数形结合思想的应用与实践

山西省大同市南郊区水泊寺联校 麻丽芳

小学阶段的数学基本思想包括三大类：数学抽象、数学推理、数学建模。在众多的数学思想中，数形结合思想几乎贯穿整个小学阶段。无论是整数、分数、小数还是负数，都是一条数轴连贯始终，就连研究加、减、乘、除这些运算或学习几何概念时，也离不开实物或图像支撑。正因如此，教科书上多次出现图文结合的情景，从分与合、平均分到一图两式、一图四式再到借助线段图、示意图、列表来解决问题，而在认识图形、周长、面积、体积时，则采用从实物到图形再到概念，一步步帮助学生建立表象明确含义，我们不断看到“以形助数”“以数辅形”的范例。这是数形结合思想将形象思维与抽象思维紧密结合的成果，它将复杂问题简单化、抽象问题具体化，化难为易、化繁为简。下面我想将自己对数形结合的一些应用和实践进行整理。

一、在数的认识方面

数的认识主要集中在低中段,按由低到高的次序分段学习,但不管是哪一类数,在学习时是有一定共性的。如认识自然数、小数、负数时，都涉及计数单位以及十进位值制，所以我们都可以借助数轴来进行认读，通过在数轴上的位置来进行比大小。尤其在自然数和小数的读写方面更可以借助数位顺序表来进行。拐弯处的难点可用计数器结合立体图突破。而对于分数来说，单位“1”，分数单位等概念的建立就离不开大量的实物分配，学生在动手操作后建立起分数的表象，才将形的变化抽象为数学符号，更容易理解其含义。由于分、小数的对应关系,也可结合数轴、线段图、方格图来进行较学，可引导学生从数、形两个角度出发，帮助学生唤起旧知，以形助数，以旧带新，以点带面。还可利用其探究倍数因数关系以及直线、射线、线段、角、平行与相交等概念性强且不易理解的东西。

二、在数的计算方面

最初的加、减、乘、除都是借助一图四式来进行。而连加、连减、连乘、连除的教学也都与图示密切结合，竖式计算也用小棒操作对应计算过程，方程教学中天平的辅助等都是在以形助数。虽然课本上在混合运算方面只是借助情境图让学生理解题意并列综合算式，但是我在后面的练习时常常借助画树状图帮助学生理解运算顺序，树状图的使用有效提高了算式的正确率。另外，我在教学乘法分配律时首先借助和倍问题的两种解法引入主题，进而以此为突破口结合线段图帮助学生理解乘法分配律的算理，通过比较两种不同的算法得出乘法分配律的结论，降低了理解难度。接着在后面的练习中我用到了长方形的周长、有相同长或宽的两个长方体的面积等一系列 配有图片的内容帮助学生内化知识，形成认识。最后在应用乘法分配律进行简算时我通过让学生结合画图操作叙述15×12的口算过程帮助他们理解15×12＝15×10+15×2＝150+30＝180这一计算过程其实就是利用乘法分配律进行简算，让学生在画图中自然理解这样做是最优化的选择，也是简算应用运算律的合理之处。思想渗透水到渠成。

三、在几何图形的教学方面

几何图形由一维的点、线到二维的平面再到三维的物体，是一个循序渐进的过程。我们在教学时也应从整体出发，让学生观察体验物体的形，进而明了点、线在面上，面在体上，让学生通过观察比较边、角的数目来体会其独有的特点。在教学长、正方体的表面积时，更可由顶点、棱、面出发使之与数发生联系，让模糊的概念具体化，并通过表格比较数据的形式，使内容得到量化，使知识结构网络化。我们也可运用几何直观的方法来探究周长、面积、体积公式，进而内化建构、巩固应用。另外在教学平移、旋转、轴对称时使用的方格图，在认识方向、认识路线使用的直角坐标系，确定位置时使用的数对，都体现了数形结合思想。在教学类似内容后可适当进行方法的总结，通过知识框架对学生所学知识进行梳理，使学生明一题通一路。我在教学三角形三边关系时通过多媒体给定两条边要学生猜测第三边可能是哪些数进而验证，验证的过程中学生明白第三边的范围在两边的和与差之间，真正理解三角形两边之和大于第三边的含义。

四、在解决问题方面

解决问题是数学学习的一个重要领域，随着学生年级的增加，学习的难度也有所增加。用于支撑学生思维的形体也有所改变。教材对实物图向线段图的过渡大致分为四个阶段：一是实物图；二是趋于线段化的排列图（包括实物和几何图形）；三是长方条图形；四是线段图。这样逐步过渡坡度小，易为学生接受。教学时，教师应认真钻研教材，把握教材的系统性，掌握好过渡的时机，做好从实物图向线段图的自然过渡和衔接。尤其是线段图它是在学生已有利用实物对应和象形图排列解决问题的经验基础上展开的，对后面数量关系的分析有很重要的作用，是以形助数的应用。苏教版教材的一大特色是从三年级起专门设立独立的解决问题的策略单元,我们应以这些版块为契机，对学生进行有意识的强化，在日常解决问题中指导学生用画图策略帮助理解解决问题，逐步养成画图的习惯，使之成为解题时常用的辅助方法。

五、在统计方面

统计是根据问题需要，对数据进行收集、整理、描述、分析，并对此作出合理的推断和预测的过程。将数据整理成统计表或统计图的过程就是以形助数。当统计图生成后，由形及数，分析信息。更可结合图表提出问题，预测结果。条形统计图、折线统计图、扇形统计图均是如此。平均数的教学中以多补少的操作使学生更容易得到结果。

“数形本是相倚依，焉能分作两边飞。数缺形时少直觉，形缺数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事休。几何代数统一体，永远联系莫分离。”这是我国著名数学家华罗庚对数形结合的评价。不管是利用数的计算来解决平面图形中的问题，还是用形的直观来分析数据中的关系,这些都体现了数形结合思想方法的优点,我们应深入挖掘教材中蕴含的数学思想，在适当的契机以适当的形式进行渗透，本着连续性、系统性、综合性的宗旨，让学生在日常的点滴生活中在日常的行为习惯中得到领悟。无论对学生是短期的知识理解还是长期的思维发展都会大有益处的。