例谈数学解题中的审题方法

内蒙古巴彦淖尔市乌拉特前旗第六中学 于吉容

数学家乔治.波利亚说：“解题的成功要靠正确思路的选择，要靠从可以接近它的方向攻击堡垒”，这种正确方向的选择要从审题开始，准确地读懂题意是解题的良好开端。审题能力的培养对于在数学解题中加强对题意的理解能力，找出解题方向都有着重要意义。下面用实例来谈一谈数学解题中的几种审题方法。

一、审“框架”

审题时，应注意审查题中的条件与结论的框架结构特征，设法与有关的公式、公理、定理等进行联系，这样做不仅有助于找到解题途径，更有助于提高发散性思维能力。

例1：一个四边形的长依次为a ，b，c，d，且 a2+b2+c2+d2=2ac+2bd,确定这个四边形的形状并说明依据。

审析：根据条件，本题只能从四边形边的数量关系上进行判断。而题中数据a2，c2，2ac和b2，d2，2bd分别可以构成一个完全平方公式，原式可变形为a2+c2-2ac+b2+d2-2bd=0，即(a-c)2+(b-d)2=0，得a=c，b=d，从而四边形是平行四边形，依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

二、审数据

审题时应特别关注题中的特殊数据，如整数，勾股数，特殊角等。通过仔细阅读，发掘数据间的联系，以寻求解题途径。

例2：如图，在ΔABC中,D为BC边上的点,

已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，

求DC的长

审析： 题中数据5,12,13是一组勾股数，利用勾股定理的逆定理可知AD BC，

在Rt ADC中，AD=12，AC=15，可得 DC=9

三、审运算

数学中的运算符号蕴涵了相应的特征、性质，如能揭示运算符号所具有的信息，则使问题考虑的更全面，避免错解，也能大大启发解题思路。

例3：如果关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，求k得取值范围。

审析：运算符号“二次根式”蕴含了被开方数为非负数，即2k+1≥0，而方程有两个不相等的实数根又满足 △＞0，即2k+5＞0，故k的取值范围很多同学不注意二次根式所蕴含的性质，会直接利用△＞0而得出错误结论

四、审关键词

数学语言是非常严谨，规范而简练的，题中不应有“可有可无”的词语，因而在审题时，应注意审阅题中的关键词。尤其是题中一些表示否定性的，或表示范围，边界的词，一定要考虑清包括的情况，避免遗漏。

例4：把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本，如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，这些书有多少本？共有多少人？

审析：该题是初中经常出现的一类应用问题，题中既有相等关系又有不等关系，可设出未知数列出不等式（组）或方程来解决，方法很多，但每种方法都必须注意条件“分不到3本”所包含的情况。

设有x名学生，则有（3x+8）本书，

由题意得0≤（3x+8）－5（x－1）＜3

因为x取整数，所以x=6，3 x+8=26，即书有26本，学生6名。

在这里列不等式（组）时，易丢“=”，错解为0＜（3x+8）－5（x－1）＜3。

五、审隐含

隐含往往是深刻的，审题时，若能充分挖掘题中的隐含条件，准确把握题意，一举切中要害，可谓明智之举。

例5：已知抛物线的对称轴是直线 =2，且其最高点在直线上，求此函数的解析式。

审析：依题意∴k2-2=k，解得k=2或k=-1，又因为抛物线的顶点坐标为（2,1），此时，很多同学容易错解为当k=2时，y=2(x-2)2+1，当k=-1时，y=-(x-2)2+1 。实际上此解忽略了“最高点”的隐含条件“开口向下”，即 k2－2＜0，所以k=2（不合题意，舍去），当k=-1时，y=-(x-2)2+1，所求函数的解析式为y=-x24x-3。

数学审题能力是一种不仅包括阅读、理解、归纳、总结、类比等多种思维活动，也包括认真细致的态度和沉着冷静的心境等非智力因素综合素质的体现。对于复杂问题的探究过程常常充满曲折，这时一定要坚持不懈，积极思考总结，终究会有所突破。