谈谈全称量词与存在量词

2015-03-30马艳

中学数学杂志(高中版) 2014年4期

马艳

量词包括全称量词与存在量词两种，前者是指“所有”、“任意”、“每一个”等表示全体的量词，通常用符号“x”表示“对任意x”;后者是指“有一个”、“有些”、“存在一个”等表示部分的量词，通常用符号“x”表示“存在x”.全称量词和存在量词是新课程高考的必考内容，考查方式十分灵活、多样，而且可以和其他知识交汇综合考查.下面就教学中的案例四则，来说明一下全称量词与存在量词的考查方式.

1 准确地利用量词叙述数学内容

含有全称量词的命题称为全称命题，表示为“x∈M，p（x）”;含有存在量词的命题称为特称命题，表示为“x∈M，p（x）”.这里M为给定的集合，p（x）是一个关于x的命题（结论）.我们要能区分全称命题和特称命题，并能判断其真假.

例1 （2013·新课标Ⅰ高考）已知命题p：x∈R，2x<3x;命题q：x∈R，x3=1-x2，则下列命题中为真命题的是（）.

A.p∧q B.p∧q

C.p∧q D.p∧q

解析对于命题p：取x=-1，可知为假命题，命题q：令f（x）=x3+x2-1，且f（0）·（1）<0，故f（x）有零点，即方程x3+x2-1=0有解，q：x∈R，x3=1-x2为真命题，选项A，p∧q为假命题，错误;选项B，p∧q为真命题，正确;选项C，p∧q为假命题，错误;选项D，p∧q假命题，错误.故选B.

点评要判定一个特称命题为真，只要在M中找到一个元素x，使p（x）为真，否则命题为假;要判定一个全称命题为真，必须对给定集合中的每一个元素x，证明p（x）都为真，但事实上要判定一个全称命题为假，只需在给定的集合内找出一个x0，使p（x0）为假即可.

2 正确地对含有一个量词的命题进行否定

一般地，全称命题的否定是：全称量词变为存在量词，且将结论否定，即“x∈M，p（x）”的否定为“x∈M，p（x）”;特称命题的否定是：存在量词变为全称量词，且将结论否定，即“x∈M，p（x）”的否定为“x∈M，p（x）”.

例2 （2013·四川高考）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集.若命题p：x∈A，2x∈B，则（）.

A.p：x∈A，2x∈B

B.p：xA，2x∈B

C.p：x∈A，2xB

D.p：xA，2xB

解析根据题意可知命题p：x∈A，2x∈B的否定是p：x∈A，2xB，故选C.

点评不含量词的命题的否命题是将命题的条件和结论都进行否定，如“若x=1，则x2-3x+2=0”的否命题为“若x≠1，则x2-3x+2≠0”;不含量词的命题的否定是命题的条件不变，只将结论进行否定，如“若x=1，则x2-3x+2=0”的否定为“若x=1，则x2-3x+2≠0”.实际上这里x=1可以写成x∈{xx=1}或x∈{xx=1}，其意义不会发生变化，只是因为没有可选择变化的余地、范围，再加上量词就显得多此一举.

3 充分地发挥含有一个量词的命题的否定在解题中的功能

对于有些数学问题，如果能灵活地将全称命题与特称命题进行相互转化，则往往能使问题化难为易，迎刃而解.

例3 若二次函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]内至少存在一点c，使得f（c）>0，则实数p的取值范围为 .

解析若二次函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]内任意一点c，总有f（c）≤0，则f（-1）≤0，

f（1）≤0，，解得p≤-3，或p≥32，故原题所求p的范围为-3，32.

点评本题题设属特称命题，若直接求解，则需分类讨论，头绪繁多，操作困难.于是不妨考虑其否定：若二次函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]内任意一点c，总有f（c）≤0，求得此情形下实数p的取值范围，然后得出结论.

4 准确地把握全称量词和存在量词的区别和联系

有些数学问题中既有全称量词又有存在量词，要能分清层次关系，理解本质.

例4 （2014·济南模拟）已知函数f（x）=4x2-72-x，x∈[0，1]，函数g（x）=x3-3a2x-2a，x∈[0，1]，其中常数a≥1.若对x1∈[0，1]，总x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则a的取值范围为 .

解析 f（x）=4（2-x）+92-x-16，可以求得f（x）的值域为[-4，-3];

g′（x）=3x2-3a2=3（x+a）（x-a）且a≥1，从而g（x）在0，1上单调递减，所以g（x）的值域为[1-3a2-2a，-2a].

依题意得f（x）的值域为g（x）值域的子集，