Weyl型定理的新变形

Weyl型定理的新变形*

王红卫

(新乡广播电视大学， 基础教研室,河南 新乡 453003)

摘要:引入了Weyl型定理的新变形-(bt)性质,研究了它与其他的Weyl型定理之间的关系,并给出了(bt)性质成立的条件及它的扰动性质。

关键词:(bt)性质;扰动;SVEP;Weyl型定理

中图分类号：O177.1

收稿日期：*2015-05-15

作者简介：王红卫(1966-)，男，河南新乡人，讲师，主要从事算子理论研究。

本文中, 设X为无穷维的复Banach空间,L(X)为X上有界线性算子的全体。若T∈L(X),记N(T)、R(T)、σ(T)、σa(T)、σs(T)和isoσ(T)分别为T的零空间、值域空间、谱、近似点谱,满谱和谱点的孤立点。若R(T)是闭集,且α(T)=dimN(T) <∞(β(T)=dimX/R(T) <∞),则称T为上半(下半) Fredholm算子。记Φ+(X) (Φ-(X))分别为上半(下半) Fredholm算子集。半Fredholm算子Φ±(X)=Φ+(X)∪Φ-(X),此时算子T的指标定义为i(T)=α(T)-β(T)。 Fredholm算子Φ(X)=Φ+(X) ∩Φ-(X),T的本质谱σe(T)={λ∈C:T-λI∈Φ(X)}。上半Weyl算子W+(X)={T∈Φ+(X)∶i(T)≤0},Wey算子W(X)=W+(X) ∩W-(X)={T∈Φ(X)∶i(T)=0}。上面的算子类生成如下谱集:σw(T)={λ∈C∶T-λI∉W(X)},σuw(T)={λ∈C∶T-λI∉W+(X)},其中σw(T),σuw(T)分别为T的Weryl谱,上半Weyl谱。由文献[1]知,若σ(T)σuw(T)=π00(T),则称T满足(t)性质,其中π00(T)={λ∈isoσ(T)∶0 <α(T-λI) <∞}。

满足N(Tn)=N(Tn+1)的最小非负整数n称为T的上升,记为p(T)。满足R(Tn)=R(Tn+1)的最小非负整数n称为T的下降,记为q(T)。上半-Browder算子B+(X)={T∈Φ+(X)∶p(T) <∞},Browder算子B(X)={T∈Φ(X)∶p(T)=q(T) <∞}。T的Browder谱σb(T)={λ∈C∶λI-T∉B(X)},上半-Browder谱σub(T)={λ∈C∶λI-T∉B+(X)}。设T∈L(X),令p00(T)=σ(T)σb(T)。1909年,Weyl在文献[2]中研究Hermitian算子T的紧扰动时,发现λ属于T的有限重孤立的特征值的充要条件是λ属于T的谱集,但不属于T的所有紧扰动的谱集,这个结论就是今天的Weyl定理。20世纪90年代,许多学者对Weyl定理进行变形与推广。Harte等在文献[3]中定义了Browder定理,Browder定理是Weyl定理成立的前提。Rakocevic在文献[4]中给出了Weyl定理的其他变形,称之为a-Weyl定理和a-Browder定理。下面引入新的Weyl型定理。

定义1若T满足σ(T)σuw(T)=p00(T),则称T有(bt)性质。

在局部谱理论中,SVEP起着重要的角色,参看文献[5, 6]。

设D是λ的一个开邻域,若f:D→H是一个满足(μ-T)f(μ)=0的H-值解析函数,则有f≡ 0,则称T在λ∈C点有单值扩展性质(简称SVEP),当T在每一点λ∈C有SVEP,则称T有SVEP。

T和T*在谱点的边界有SVEP,因此T和T*在谱点的孤立点有SVEP。

依据文献[7]定理1.2 设T∈L(X),λ0I-T∈Φ±(X),则下列陈述等价:

(i)T在λ0点有SVEP;(ii)p(T-λ0I) <∞;(iii)λ0不是σa(T)的聚点。

对偶的,若λ0I-T∈Φ±(X),则下列陈述等价:

(iv)T*在λ0点有SVEP;(v)q(T-λ0I) <∞;(vi)λ0不是σs(T)的聚点。

若任给λ∈isoσ(T),λ为T的预解集的极点,则称T为极。如果T的本质谱σe(T)={0},则称T为Riesz算子,紧算子和拟幂零算子都是Riesz算子。

主要结果

定理1.1T有(bt)性质当且仅当σuw(T)=σb(T)。

证明由于T有(bt)性质当且仅当σ(T)σuw(T)=p00(T),又由于p00(T)=σ(T)σb(T),从而T有(bt)性质当且仅当σuw(T)=σb(T)。

定理1.2若T有(t)性质,则T有(bt)性质。

证明由于对任意的算子T,σ(T)σuw(T) ⊇p00(T),因此只需证σ(T)σuw(T)⊆p00(T)。由于T有(t)性质,则σ(T)σuw(T)=π00(T)。设λ∈σ(T)σuw(T),则λ∈π00(T),λ是σ(T)和σ(T*)的孤立点,从而p(T-λI)=q(T-λI) <∞,λ∈p00(T),即T有(bt)性质。

下面的例子说明(bt)性质严格弱于(t)性质。

例1.3设T(x1,x2,…)=(x2/22,x3/23,…),∀x=(x1,x2,…)∈l2(N)

则σ(T)=σuw(T)=π00(T)={0}且p00(T)=Φ,从而σ(T)σuw(T)=p00(T)=Φ,即T有(bt)性质。然而由于σ(T)σuw(T) ≠π00(T),从而T不满足(t)性质。

定理1.4T有(t)性质当且仅当一下两个条件满足:

(i)T有(bt)性质;

(ii)π00(T)=p00(T)

证明若T有(t)性质,则σ(T)σuw(T)=π00(T)且T有(bt)性质,即σ(T)σuw(T)=p00(T),从而π00(T)=p00(T)。反过来,若T有(bt)性质且π00(T)=p00(T),则σ(T)σuw(T)=p00(T)=π00(T),即T有(t)性质。

推论1.5若T是极,则T有(t)性质当且仅当T有(bt)性质。

证明若T是极,易证π00(T)=p00(T)。由定理1.4得(t)性质与(bt)性质等价。

下面的例子说明(bt)性质不能遗传到其共轭算子T*。

例1.6设L:l2(N) →l2(N)是单侧左移位算子,则σ(T)=σ(T*)=σuw(T)=D,σuw(T*)=∂D且p00(T*)=p00(T)=Φ,其中D为闭的单位圆盘,∂D为单位圆周。从而σ(T)σuw(T)=p00(T)=Φ,即T有(bt)性质。另一方面,由于σ(T*)σuw(T*) ≠Φ=p00(T*),则T*不满足(bt)性质。

设T∈L(X),R∈L(X)是与T可交换的Riesz算子。则由文献[8]命题5及文献[9]定理1得

σuw(T+R)=σuw(T).

σw(T+R)=σw(T).

σub(T+R)=σub(T).

σb(T+R)=σb(T).

定理1.7设T∈L(X),E∈L(X)是与T可交换的Riesz算子。则T有(bt)性质当且仅当T+E有(bt)性质。

证明设T有(bt)性质,E是与T可交换的Riesz算子。则σuw(T+E)=σuw(T)=σb(T)=σb(T+E),即T+E有(bt)性质。反过来同理可得。

推论1.8设T∈L(X),E∈L(X)是与T可交换的拟幂零算子。则T有(bt)性质当且仅当T+E有(bt)性质。

推论1.9设T∈L(X),E∈L(X)是与T可交换的紧算子,则T有(bt)性质当且仅当T+E有(bt)性质。

(责任编辑吕春红)

参考文献:

[1] RASHID M H M. Properties (t) and (gt) for bounded linear operators[J].Mediterr. J. Math,2014(11): 1-16.

[2] WELY H, Über beschr änkte quadratische formen, deren differenz vollstetig ist[J]. Rend. Circ. Mat.Palermo,1909 (27): 373-392.

[3] HARTE R, LEE W Y. Another note on Weyl’s theorem[J]. Trans. Amer. Math. Soc., 1997(349):2115-2124.

[4] RAKOCVIC V. Rakoˇcevi'c, Operators obeying a-Weyl’s theorem[J]. Rev. RoumaineMath. Pures Appl., 1989(34):915-919.

[5] AIENA P. Fredholm and Local Spectral Theory, with Applications to Multipliers[M]. Kluwer Academic Publis-hers,2004.

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[7] AIENA P, CARPINTERO C, ROSAS E. Some characterization of operators satisfying a-Browdertheorem[J]. J. Math. Anal. Appl., 2005(311): 530-544.

[8] H.O. TYLLI H O. On the asymptotic behaviour of some quantities related to semi-Fredholm operators[J]. J. Lond. Math. Soc., 1985(31): 340-348.

[9] RAKOCEVIC V. Semi-Browder operators and perturbations[J]. Studia Math., 1997(122):131-137.

New Variation of Weyl Type Theorem

WANG Hong-wei

(Based Teaching and Research Section, XinXiang Radio and

Television University, Xinxiang 453003,China)

Abstract:In this paper we introduce the new property (bt), which extend property (t) introduced by Rashid. We investigate the property (bt) in connection with Weyl type theorem,and establish sufficient and necessary conditions for which property (bt) holds. We also study the stability of property (bt) under perturbation by Riesz operators commuting with T.

Key words: property (bt); perturbation; SVEP; Weyl type theorem