基于古诺博弈策略的报童问题的模型及分析

张婧　白依川　胡博文

摘要通过建立和分析基于古诺博弈策略的报童问题的数学模型，寻求两个销售商有重叠销售区域时的竞争价格策略优化方法. 模型的主要特点是：基于蜂窝理论刻画每个销售商的营销区域呈正六边形，分析了相邻销售商有重叠销售区域时，如何确定最优竞争价格策略，保证其利润最大；其次，该模型把需求量看成价格的函数，将消费者与销售商的距离看成是影响实际消费行为的重要因素纳入到消费者密度函数.

关键词报童问题；均衡解；博弈；蜂窝理论

中图分类号F110.20 文献标识码A

Abstract Based on the Cournot game strategy， this paper established a mathematical model of the newsboy problem in order to optimize the price competition strategy if the two vendors have overlapping sales areas. The model characterized the marketing areas of each seller as regular hexagons based on the honeycomb theory， and presented the competitive pricing strategy in order to ensure the maximum profit . Furthermore， this model considered the demand quantity as a function of the price， and introduced the distance between the consumer and the seller into the consumer density function since it is an important factor affecting the actual consumption action .

Key wordsnewsboy problem； equilibrium solution； game

1引言

报童模型自从1956首次被提出，一直成为学术界的关注焦点，近60年的时间里，产生了许多可观的研究成果1. 经典报童问题即单周期库存问题，研究的是面对随机需求量，销售商应该订购多少产品以获得最大的利润，目前的研究主要集中在对模型参数及决策变量的扩展. Hua等（2012）2将不同地点价格对需求的影响因素纳入模型的考虑范围. Lin 等3考虑需求相关的多地点的报童模型，其中：缺货成本、批发价及残值费用函数，及各点零售价格均相同，并得出一些关于集中控制与分散控制下期望收益大小的关系.

现实生活中，市场上往往存在多个销售商，他们通常销售相同或者可以相互替代的商品，而顾客对这类商品的总需求是一定的，销售商需要通过竞争满足顾客的需求以追求最大利润，在进行价格、订货量等决策时必须考虑其他销售商的行为策略. 1838年，法国经济学家古诺提出了关于产量决策的在双头垄断古诺模型. 在该模型中，只有2个销售者销售这种产品，虽然这2个销售者之间没有勾结或者联盟，但双方都清楚对方的行动方案，因此通过制定最优的产量策略来达到利润最大化4. 唐小我5 用差分方程方法分析了2个厂商条件下的古诺模型的均衡解和产量序列动态变化过程.

报童问题是一个日益重要而且相当具有活力的研究方向，但是，随着经济与社会的发展，市场竞争日益激烈，市场格局也日趋复杂，如果不考虑市场格局的复杂性，不考虑销售商之间的竞争因素，对报童问题的研究可能不会有很大的实用价值. 为此，本文借鉴已有的研究成果，基于古诺博弈策略，试图构建一种全新的报童模型，寻求2个甚至多个存有竞争关系的销售商在商品销售区域有重叠的时候，其竞争价格策略优化方法.

经济数学第 31卷第4期

张婧等：基于古诺博弈策略的报童问题的模型及分析

2模型假设

为简化问题，实现研究目的，本文根据研究对象的特征，做以下模型假设：

假设1两个销售商之间存在的是非合作博弈.

本文主要探讨一个寡头市场仅有的两个销售商之间的博弈问题. 2个销售商各自优先考虑自己的利益，自主决策商品价格，且他们之间并不能达成具有约束力的协议，也就是说2个销售商之间虽存有竞争关系，但存在的是非合作博弈6.

假设2销售商的销售区域呈正六边形.

两个销售商都有自己的商品销售区域，位于销售商固有销售区域内的消费者都会到自己所处的销售区域购买商品. 根据蜂窝猜想：由许多六边形组成的图形周长最小 7，因此，本文假设两个销售商的销售区域均呈正六边形. 当2个销售商之间存在销售竞争关系时，而销售商固有销售区域是指正六边形区域除去相关正六边形区域的“重叠区域”后的剩余部分.

假设3两个销售商存在重叠销售区域.

现实生活中，销售相同或者可以相互替代商品、存有竞争关系的销售商，其销售区域不可避免地会有重叠. 本文所讨论的问题即为存在重叠区域的情况下，如何找到一个均衡解，使2个销售商的收益都能达到最优.

假设4重叠区域消费者对商品的选择，其消费心理只与价格有关.

2个销售商所处地理位置虽有不同，但可以近似的认为两个销售商所处位置的营销条件及环境相近，地理位置所产生的差异不大，与地理位置有关的参数可视为已知固定的条件.

当任一销售商的订购量小于需求量时，销售商在其销售区域里仅能销售与订购量相同的商品；当订购量大于需求量时，剩余商品是可以回收的，且认为客源不会发生转移，也就是说订购量的大小不影响重叠区域内消费者的选择，订购量将被视为常量.

因此，假设重叠区域消费者对商品的选择，其消费心理只与价格有关，消费者距离销售商的距离看成是影响实际消费行为的重要因素将被纳入到消费者密度函数8.

3模型建立

3.1符号设置与说明

为此，假设重叠区域内，客源的流失量与2个销售商定价的差成线性关系，线性项系数为γ>0，且在定价相同时，2个销售商的销售份额相同. 这是因为2个销售商定价相同时，2个销售商的销售区域半径相同，重叠部分对于两个销售商来说是对称的，所以重叠区域内的消费者面对的是完全相同的两个销售商，即认为消费者到任一销售商处购买商品的概率相同，也就是每个销售商享有重叠区域一半的客源. 这样，重叠区域中销售商i流失的客源，即损失的销售量为

3.3最优均衡价格

对于存有重叠销售区域、具有竞争关系的两个销售商而言，最优价格，应是使两个销售商均能获得最大利润的各自商品价格. 此时，利润函数一定存在最大值，为凹函数9.

首先，当销售商2选择与销售商1不同的售价p2时，记销售商1的最优价格策略为 BE1（p2）；同样，当销售商1选择与销售商2不同的售价p1时，销售商2的最优价格策略为 BE2（p1）. 当销售商博弈存在均衡解时，销售商各自的最优价格策略才能确定.

4模型分析

依据以上构建的“报童模型”，两个销售商在销售区域有重叠的时候，确保其利润尽可能最大化的最优竞争价格策略为：

第一步，首先需要测算出两个销售商在订购量均大于需求量、订购量均不大于需求量以及订购量与需求量关系不同三种情况下的最优价格p1∧，p2∧.

第二步，根据最优价格，分别计算出三种情况下两个销售商的各自利润E（P1，P2）、E（P2，P1）.

第三步，将2个销售商在三种情况下的利润各自进行比较.

若2个销售商的各自最大利润出现在同一种情况，则该种情况下的最优价格p1∧，p2∧即为最优解；若2个销售商的各自最大利润分别出现在不同种情况，可以根据2个销售商的实际情况（如可以考虑2个销售商对整个地区经济发展推动力大小、对商品的重要程度等）对2个销售商设置权值，计算每种情况下2个销售商的利润乘以权值后的总利润之和，再选择总利润最大的一种情况，按照此种情况下的最优价格p1∧，p2∧制定销售策略.

通过对“报童模型”最优价格求解过程的分析，可以看出：

若2个销售商的订购量与需求量关系相同，即订购量均大于需求量或订购量均不大于需求量的情形下，他们的最优竞争价格策略是制定相同的销售价格. 这与人们的日常经验相符. 此时，2个销售商各自占有重叠区域内一半的消费者.

对于订购量均不大于需求量的情形来说，当达到均衡解之后，任意一个销售商想要提高价格，必定会导致需求量与订购量的关系发生改变，从而需要对销售商获得的利润重新进行计算.

对于订货量与需求量关系不同的情况，2个销售商的最佳反应函数受对方定价影响，通过确立最佳反映函数之间的关系就可以得到最优的竞争价格策略.

5结论

价格竞争环境下客源的争夺是不可避免的，也是销售商在制定销售策略时应当考虑的因素. 本文基于古诺博弈策略，通过报童问题数学模型的建立和分析，对两个销售商在销售区域有重叠的时候，其竞争价格策略的优化方法进行了有益探讨，其中，把需求量看成价格的函数，将消费者距离销售商的距离看成是影响实际消费行为的重要因素纳入到消费者密度函数. 虽然，本文为了研究问题的方便，对模型的建立设定了一些前提和假设，但本文的研究成果必将对相关的经济活动起到一定的指导作用，可将结论应用到多个寡头厂商（三个或者三个以上）中.

参考文献

1.李雪敏，缪立新，徐青青.报童模型的研究进展综述J..统计与决策，2008（17）：11-14.

2.G HUA， S WANG， T C E CHENG. Optimal pricing and order quantity for the newsvendor problem with free shippingJ.. International Journal of Production Economics， 2012， 135（1）： 162-169.

3.C T LIN， C B CHEN， H J HSIEH. Effects of centralization on expected profits in a multilocation newsboy problemJ.. Journal of the Operational Research Society， 2001，52（7）： 839-841.

4.闫安，达庆利.两企业序贯博弈的动态古诺模型研究J..系统工程理论方法应用.2006，15（2）：103-106.

5.唐小我.两个生产厂商条件下的古诺模型研究J..电子科技大学学报，1997：26（1），83-88.

6.张维迎.博弈论与信息经济学M.. 上海：格致出版社，2004.

7.T C HALES. The honeycomb conjectureJ.. Discrete & Computational Geometry， 2001， 25（1）： 1-22.

8.J D DANA JR， N C PETRUZZI. Note： The newsvendor model with endogenous demandJ.. Management Science， 2001， 47（11）： 1488-1497.

9.N C PETRUZZI， M DADA. Pricing and the newsvendor problem： a review with extensionsJ.. Operations Research， 1999， 47（2）： 183-194.

10.DIXIT， K AVINASH. Thinking strategically： the competitive edge in business， politics， and everyday lifeM.. New York：WW Norton & Company， 1991.

11.赵德余，顾海英，刘晨.双寡头垄断市场的价格竞争与产品差异化策略——一个博弈论模型及其扩展J..管理科学学报，2006：9（5），1-7.

12.朱赛花，戴琳，胡朝明.两个约束条件下允许外购的多产品报童问题J..经济数学，2013：30（2）：31-35.