基于ARMAGARCH模型的恒指隐含波动率指数预测及其在期权交易中的应用

陈彦晖

摘要基于ARMAGARCH模型，并结合均值回归效应，溢出效应和周内效应，本文研究了恒指隐含波动率指数（VHSI）能否被预测及预测是否有助于期权投资实践的问题.研究结果验证了香港股市具有均值回归的特性，标准普尔500指数对恒指隐含波动率指数有明显的溢出效应.此外，恒指隐含波动率指数呈现出周一上涨，周五下跌的特征，具有明显的周内效应.最后，本文运用ARMAGARCH模型对恒指隐含波动率指数进行预测，并结合实际的市场数据做了期权交易模拟.结果显示，ARMAGARCH模型比ARMA模型更适合对恒指隐含波动率进行建模；考虑了均值回归效应，溢出效应和周内效应之后，ARMAGARCH模型对恒指隐含波动率指数的预测能力显著提高，并且预测结果有助于期权交易获得较好的收益.

关键词隐含波动率指数，ARMAGARCH，均值回归效应，溢出效应，周内效应

中图分类号F224.9文献标识码A

AbstractThis paper investigated whether the implied volatility index can be predicted with meanreversion， spillover effect and dayofweek effect by using ARMAGARCH model. The results show that Hong Kong Stock market is meanreversion and S&P 500 index shows significant spillover effect to VHSI. Refer to the dayofweek effect， Hang Seng implied volatility Index （VHSI） tends to rise on Mondays and decline on Fridays. Finally， this research explores whether the prediction of implied volatility can provide additional value to practitioners and retail investors alike. The result suggests that option trading based on volatility prediction is practical for option traders.

Key words implied volatility index； ARMAGARCH； meanreversion； spillover effect； dayofweek effect

1引言

隐含波动率是一种直接由交易中的期权价格计算而来的市场参数，由于其对金融市场具有重要的指示作用，近几年来受到了实践界与理论界的广泛关注.职业期权交易者在交易时会考虑隐含波动率的大小.他们认为若隐含波动率过高，则期权价格被高估，反之亦然.绝大多数学者则认为隐含波动率对未来市场走向具有一定的指示作用.例如，Simon1研究了过高与过低标准普尔500隐含波动率指数（VIX）与未来市场走向的关系.学者普遍认为隐含波动率与股票指数之间是负相关的，因此隐含波动率可以被用来对冲风险.此外，运用特定的定价模型隐含波动率还可以用来对期权进行定价.由于隐含波动率的受关注度日益提高，美国芝加哥期权交易所（CBOE）为了方便普通投资者追踪隐含波动率，率先推出了标准普尔500隐含波动率指数（VIX）.作为新兴市场的代表，香港证券交易所于2011年发布了恒指隐含波动率指数（VHSI），为广大投资者提供了更加全面的市场信息.本文以VHSI代表恒指隐含波动率，对恒生指数的隐含波动率进行研究.

早期学者的研究多集中于通过隐含波动率指数对市场收益进行预测2，3，很少有论文直接对隐含波动率指数进行预测.具有代表性的文章仅有两篇：Konstantinidi et al. 4通过研究一系列欧洲和美国市场的隐含波动率指数对隐含波动率指数的走势能否被预测进行了验证；Ahoniemi 5运用ARIMA模型和不同的市场参数对VIX进行了预测.由于波动率在投资决策，资产定价及风险管理中占据重要地位.此外，隐含波动率指数直接由交易中的期权价格计算得到，因而更能反映市场的真实情况，对隐含波动率指数进行预测，并将预测值作为未来市场波动率的估计值，势必会帮助投资者更加准确地进行投资决策，资产定价及风险管理.

由于美国金融市场的繁荣与主导地位，VIX和美国金融市场的其它隐含波动率指数得到了最广泛的关注2，6，7.但是，仅有少量文献涉及到了其他金融市场的隐含波动率指数的研究.而对于新兴市场隐含波动率指数的研究更是屈指可数.本文的研究目的在于运用以VHSI为代表的新兴市场数据，基于周内效应和溢出效应探索新兴市场中隐含波动率指数能否被预测的问题.基于恒指期权的真实交易数据，本文进一步探讨了研究波动率指数的特征是否能为期权交易者提供帮助.相信本文将有助于投资者和理论界加深对新兴市场隐含波动率的了解.

2数据

2.1恒指隐含波动率指数（VHSI）

本文用于模型参数估计的数据取自2001年1月2日到2010年12月31日的VHSI日数据.图1展示了自2001年1月到2011年12月的VHSI和恒生指数（HSI）的时间序列数据.从图1中可以看到，2003年1月到2007年3月间，VHSI的值较为平稳，数值大多数情况下在20上下浮动，在此期间恒生指数呈现逐渐上升的态势.但自2007年4月之后，伴随着次贷危机的逐步显现，VHSI的波动愈发明显，并于2008年11月达到最大值.并且在2008年，恒生指数经历了近十年内最大幅度的下跌.2008年之后，VHSI虽有所下降，但仍然维持较高水平，并时有大幅波动.而在此期间，恒生指数虽略有回升，但波动依然十分明显.为了验证模型参数的可靠性及稳定性，本文从建模所用的2001年1月到2010年12月的全部数据中，按照VHSI的波动情况及宏观经济形势提取出来两个不同的子样本集：2003年1月到2007年3月的数据和2007年4月到2010年12月的数据.这两个子样本所含的观测值数量十分接近，将有助于模型参数的可靠性和稳定性分析.

表1给出了VHSI，VHSI一阶差分和VHSI对数变化率的描述性统计.VHSI的最大日变化量出现在子样本2中：最大涨幅为17.10点，最大跌幅为15.06点.所有的数据集都是右偏的，并呈现尖峰厚尾的态势.在0.01的显著性水平下，Augmented DickeyFuller （ADF） 检验无法拒绝VHSI是非平稳时间序列的原假设.因而在建模中，本文将排除直接对VHSI进行时间序列建模.

Simon1指出使用对数变化率与隐含波动率指数的右偏形态相吻合.此外，使用对数变化率能避免对隐含波动率指数的预测出现负值.最后，结合偏度和超额峰度可得出VHSI的对数变化率更加接近于正态分布.因此，本文最终将使用VHSI的对数变化率进行建模，并对对数变化率进行预测.

2.2其他参数

很明显，隐含波动率指数会受到其他金融和宏观经济指标的影响.许多诸如股票市场收益其他参数之类的变量已经被用来对VIX或隐含波动率进行建模5，6，8.

首先，市场收益与波动率之间相互影响.虽然许多学者验证了VIX变化与当日S&P500指数变化的负相关性9，10，但是从预测的角度来说，使用前一天的股票指数变化才能满足预测隐含波动率指数变化的需要.Fleming et al. 6同样认为当期VIX变化与前一日股指收益之间存在微弱的正相关关系.Giot11研究了VIX和VXN与未来市场收益之间的关系.他指出极高的波动率指数值是市场超卖的指示.Aboniemi 5的研究发现，在众多金融和宏观经济指标中，只有滞后的S&P500收益率对VIX具有显著的影响.因此，本文在对VHSI进行建模与预测的时候，会加入恒生指数（HSI）作为重要的解释变量.

研究者还认为不同国家或区域的股票市场之间会相互影响，产生溢出效应（spillover effect）.“溢出效应”表明一个资本市场的动荡导致投资者在其他资本市场改变他们的投资行为，从而将这种震荡传递到其他资本市场的现象.Aboniemi 5用MSCI EAFE指数（欧洲， 澳大利亚和远东市场综合股指）的收益代表全球股市来研究国际市场对VIX的影响.作为一个开放的经济体，香港股票市场的变化与全球经济的变化密不可分.美国股市作为全球经济的指南针，常常左右全球金融市场的走向.因而本文选取S&P500指数S&P500指数以美国证券交易所，纽约证券交易所和纳斯达克交易所中交易的主要企业的股票为样本进行计算，企业范围涵盖各个行业.而道琼斯工业综合指数仅包含工业类股票，纳斯达克指数仅包含科技股和高增长企业的股票.因此，本文选用S&P500指数，来考察美国股市对VHSI的溢出效应.来研究美国股市对VHSI的溢出效应.

研究发现隐含波动率在一周之内的变化是有规律的，即具有周内效应12，13.如表2所示，从平均值上看，周一的VHSI值在一周之内是最高的，周二到周五VHSI的值呈缓慢下降趋势，而周四到周五的下降趋势最为明显，且周五的VHSI值在一周之内是最低的.这与Harvey和Whaley12的研究结果相一致.因此，本文通过设置哑变量来研究VHSI的周内效应（dayofweek effect），找出对VHSI变化影响最为显著的工作日.

3模型建立与参数估计

3.1模型建立

通过EACF和SCAN方法可得ARMA（1， 1）模型对VHSI对数变化率的拟合度最好，这刚好与Aboniemi 5对VIX建模所得的结论相一致.

此外，本文将HSI对数收益率，S&P500指数对数收益率和衡量不同工作日与VHSI关系的哑变量作为解释变量加入到ARMA（1， 1）模型中，构成ARMAX（1， 1）模型，如公式（1）所示，并以此模型来研究解释变量对VHSI的影响，以及它们是否有助于提高模型的预测能力.

3.2参数估计

表3展示了对模型参数的估计结果.对于不同的样本数据，ARMA和ARMAX的常数项，自回归项和移动均值项的系数值是相似的，即解释变量提取了ARMA的误差项中的有效信息.

对周内效应的分析结果显示，对于全部样本和子样本1，仅有代表周一和周五的哑变量对VHSI变化的影响是显著的，这刚好与之前关于隐含波动率在一周之内呈周期变化的结论一致5，12，14.工作日哑变量与VHSI变化的关系正如预料的一样：代表周一的哑变量系数（γ1为正，与VHSI周一上涨的现象一致；代表周五的哑变量系数（γ5）为负，与VHSI在周五的值最低的统计结果一致.但对于子样本2（2007年4月到2010年12月），只有代表周一的哑变量对VHSI变化的影响是显著的.Ahoniemi 5通过对1990年到2002年的VIX数据进行研究发现，在代表周一到周五的五个哑变量中，只有代表周一和周五的两个哑变量显著影响了VIX的变化.但是在他的样本中，VIX的变化范围仅为36.43，最大增幅只有9.92，最大跌幅只有7.8.这三个统计量均比本文所使用样本的对应统计量要小.Harvey和Whaley 12认为，由于交易者往往在一周的第一个交易日建立头寸，市场在周一承受了较大的买入压力，因而周一的隐含波动率要高于其他几日的隐含波动率.从长期上看，这种现象或许正确，但是当宏观经济形势不稳定的时候，对市场产生重大影响的信息每天都会出现，这类信息使投资者每天都有可能建立期权交易头寸来对冲风险，因此周五与隐含波动率变化之间的关系也变得不那么明显.

表3 的参数估计结果同样也显示了VHSI的变化率与前一日的HSI收益率之间是正相关的.正的参数估计值暗示在经历了前一日的股票市场上涨之后，股市下跌的可能性增大，股市风险增大，第一天的VHSI值将会上升.反之，当前一日的股票市场收益为负，股市上涨的可能性增大，股市风险降低，第二天的VHSI值降低.Fleming et al. 6将这一现象视作股市均值回归的表现.

结果还显示前一日的S&P500指数的对数收益率反向影响VHSI的对数变化率，也就是说，当前一日S&P500指数的收益为负时，次日VHSI的值将提高；同样，当收益为正时，VHSI的值会降低.无论是用全部样本还是两个子样本的数据，对应前一天S&P500指数对数收益率的参数（ψ2）都是统计显著的.这种显著性表明美国股市对香港股市具有明显的溢出效应.从数据上分析（见表3），前一日S&P500指数的对数收益率每升高1点，次日的VHSI对数变化率将降低1.1个点.

4条件异方差性

图2展示了2001年1月到2010年12月VHSI的日变化率，从图中可以得出样本区间内VHSI的波动率具有显著的变化，即呈现异方差性（Heteroskedasticity）.此外，VHSI呈现明显的波动聚集性（Volatility Clustering），也就是每一个时点上的VHSI波动率并不是独立的，而是与之前的波动率相关，Engle15将这种现象称为ARCH效应，也就是条件异方差性.Engle15通过研究金融时间序列中广泛存在着这种现象提出了条件异方差回归模型（ARCH模型）.Bollerslev16在ARCH模型中加入了移动平均项，这就是更一般化的GARCH模型.GARCH模型在研究金融市场的波动性方面倍受学者的推崇，如Blair和Poon2在研究S&P100指数的隐含波动率时应用了GARCH模型，国内学者孙邦勇和李亚琼17应用GARCH模型研究了行业指数的波动率情况，而魏红燕和孟纯军18基于GARCH模型对短期汇率进行了预测研究.鉴于可能存在条件异方差性，本文引入GARCH模型对VHSI进行深入分析.

最后，本文通过LjungBox Q检验20，Engles ARCH test分别来检验不同模型设定的残差自相关性，异方差性.表6中的残差检验结果显示，对于全部样本数据和自样本数据集1，考虑了均值回归相应，溢出效应和周内效应的ARMAX模型能很好地消除残差的自相关性.对于子样本数据集2，由于这一区间内VHSI的波动较为剧烈，所以ARMA模型残差的自相关性本身就不显著.而对于异方差性的检验，结果显示，引入了ARCH（2）之后，模型的残差序列不能拒绝“无异方差性（ARCH效应）”的原假设.

综上，考虑了条件异方差性，不仅没有改变原有模型（ARMA，ARMAX）各项系数的值，而且提高了原有模型对VHSI的建模的拟合度.

5预测结果比较

本节将全部数据分为样本内数据（2001年1月～2008年12月）和样本外数据（2009年1月～2011年12月），用样本内数据进行模型的参数估计，用样本外数据对两种模型设定（ARMAGARCH，ARMAXGARCH）的预测结果进行比较.

本节采用均方误差（MSE）对点预测的结果进行比较，因为准确的点预测对风险管理和资产定价具有帮助作用.除此之外，本节还采用变化方向的预测正确率来对预测结果进行比较.因为交易者可以根据隐含波动率的变化方向来建立适当的交易头寸.

表7列出了不同模型设定的预测结果.结果显示，解释变量的确有助于变化方向预测正确率的提高.当使用均方误差对点预测进行评价时，无论是样本内预测还是样本外预测，包含解释变量的模型设定要优于不含解释变量的解释设定.

6期权交易收益比较

在本节中，将模型的预测结果应用于期权交易，来研究隐含波动率预测的实践意义.期权投资者往往通过对未来波动率变化方向的预测来建立期权交易头寸，最简单的交易策略是：当预计波动率升高时，市场风险增大，投资者持有看跌期权，当预计波动率下跌时，市场风险减小，投资者持有看涨期权.利用波动率升高与降低来实现获利的期权策略还有跨式交易策略.跨式交易策略需要同时买入或卖出相等张数到期日相同，执行价格相同的看涨期权和看跌期权来构建交易头寸.当预计VHSI上升时，买入看涨和看跌期权；当预计VHSI下降时，卖出看涨和看跌期权.

本节将运用上文所讨论的4种模型设定对VHSI的变化方向进行预测，并结合恒生指数期权的交易数据，做期权交易模拟.预测值全部采用样本外预测的结果，按照当日对次日VHSI变化方向的预测，以当日的收盘价买入或卖出最近到期日的价近期权.选用价近期权是因为价近期权的交易最为活跃21，关注波动率变化的投资者更倾向于交易价近期权，而不是价内期权与价外期权22.此外，Bollen 和 Whaley 9认为价近期权对波动率变化的敏感度最高.并且香港交易所在计算VHSI时选用的期权的执行价格位于市场价格±20%的区间之内.选用最近到期日的期权，同样是基于成交活跃度的考虑.Poon 和 Pope 23对1 160天S&P100和S&P500指数期权的交易数据分析得出离到期日5到30天的期权合约数量最多，成交量也最大.但是为了避免离到期日越近，期权价格的不规律变动增多，本文仅选用距到期日5天以上的当期期权或近期期权.用于测试的样本外数据选自2011年4月1日～2011年12月30日恒生期权每日收盘价格，2001年1月到2011年3月的数据作为样本内区间进行模型的参数估计.

本文根据预测的VHSI变化方向，在第T天建立交易头寸，在T+1进行反向操作，对前一日的交易头寸进行平仓.当预测的VHSI变化方向为正时，建立买入头寸，即买入价近的看涨和看跌期权，再将两者于次日卖出.同样，当预测的VHSI变化方向为负时，建立卖出头寸，即卖出价近的看涨和看跌期权，次日再买入相同的期权进行平仓.买入头寸与卖出头寸的获利分别由公式（4）和（5）计算.

同期权下一个交易日的收盘价格.

虽然本节主要应用变化方向的预测来进行交易，但依然在交易模拟中设置了阈值（filter）.这是因为，当预测的VHSI变化率很小时，波动率方向变化的预测结果会变得不可靠.此外，阈值的使用也是出于对交易成本的考虑，因为极小的变化率会使利润被交易成本抵消，最终无法实现获利.Harvey 和Whaley 12，Noh et al. 24都运用了两个阈值，将极小的变化率预测排除在外.出于对交易成本的考虑，Poon 和 Pope 23设置了三个阈值来进行交易模拟.本节选用了三个阈值-0.1%， 0.2% 和0.5%-来对交易信号进行过滤，当预测的VHSI变化率小于阈值时，将不做建仓交易.

交易模拟的初始资金设置为5 000港币.交易的获得的收益可以加入本金，不再额外补充本金.最终的收益率（R_ratio）由最后的总收益除以原始本金得到，盈利比例（W_ratio）由盈利次数除以交易次数得到.为了避免价格干扰和流动性缺乏，本节使用距到期日5日以上的当期期权和近期期权.例如，自2011年4月25日～4月30日，本节将不选用到期日为2011年4月30日的期权进行交易，而是选用到期日为2011年5月30日的期权进行交易模拟.交易模拟的结果如表8所示.

交易结果显示，包含解释变量的模型设定优于不含解释变量的模型.所有的模型均能得到50%以上的盈利比例，但是较高的盈利比例并不对应着较高的收益率，这是因为收益率与每次交易的收益有关.结合全文的分析，本文认为对VHSI进行预测，并结合跨式期权交易策略有利于交易收益的提高.

7结论

本文应用ARMAGARCH模型，并基于金融市场的均值回归效应，美国股市对VHSI的溢出效应，VHSI的周内效应，对VHSI进行建模与预测.研究结果表明，前一日的恒生指数收益率与VHSI的变化率正相相关，这是香港股市具有均值回归特征的体现.其次，美国股市对VHSI的溢出效应体现在S&P500指数的变化与VHSI的变化呈现负相关的关系.研究结果还表明VHSI的值在周一升高，之后4天缓慢下降，具有明显的周内效应.模型参数估计的结果，则表明周一和周五对VHSI变化的影响最为显著.为了检验模型参数的稳定型和可靠性，本文按照宏观经济形势，从全部样本数据中提取了两个波动形态相反的子样本.通过对3个样本的模型参数估计结果分析，得出本文所使用模型中解释变量对VHSI变化的影响总体上是稳定的.预测结果的比较显示，通过模型设定，VHSI变化方向可以被预测.最后，为了考察对隐含波动率建模与预测的实践意义，本文将模型的预测结果用于恒指期权的交易当中.交易模拟的结果显示，考虑均值回归效应，溢出效应和周内效应有助于提高期权交易的收益.因而，对隐含波动率进行预测有助于投资者做出正确的投资决策.

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