正确实施化归 优化解题策略

陈朝华

在解数学问题时，我们经常遇到一些问题直接求解较为困难，通过仔细审题、认真观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法并进行变换，经常可以将原问题转化为一个已知知识范围内容易解决的问题，达到解决原问题的目的，这一思想方法称为化归与转化思想.

化归与转化思想的实质就是揭示联系，实现转化。可以说除了简单的数学问题以外，每一个数学问题的解决都是通过转化为已知问题来实现的。从某种意义上来说，数学的解题过程就是从未知向已知，从复杂到简单的化归与转化过程。化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，数学中的转化比比皆是。如，未知向已知转化，不规范问题向规范问题转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间与平面的转化，多元向一元转化，无理向有理转化，高次向低次转化，函数、方程、不等式之间的转化等等，都是转化思想的体现.

我们学习化归方法的根本目的是为了有效地解决数学问题，并在解决问题的过程中培养自己的数学思维能力，从而促进自己数学思维的发展.

一、熟悉化原则：将陌生的问题化归为熟悉的问题，以便运用熟悉的知识、经验来解决

分析：这是学生陌生的问题。首先点M在圆C1上运动，点N在圆C2上运动，点P又在x轴上运动。三者都在动，很难上手。如果我们能考虑到曲线C1，C2是轴对称图形，于是我们可以先计算出PC1+PC2的最小值。结合几何意义容易发现将这个最小值减去两个圆的半径之和，即可得到PM+PN的最小值。这样问题又转化为在x轴上找一点P，使得PC1+PC2，最小，这便是我们初中熟悉的问题了.

先求PC1+PC2的最小值.

二、直观化原则：将比较抽象的数学问题化归为形象直观的问题来解决

例2.（2014·镇江一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（3，0）在圆C：x2+y2-2mx-4y+m2-28=0内，动直线AB过点P且交圆C于A，B两点，若△ABC的面积的最大值为16，则实数m的取值范围为

数与形的和谐统一，往往使解题更生动，用数形结合方法解题，关键是几何模型的建立，以及有关几何性质的熟练掌握，学生在平时要加强这方面的训练.

三、简单化原则：将复杂的问题化归为简单的问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或者获得解决某种复杂问题的解题启示和依据

例3.若椭圆上存在点P，使得点P到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是

分析：这个问题似乎比较难下手，如果设点P到两个焦点的距离分别为k，2k，则k+2k=3k=2a与焦距2c的关系无法确定，这时就要考虑简单情况——特殊情况椭圆上距离焦点最近距离为a-c，最远距离为a+c，再利用三角形两边之差小于第三边来解.

分析：双曲线是对称图形（中心对称与轴对称），利用双曲线的定义可得AF2=AF1-2a，

AP+AF2=AP+AF1-2a的最小值，于是三点F1，A，P共线是最小.

解析：AP+AF2=AP+AF1-2a，要求AP+AF2的最小值，

分析：在正项等比数列{an}中，因为a1a1，從而得到q1006>1，q>1，∴数列{an}是递增数列，如果试图通过对数列求和，问题的求解就变得相当棘手。如果能利用等比数列和谐性质：对于任意的正整数m，n，p，q，当m+n=p+q时总有am+an=ap+aq成立来解，问题就变得简单多了.

化归与转化思想方法是中学数学解题中的一种重要的、基本的思想方法，这方面能力的高低可以看出一个人解题的素质、掌握知识的程度和运用知识的能力。学生在学习解题过程中要刻意渗透，不仅要注意提高数学教学质量的近期效果，而且要努力提高自己分析问题与解决问题的能力，培养自己素养的远期作用.

总之，化归与转化思想贯穿于中学数学解题的始终，化归与转化的方法精彩纷呈、不胜枚举！学生必须深刻理解化归与转化的精髓，把握化归与转化的方法.只有这样，才能进一步提高分析问题和解决问题的能力.

编辑 薛直艳