山地底部不等高柱框架结构侧向刚度计算方法

王丽萍，李英民，韩军

(1.重庆科技学院建筑工程学院，重庆401331;2.重庆大学土木工程学院，重庆400045)

随着城市建设用地的日益减少，人们环保意识及与自然环境相融合的人居环境要求的提高，国内外一些城市逐渐开始兴建与山地地形及自然环境相适应的山地房屋。历次震害及研究表明［1-12］，底部不等高柱架空的山地建筑结构，在强震作用下易于发生不期望的破坏模式，如柱端过早的剪切破坏。这是由于实际工程中山地结构底层常常被设计为柱截面相同而柱高不等的结构形式，以致无法避免出现底层柱刚度和强度难以合理匹配的问题。强震中当底层短柱柱端已发生剪切破坏时，其他相对较高柱由于分担的剪力较少还未达到或接近屈服，结构整体已经倾斜从而引发倒塌。因此，推迟短柱发生破坏的时间，在弹性阶段控制尽管计算机可以完成结构的精确计算，但简化手算方法是结构工程师永远不能缺少的必备知识，也是分析结构受力机理和判断机算结果合理性的重要途径。D值法是目前计算多、高层框架在水平荷载作用下的内力应用最广泛的一种近似计算方法。此方法是基于假设同层柱高相同且柱端节点转角相同的条件下推导而得，如果当柱高不同，即使层侧移相同，柱端节点转角(θ)及柱底旋转角(φ=Δ/h)也会不同。那么，当D值法运用于底层不等高柱山地框架结构时，其适用性和准确性有待进一步考证。目前相关研究较少，文献［13］只是针对这一问题进行探讨，并未给出合理的解决方法。本文将基于矩阵位移法典型方程进行力学推导，通过在刚度修正系数(α)中考虑柱端节点转角和不等高柱旋转角差异的影响，研究适用于底部不等高柱山地框架结构的侧向刚度计算方法，以便掌握其内力分布规律［15-18］。

1 Muto＇s D值法验证

1922年Tachu Naito首先提出了D值法，此方法是基于假设同层柱高相同且柱端节点转角相同的条件下推导而得，由于仅考虑了柱截面对刚度的影响，从而导致计算误差较大。于是1955年Muto通过考虑梁柱线刚度比的影响修正了D值法，对于同层柱高相等情况此修正方法计算结果较为准确。对于同层柱高不等时，Muto通过柱高比的平方再次修正刚度系数［14］:

式中:h为相邻的相对较高柱子高度，h'为相邻的相对较短柱子高度，α为考虑梁柱线刚度比的刚度修正系数。

为考察Muto＇s D值法的准确程度，本文分别采用Muto＇s D值法与有限元方法对相同结构进行计算结果对比。算例基本设计信息:单跨单层不等高框架结构，跨度6 m，梁截面均为250 mm× 550 mm，柱截面均为550 mm×550 mm，设底层柱高比为η=h1/h2(h1和h2分别表示相邻柱高)，取η=1～3，左侧顶点加水平集中力为1 000 kN。采用通用有限元软件Sap2000建模计算，其剪力和刚度计算结果可看成是精确解。定义δk为刚度相对误差，δv为剪力相对误差:

式中:KD和VD分别为采用Muto’s D值法计算的柱刚度和剪力，Ksap和Vsap为分别采用SAP2000计算的柱刚度和剪力。

表1 Muto’s D值法计算误差对比Table 1 The comparison of calculation error by Muto’s D method

从表1中可以看出，对于底层等高的普通框架结构采用Muto’s D值法计算的柱刚度比实际柱刚度偏小，但是通过Muto’s D值法求得剪力相对误差很小，这是因为通过Muto’s D值法计算柱刚度再计算剪力分配系数，在剪力分配系数中弱化了刚度误差带来的影响，从而使得通过Muto’s D值法计算剪力值误差较小。但是，当柱高比值η在不断增加时，无论刚度相对误差还是剪力相对误差都在逐渐增大，刚度最大误差达到670.2%，剪力最大误差达到92.7%。因此，对于底层不等高框架结构在计算柱刚度和剪力时Muto’s D值法已经不能满足精度要求，为避免误差过大和增强D值法在底层不等高柱框架中的适用性需要对D值进行修正。

2 底部不等高柱框架结构侧向刚度计算方法

2.1 单跨不等高柱侧向刚度计算方法推导

建立单层单跨不等高框架模型如图1所示。基本假设及其说明如下:1)材料服从胡克定律，即材料的线弹性假设;2)构件在外力作用下所产生的变形与构件尺寸相比都很小，即小变形假设;3)构件以弯曲变形为主，不考虑构件的轴向变形和剪切变形;4)每根构件均为等截面直杆，其截面属性在构件长度方向不发生改变。

图1 单跨不等高柱框架模型Fig.1 The single-span model with uneven ground column heights

假设1和假设2保证结构分析中的叠加原理成立;假设3和假设4确定了构件的变形能力并减少了结构力学位移法计算的独立自由度数。通过以上的4条基本假设，如图1所示单层单跨结构独立自由度数3个，分别为AC柱端节点转角Z1、BD柱端节点转角Z2和AB梁端侧向位移Z3，iAB、iAC、iBD分布表示梁 AB和柱 AC、BD的线刚度。在A点施加水平侧向力F，可建立位移法典型方程:

式中:kij表示附加约束j单独发生单位位移Zj=1时在附加约束i处产生的约束反力。根据反力互等定理，k12=k21，k13=k31，k23=k32，将方程(4)改写为矩阵形式:

化简为

最终，位移表达式为

根据结构力学位移法可得

代入式(7)后可得

若定义

对于单层单跨不等高结构，最终长柱刚度Dl和短柱刚度Ds可表示为

式中:ib表示梁的线刚度，icl表示相对较长柱的线刚度，ics表示相对较短柱的线刚度，hcl表示相对较高柱的计算高度，hcs表示相对较短住的计算高度，Dl表示相对较长柱刚度，Ds表示相对较短柱刚度。系数ξ表示柱端节点转角与柱底旋转角的比例系数，反映了柱端节点转角占柱旋转角比例的大小;系数β表示柱旋转能力系数，主要受相邻梁柱线刚度比和自身与相邻柱高度比影响，柱高度比越大β越小。系数α表示节点转动和柱子旋转能力影响系数，当达到相同的层侧移，柱越高柱旋转角越小(φ=Δ/h)对应的节点转动相应减小，α则变大。也就是高柱的旋转能力和节点转动能力比短柱的小，所以长柱的αl比短柱的αs大，之所以长柱刚度比短柱小是因为截面刚度在D值中起主导作用。

2.2 单跨不等高柱侧向刚度计算方法验证

为验证单跨不等高柱侧向刚度计算方法的准确性及合理性，分别对第1节中的算例采用本文方法计算侧向刚度及剪力。从表2计算结果对比中可以看出，虽然高度比在变化，本文方法计算刚度误差变化很小，误差基本在8%以内;剪力误差随着高度比变化更小，误差基本在1%以内。对比表1和表2可以看出，采用本文方法相比Muto’s D值法计算结果更加接近精确解。从而说明本文提出的单跨不等高柱侧向刚度计算精度较高，计算结果较准确。

表2 计算误差对比Table 2 The comparison of calculation error

2.3 多跨不等高柱侧向刚度推导

多跨不等高框架可近似看成是多个单跨不等高框架并联而成，如图2所示，从分离体中可以看出仍然可按以上单跨不等高框架的推导，那么多跨不等高柱的刚度计算公式如下

式中:ib表示梁的线刚度，icj表示计算柱的线刚度，icj+1表示相邻较短柱线刚度，hcj表示计算柱高度，hcj+1表示相邻较短柱计算高度，Dj表示计算柱刚度，ξj表示柱端节点转角与柱底旋转角的比例系数，βj表示柱旋转能力系数，αj表示柱端节点转动和柱子旋转影响系数，其中最长柱子相对刚度较弱对于最长柱子α1需要再乘以0.85的修正系数。最终得到多跨不等高柱框架刚度计算公式，如表3。

图2 多跨不等高柱框架模型Fig.2 The multi-span model with uneven ground column heights

表3 刚度影响系数对比Table 3 The comparison of stiffness effect factor

2.4 多跨不等高柱侧向刚度计算方法验证

建立底层柱高比为4∶3∶2∶1和9∶6∶3∶1，从长到短柱依次编号为A、B、C、D，柱高比的变化就相当于山地的坡度变化。设计基本信息:跨度6 m，梁截面均为 250 mm×550 mm，柱截面均为550 mm×550 mm，左侧顶点加水平集中力为1 000 kN。

从图3中可以看出，随坡高比的增加，采用本文方法计算刚度误差在6%以内，剪力误差基本也在7%以内，只有个别达到12.5%，但是其剪力相差仅有0.3 kN，本文方法与精确解吻合的较好。而Muto’s D值法计算结果误差较大，尤其刚度计算结果明显已失真。

从表3中看出D值法计算的αj值明显小于本文修正后的αj值，这也反映出Muto’s D值法对柱端节点转角及柱底旋转角考虑不足。

图3 刚度和剪力对比图Fig.3 The comparison of stiffness and shear forces

2.5 底部不等高柱框架结构侧向刚度计算方法

对于多层多跨底部不等高柱框架结构中间层如图4(a)柱刚度D可按下式计算:

其中

对于其底层如图4(b)柱刚度Dj可按下式计算:

其中

图4 不同层Fig.4 Different floors

3 结论

本文通过力学推导，得到山地底部不等高柱框架结构的刚度计算方法，并得到以下结论:

1)采用已有的Muto＇s D值法计算底部不等高柱刚度和剪力时，发现随着底层柱高度比的增加，无论刚度相对误差还是剪力相对误差都会逐渐增大。因此，Muto＇s D值法对计算底层不等高柱山地结构的内力已不适用。

2)通过力学推导，最终实现了在刚度修正系数中考虑柱端节点转角和柱底旋转角差异的影响，提出了单跨不等高框架侧向刚度计算方法，并验证了本文方法的准确性。

3)基于假设多跨不等高框架由多个单跨不等高框架并联而成，从而在单跨不等高柱框架侧向刚度计算方法的基础上，得到多跨不等高柱框架刚度计算公式，通过验证本文修正方法和精确解吻合较好。

4)对于多层多跨底层不等高框架结构，底层柱刚度可按本文方法计算，其余层可按普通框架结构D值法进行计算。本文研究完善了山地框架结构内力计算方法，为进一步控制山地建筑结构破坏模式的合理形成奠定理论基础。

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