第一阶段，无论是在法律上还是在家长、亲友和老师的眼里，初一的学生就是一个真正的中学生了。然而事实上，无论是从学习、生活习惯还是思维方式，这时候所谓的“中学生”还是“小学生”状态的延续。这样，就产生了一个问题——学生现有的思维发展水平与学习要求之间的不平衡。这种不平衡具体体现在以下几个方面：

一、形象思維与抽象思维

初一数学的第一章是学习《有理数》，这一章实际上是数的范围的扩展，在原来学过的数的基础上增加了“负数”。对于学生而言“负数”是个新生的事物，而且在实际生活中基本碰不到（除了天气预报），所以在解答相关问题的时候经常会漏掉负号，或者只考虑到正数的情况，漏掉了负数的情况。例如，|x|=2，x= 会有很多学生习惯性地给出了“2”这个答案。虽然老师会再三地强调“绝对值相同的数一般是有两个，除了0之外”。但是，一部分学生还是会很自然地忘记负数这一种情况。原因在于：（1）小学里面对正数的印象根深蒂固一时不能完全转变；（2）生活中与负数打交道的机会太少了，不能将负数这个概念转化为自然的知识储备。这两个原因归结起来就是一个，学生在这个年龄段还是习惯于形象思维，看得见、摸得着的东西容易接受，抽象的东西很难形成概念。因为抽象的能力需要主观意志力进行控制，所以不容易与原来的知识融为一体，形成新的知识结构。

对于我们教师来说，负数可能不是一个抽象的事物，但是仔细思考一下就会发现，在进行思维的时候，总是自然而然地先考虑正数的情况，再利用“比较”的思维方法考虑负数的情况，从正数到负数之间有一个转化的环节，而这个环节正是学生不成熟的思维品质中所缺少的抽象的特质。所以，教师在讲解这一章的时候，要充分利用类比的方法，让学生习惯于负数，把负数当作是自然的东西、生活中的事物。例如，可以对学生说正和负是事物的两面，就像手心和手背、白天和黑夜、前进和后退、上和下、左和右等等，正和负是不可分割的一个整体。利用学生熟悉的事物和已有的知识，在形象思维的基础上逐步培养抽象思维。

二、逆向思维与顺向思维

我们都知道对于应用题小学里采用的方法是算术方法，在算数里加法和乘法是顺向思维，而减法和除法一般用的是逆向思维。这样的思维习惯给学习方程带来了一定的影响。因为列方程时候一般采用的是顺向思维，把所求的量用一个字母代替，根据题目中所给的关系顺势列出了一个等式，再求解。这样的思维方式跟小学里的思维正好相反。例如，树上有一些鸟，又飞来了4只，这个时候总共有10只鸟，那么树上原来有几只鸟？这是一道很简单的题目，用算术方法就是10-4，列方程的话就是x+4=10。我们比较一下这两个式子，不难发现算术方法采用的是逆向思维，用已知的量表示出未知的量，要求的量就是最后运算的结果，运算之后得到一个等式，10-4=6，整个过程浑然一体，没有明显的阶段性；而方程则把所求的量用一个假设的字母代替，直接得到一个等式，这是第一步，之后的解方程是第二步，整个过程阶段性很明显。

在学习这一部分内容时，学生的最大疑惑在于方程中出现了一个假设的前提，所求的东西还竟然放在式子里面，因为他们习惯了把等号右边空着，右边是左边计算的结果。针对这样的问题，教师在教学的时候应该将算术的方法和方程的思想进行比较，找出联系和区别，求同存异，让学生在已经掌握了的算术方法的基础上产生方程的概念，并逐渐体会到方程的优越性——是比算术方法更加先进的一种方法。例如，可以这样说明10-4=6，是一个等式，x+4=10也是一个等式，二者是统一的；算式是由结果得出过程，即由果逐因需要把思维逆回去，方程是由过程得出结果，即由因逐果，根据题中的描述直接用式子进行表示，是顺着思维进行的，所以更加简单。对于复杂一点的问题，方程的优势就更加明显，例如，两个人在山上放羊，甲对乙说把你的羊给我一只，我的羊就是你的二倍，乙对甲说把你的羊给我一只，我们的羊就一样多了，问甲乙各有几只羊？这个问题如果用算术方法解决还是蛮有难度的，但是用方程就简单多了。所以，通过这样的一些比较让学生理解方程，喜欢方程，习惯方程，从而对两种方向的思维能够相互协调，相互转化，同步发展。

三、聚合思维与发散思维

小学里面一道题目的答案往往就有一个，所以学生习惯了追求唯一解，对于需要多种情况讨论的问题往往只写出了一种情况就完事大吉了。原因在于，学生在之前的学习中基本上是用聚合式思维，很少用发散思维来思考问题。对于发散思维的培养一定要根据具体的问题，让学生经历一个从了解到尝试到理解到运用这样一个逐步提高的过程。例如：

小明两次总共购买了50千克苹果，第二次比第一次数量要多，总共花掉了264元，两次分别购买了多少千克苹果？

这是一道二元一次方程组应用的问题，学生一上来可能会有点晕，不知道从何下手，不知道该用什么价格计算。最后，只能随便找了两个价钱，列出了两个方程x+y=50，6x+5y=264。算出来第一次买了14千克，第二次买了36千克。应该说能算到这一步的学生还是比较聪明的一类，他能通过粗略的判断找到需要的条件，只是考虑得不够全面。实际上这道题目要分三种情况讨论：（1）两次都超过20千克不超过40千克；（2）第一次不超过20千克，第二次超过20千克不超过40千克；（3）第二次超过40千克第一次不超过20千克。在讲解的时候运用启发的方式一点一点提示让学生思考之前忽略的问题，在老师的提示下列出所有的情况，再给出解答的规范过程。让学生意识到，并不是所有的题目都只是一个答案，思考问题的时候要从多个方面进行，只有全面地把握题意才能正确解答。教师同时也利用这样的机会在教学中渗透发散思维的思想，提高学生的思维能力。

四、结果与过程

初一的学生在解答问题的时候重视结果而不重视过程的描述。例如，在几何解答题目中，有些学生只写出了具体的数字算式，像“30度+20度等于50度，5厘米-3厘米=2厘米”等等，不说明这些量的名称。这也是之前在小学形成的一种习惯。小学的题目中涉及的量比较少，而且小学生表达能力不够强、思维缺少深刻性，所以在思维过程的表达上面缺少相应的高标准的要求。很多数学教师都会碰到这样的问题，对于一道要求写出必要的运算过程和文字描述的解答题目，有的学生只写出了几个式子，或者只有正确的结果。应该说这道题他会做，但就是说不清楚自己是怎么做的。所以，在教学中要刻意地提出一些描述思维过程的问题，来锻炼学生的数学表达能力，作业中也需要提出针对性的要求，逐步地让学生习惯于将自己的思维过程表达出来。所以，练习用数学语言表达问题，正是培养学生思维的深刻性和连续性的最好途径。

总之，初一是小学和中学的过渡阶段，在教学中，既要把学生当作是中学生，又要把他们当作是小学生，重视他们的思维由一个阶段向另一个阶段发展变化的衔接点，也就是所谓的最近发展区，科学地、有效地利用教学方法，培养、发展学生的思维。

编辑 谢尾合