2014年高考山东理科卷数学第21题的拓广

彭世金

题目 已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且有FA=FD.当点A的横坐标为3时，△ADF是正三角形.

（Ⅰ）求C的方程;

（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，

（ⅰ）证明直线AE过定点，并求出定点的坐标;

（ⅱ）△ABE的面积是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由.

笔者通过研究，发现本题第（Ⅱ）问可拓广到一般情形.

命题 已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，A为C上异于原点的任一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴正半轴于点D，且有FA=FD.若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，则（ⅰ）直线AE过定点F（p2，0）;（ⅱ）△ABE的面积有最小值，且这个最小值为4p2.

证明 （ⅰ）设A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）.由FA=FD，得xD-p2=x0+p2，由xD>0，得xD=x0+p.所以D（x0+p，0）.故直线AB的斜率kAB=-y0p.

因为直线l1与直线AB平行，设直线l1的方程为y=-y0px+b，将l1的方程与抛物线C的方程y2=2px联立，消去x得y0y2+2p2y-2p2b=0.

由l1和C有且只有一个公共点E，知Δ=4p4+8y0p2b=0，得b=-p22y0.

设E（xE，yE），则yE=-p2y0，xE=p32y20.

当y20≠p2时，直线AE的斜率kAE=yE-y0xE-x0=2py0y20-p2，

直线AE的方程为y-y0=2py0y20-p2（x-x0），

由y20=2px0，将AE的方程整理得y=2py0y20-p2（x-p2）.直线AE过定点F（p2，0）.

当y20=p2时，直线AE的方程为x=p2，过定点F（p2，0）.

综上可知，直线AE过定点F（p2，0）.

（ⅱ）由（ⅰ）知直线AE过抛物线C的焦点F（p2，0），

所以AE=AF+EF=（x0+p2）+（p32y20+p2）=x0+p32·2px0+p=x0+p24x0+p，

直线AE的方程x=my+p2，点A（x0，y0）在AE上，m=x0-p2y0.

直线AB：y-y0=-y0p（x-x0），由y0≠0，可得x=-py0y+p+x0，

将其代入C的方程y2=2px，整理得y2+2p2y0y-2p2-2px0=0.

设B（x1，y1），则有y0+y1=-2p2y0，

故y1=-y0-2p2y0，x1=p2x0+x0+2p.

点B到直线AE的距离

d=p2x0+x0+2p+m（y0+2p2y0）-p212+m2

=p2x0+x0+2p+x0-p2y0·（y0+2p2y0）-p212+（x0-p2y0）2

=2（x0+p2）2x0x0+p22px0=22p（x0+p2x0）.

于是△ABE的面积

S=12·22p（x0+p2x0）·（x0+p24x0+p）

≥12·22p·2x0·p2x0·（2x0·p24x0+p）=4p2

当且仅当x0=p2x0且x0=p24x0即x0=p2时取等号，故△ABE的面积的最小值为4p2.