量子光场连续测量的随机主方程理论

董　莹，杨垂平

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

量子光场连续测量的随机主方程理论

董莹，杨垂平

(杭州师范大学理学院，浙江 杭州 310036)

摘要：利用一束二能级原子束，使之穿过光场并与其发生相互作用，通过探测穿过光场后原子的状态，获得关于光场内光子数的信息，从而实现一个关于光子数的连续弱测量过程.根据量子连续测量理论及Wiener随机过程的相关理论，推导出描述这一连续测量过程的随机dinger方程与随机主方程.由所得方程的形式可见，如果原子与光场的相互作用为色散性的，则可以实现光场的非破坏测量，这种测量可以保证光场内的光子数在测量后不发生改变.反之如果相互作用是吸收性的，则可以实现吸收性的测量，这种测量等效于给光场附加了一个额外的真空热库，将导致光场内光子数的减少.

关键词：连续量子测量；非破坏测量；随机主方程

自从量子力学建立以来，围绕着量子测量过程的一系列问题就一直困扰着物理学家.按照Neumann的量子测量理论[1]，一个量子测量过程可以分为两步：第一步，量子测量仪器与被测系统通过一个幺正相互作用建立量子关联(纠缠)；第二步，读出测量仪器的状态，同时引起被测系统的非幺正塌缩.虽然这个简单的图像作为对量子测量的初步理解，在很多问题上是成功的，然而，在一类非常重要的问题上，这个图像却并不适用.例如在光子探测等量子连续弱测量过程中，测量结果(例如光电脉冲)不是一次而是连续不断地被读出，也就是说，上面提到的两步是同时并且连续不断地进行的.为了克服这个困难，研究人员提出了一个与Neumann投影测量不同的连续测量理论[2]，这一理论已经成功运用于很多不同的量子系统[3-5].近年来，随着对量子(反馈)控制理论研究的逐步深入，连续测量理论变得越来越重要.本文对两种实验上常见的量子光场的光子数连续监测方案给出了一个直观的物理描述，并根据量子连续测量理论，推导出了描述这一测量过程的随机方程.这些方程在开放系统量子光学、量子控制以及量子随机理论的研究中，都将起到非常重要的作用.

1连续测量的随机主方程推导

为了实时地监测一个量子光场(如一个量子谐振腔内的光场)的光子数，也即实现对光场连续量子测量，可以使用一束二能级原子(记基态为|g〉，激发态为|e〉)作为探测系统.总的测量时间被等分成许多非常小的时段，每一小段时长为τ.假设在每一个小段中，只有一个原子通过光场并与之发生相互作用.通过测量穿过光场后的原子的量子态，即可获得关于光子数的信息.下文将讨论两种不同的测量方案，如图1所示，一种为色散性的非破坏测量，一种为吸收性的破坏测量.

(a)非破坏测量：腔模频率与原子两能级间的跃迁频率存在较大失谐，导致光子与原子间发生色散性的相互作用，这种相互作用将改变原子波函数的相位，通过读取射出原子的相位，即可获得腔内光子数的信息；(b)吸收性测量：腔场频率与原子跃迁频率共振，引起原子对光子的强烈吸收，导致腔内光子数的衰减.图1　通过一束二能级原子实时连续探测量子光场光子数的装置原理示意图Fig. 1　Schematic setup for a continuous quantum measurement of the output work with a beam of two-level atoms

1.1　非破坏测量及其随机主方程

在非破坏测量方案中，假设量子光场的频率与原子的能级间距有较大的失谐，因此两者间的相互作用为色散性的非共振相互作用.这种相互作用可以由如下的哈密顿量[6]来描述：

(1)

(2)

这里下脚标f代表光子场.经过一段时间为τ的相互作用后，系统的密度矩阵变为

(3)

将之按照小量τ展开，并保留至二阶，得到

(4)

对于有计数过程，光场的约化密度矩阵为

(5)

(6)

同样的，也可以将无计数过程发生的概率以及光子场的状态分别表示为

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

由上式不难看出，这种连续弱测量可以被看作是一种可由如下算符描述的正算符测量(POVM)

(14)

(15)

以及相应的随机主方程

(16)

这里dW表示一个均值为零，方差为dt的高斯型随机变量，也就是随机过程中通常所讲的Wiener过程.

为了更清楚地看出该种测量过程对被测系统的影响，可以对所有的测量结果取平均，从而得到描述这一过程的标准主方程

(17)

1.2　吸收性测量及其随机主方程

与非破坏测量不同，吸收测量要求原子两能级间的跃迁频率应该刚好与被测光场频率共振，在旋转波近似下，这种吸收性的相互作用可以由如下哈密顿量[9]来描述:

(18)

这里ga表示原子与光子的共振吸收(Absortive)耦合强度.在这种测量方案中，原子的初态与非破坏测量也不同，应该选择为原子的基态|g〉，于是整个系统的初始密度矩阵为

(19)

(20)

以及相应的随机主方程

(21)

同样，如果对所有测量结果取平均，将得到描述这一测量过程的标准主方程

(22)

这个方程与描述一个与真空热库相接触的量子光场的主方程形式完全一致.因此，这种吸收性测量的物理效果，等同于给光场附加了一个额外的真空热库，无疑将导致光场内光子数的衰减，因而对光场而言，这是一个破坏性的测量.

2结论

参考文献:

[1] Neumann J. Mathematical foundations of quantum mechanics[M]. Princeton: Princeton University Press,1955.

[2] Davies E B, Lewis J T.An operational approach to quantum probability[J].Commun Math Phys,1970,17(3):239-260.

[3] Milburn G J，Walls D F.State reduction in quantum-counting quantum nondemolition measurements[J].Phys Rev A,1984，30(1):56-60.

[4] Zoller P, Marte M, Walls D F.Quantum jumps in atomic systems[J].Phys Rev A,1987，35(1):198-207.

[5] Holmes C A, Milburn G J, Walls D F.Photon-number-state preparation in nondegenerate parametric amplification[J].Phys Rev A,1989，39(5):2493-2501.

[6] Ueda M, Imoto N, Nagaoka H，etal. Continuous quantum-nondemolition measurement of photon number[J].Phys Rev A,1992，46(5):2859-2869.

[7] Johnson N L, Kotz S, Kemp A W. Univariate discrete distributions[M].2nd ed. New York：John Wiley & Sons,1993.

[8] Jacobs K, Steck D A. A straightforward introduction to continuous quantum measurement[J].Comtemporary Physics,2006，47(5):279-303.

[9] Imoto N, Ueda M, Ogawa T.Microscopic theory of the continuous measurement of photon numbe[J].Phys Rev A,1990，41(7):4127-4130.

Received date：2015-03-14

Foundation item：Supported by the National Natural Science Foundation of China (21173064,51303043); Hangzhou Science and Technology Program (20130432B06).

Stochastic Master Equation Theory for the Continuous Measurements of Quantum Optical Field

DONG Ying，YANG Chuiping

(School of Science，Hangzhou Normal University，Hangzhou 310036，China)

Abstract:To realize the continuous weak measurement for photon number, a beam of two-level atoms passes through a quantum optical field and then reads out the information about the photon number by detecting the state of the atoms leaving the optical field. According to the quantum continuous measurement theory and the Wiener stochastic process theory, a stochastic master equation and a stochastic dinger equation to describe the measurement process can be derived. The forms of the resulting equations show that if the interaction between the atom and the photon is dispersive in nature, then the photon number in the optical field can be conserved and a quantum non-demolition (QND) measurement can be realized. If the interaction is absorptive, then the absorption measurement can be realized, which corresponds to add to the optical field an additional vacuum reservoir and leads to the dissipation of the optical field.

Key words:continuous quantum measurement; non-demolition measurement; stochastic master equation

Corresponding author：ZHENG Zhanjiang (1978—),male, research associate, ph.D.,majored in organic synthesis and catalysis. E-mail: zzjiang78@hotmail.com

通信作者：杨垂平(1964—)，男，教授，博士，主要从事量子光学与量子信息研究.E-mail:yangcp@hznu.edu.cn

收稿日期：2015-04-15

文章编号:1674-232X(2015)03-0225-04

中图分类号:O431.2

文献标志码:A

doi:10.3969/j.issn.1674-232X.2015.03.001