凸显问题探究，培养应用意识*——以人教版七年级下册“实际问题与二元一次方程组”（第1课时）为例

☉贵州省道真自治县旧城中学张帮洪冉文宇

凸显问题探究，培养应用意识*
——以人教版七年级下册“实际问题与二元一次方程组”（第1课时）为例

☉贵州省道真自治县玉溪镇中心学校 胡军

☉贵州省道真自治县旧城中学张帮洪冉文宇

应用意识是《义务教育数学课程标准》（2011年版）（以下简称“课标”）十个核心概念之一.“课标”指出“应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴含着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决”.蔡上鹤先生认为“这里的不足之处是没有加进第三方面：领会学数学、做数学、用数学三者的辩证关系”.为了探索在数学课堂教学的过程中培养学生的应用意识的有效途径和具体方法，本文将以“实际问题与二元一次方程组”（第1课时）为例，就教学内容和“课标”解读、学情分析及问题诊断、教学中如何以问题探究为主线培养学生应用意识的一些做法进行相关分析，以求同行指教.

内容：人教版《义务教育教科书·数学》七年级下册“实际问题与二元一次方程组”（第1课时）.

“课标”对本节内容的教学要求是：（1）能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界中的数量关系的有效模型；（2）经历估计方程解的过程；（3）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理.

教学要求（1）明确列方程（组）解应用问题是联系实际的重要方面，凸显了方程作为一种数学模型的重要特征，这既是培养学生逻辑思维能力的良好载体，也是培养学生应用意识和实践能力的很好的题材.根据具体问题中的数量关系，经过必要的抽象，提炼出未知数与已知数之间具有的等量关系，列出方程，再运用方程求解的各种方法，求出方程的解，进而解决问题，应是贯穿本节的主线.

教学要求（2）指出了估算是利用方程解决实际问题的过程中重要的方法和策略，大量的实际问题只要求估算其结果.估计方程的解，不仅仅在于求解，也有利于学生直观地探究方程的性质，初步感悟通过代入数值进行计算也是求方程的解的有效途径，更有利于体会方程中的模型思想，对数感的培养也具有重要的意义.

教学要求（3）强调了要重视过程与结果的关系，数学与实际的关系，不仅要在操作层面上理解和应用二元一次方程组，更要在思维的层面上认识意义和作用.

教学理念：通过现实问题数学化，数学内容现实化，体会数学模型在解决实际问题中的价值，进行不同过程的有层次的知识和方法方面的训练，发展学生的应用意识.

本节课的重点是以方程组为工具分析、解决含多个未知数的实际问题，难点是解题的策略，用方程解决实际问题的过程.

教学问题诊断分析如下所示.

知识基础：本章学习了二元一次方程组的有关概念和解法，已具备利用二元一次方程组的知识解决实际问题的知识基础.

学习经验：在七年级上册学习了“实际问题与一元一次方程”，本章学习二元一次方程（组）的过程中初步体验到了用方程（组）解决实际问题的应用意识和学习经验.

学习障碍：“探究1”中的数量关系比较简单，但需要学生理解如何确定未知数；“探究2”中的数量关系比较复杂，要从“怎样划分”中来理解题意，开放地寻求设计方案，使学生利用方程组为工具进行一定深度的思考.受阅读能力、分析能力的制约，怎样从实际问题中提取数学信息，并转化为数学语言，这些对初一的学生来说有困难.

一、问题情境导入，激活应用意识

图1

师（课件演示）：如图1，悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟.归时四分行六百，风速多少才称雄？

问题1：上面这首诗包含了什么数学问题？用什么方法可以解决这个问题？

生：不能理解诗意，感到困感.

师：这是一个有关行程问题中的顺风、逆风的实际问题，可用方程的知识来解决这个问题.同学们回忆一下，用方程解实际问题的基本思路有哪些？

学生活动：热烈议论，你一言、我一语说出用方程解实际问题的基本思路.

教师归纳板书：设（设未知数）、列（列方程）、解（解方程）、检（检验）、答（给出答案）等.

师：前面我们讨论了二元一次方程组的解法，并用二元一次方程组解决了一些实际问题，为了解决问题1，本节课我们将根据用方程解实际问题的思路和方法继续探究如何应用二元一次方程组解决实际问题.（板书课题：实际问题与二元一次方程组）

评析：以孙悟空“探妖”（动画）创设情境，让学生在具体情境中“触景生思”，激活了学生的学习兴趣；用孙悟空“探妖”诗句提出问题让学生感到困感（引起悬念），唤起学生急于解决问题的欲望；让学生“回忆用方程解实际问题的基本思路”，为本节课的学习提供了研究思路和方法.通过以上环节，既自然地激活了学生应用已有知识解决实际问题的意识，又突出了“课标”“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言，是现代文明的组成部分”的理念.虽然学生可能一时不能理解诗意，但无需学生立即解答.

二、凸显问题探究，增强应用意识

探究1：养牛场原有30只母牛和15只小牛，1天约需用饲料675kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时1天约需用饲料940kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需饲料18—20kg，每只小牛1天约需饲料7—8kg.你能否通过计算检验他的估计.

问题2：请同学们认真阅读题目，讨论并解答下面的问题.

（1）如何理解“通过计算来检验他的估计”这句话？

（2）题目中哪些是已知量？哪些是未知量？有几个未知量？

（3）有几个等量关系？怎样列方程组？用什么方法解这个方程组？

（4）饲养员李大叔的估计正确吗？

师生活动：学生读题，理解题意，思考并与同学交流.教师巡视、辅导学习有困难的学生，收集学生学习中存在的疑点和难点.然后师生交流，共同寻找解决问题2的方法.

师：如何理解“通过计算检验他的估计”这句话？

生1：先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系通过计算来检验.

生2：根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需的饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确.

师：题目中哪些是已知数？哪些是未知数？有几个未知数？

生：原有母牛和小牛数：30、15；一周后母牛和小牛数：42、20；原来1天约需用饲料675kg、一周后1天约需用饲料940kg是已知数.估计值（平均每只母牛1天约需饲料18—20kg、平均每只小牛1天约需饲料7—8kg）所指的是在一定的范围内的数，是未知数.有两个未知量.

师：有几个等量关系？怎样确定建立等量关系？

生：有两个等量关系.用原来和现在1天约需用饲料数建立等量关系，即：原有母牛1天约需用饲料+原有小牛1天约需饲料=675；现有母牛1天约需用饲料+现有小牛1天约需饲料=940.

师：现在应该知道怎样列二元一次方程组了吗？题目中的未知数是什么？有几个？

众生：设每头大牛一天约用xkg饲料；每头小牛一天约用ykg饲料.

师：请同学们独立解这个方程组（并请一学生板书解方程的过程）.

答：每只母牛和每只小牛1天各需用饲料20kg和5kg.

师：对于以上问题，还能列出不同的方程组吗？结果是否一致？

学生活动：学生思考，有学生想到用一元一次方程，但思考起来比较麻烦.（过程略）

师：饲养员李大叔的估计正确吗？

生：对比方程组的解和估计，得出结论：饲养员李大叔对大牛的食量估计较准确，对小牛的食量估计偏高.

师：通过上面的学习，回顾用一元一次方程解决实际问题的方法，用二元一次方程组解决实际问题有哪些步骤？

师生共同回顾探究1的过程，归纳得出结论.教师用多媒体演示列方程组解实际问题的一般步骤（如图2）.

图2

评析：探究1是实际生活中“估算与精确计算的比较”的实际问题，学生要理解需要计算来检验“估计值”，进而明确要求的未知数，通过设元转化成有关方程组的数学问题.在这一环节的教学过程中，教师引导学生经历由明确已知数和未知数，找等量关系，建立方程（组），解方程（组），然后检验估算得出结论.这是一典型的数学建模过程，是数学应用意识的具体体现.这一建模过程其实在实际问题与一元一次方程中也体验过.在解决多个未知量的实际问题中，列方程组是一种最有效的数学工具，通常设多个未知数，就得列多个方程.教师让学生对比方法，体会到方程组解题的优化性，是数学手段的又一大进步.它对解决实际问题具有很强的示范作用，学生在这一活动中体会到数学解题模型思想的形成过程，增强了数学思想的应用意识.

探究2：据统计资料，甲、乙两种作物的单位面积产量的比是1∶2，现要把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物，怎样划分这块土地，使甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4（结果取整数）？

问题3：结合图2，以及探究1的解决过程，如何解决探究2中的问题？

师：探究2的问题情境要求我们做什么？结果达到什么？

生感到困感，沉默.

师：题目中的两个比值“1∶2”和“3∶4”分别表示什么意思？

生：“1∶2”是已知甲、乙两种作物的单位面积产量的比，“3∶4”是要达到的结果即甲、乙两种作物的总产量的比.

师：为了达到这一结果需确定一个种植方案，首先要确定什么？

生：把一块长200m、宽100m的长方形土地，分成两块小长方形土地，分别种植这两种作物.

师：你的想法很好，这实际上是长方形面积的分割问题.为了解决这个问题，请同学们先做下面的实验.

（1）把长方形纸片折成面积相等的两个小长方形，有哪些折法？

（2）把长方形纸片折成面积之比为1∶2的两个小长方形，又有哪些折法？

学生很快通过折纸得出结果.教师展示学生的折纸成果，用多媒体演示（如图3—图6）.

图3

图4

图5

图6

图7

师：同学们表现得很不错，能否借助折纸得到的启示，选择你认为合适的种植方案，画出示意图，帮助自己理解并建立方程组？

学生活动：画图分析题意，把文字语言转化为图形语言，得到种植方案.

师：谁来说一下你画出的种植方案图？

生：我由图5得到启示，矩形的宽不变，将长分成两部分，即甲、乙两种农作物的种植区域分别是长方形AEFD和BCFE（如图7）.

师：怎样设未知数？生：设AE=xm，BE=ym.

师：作物产量的比与种植面积的比有什么关系？

学生经思考分析，发现甲、乙两种作物的总产量的比等于甲作物的种植面积与乙作物的种植面积的2倍的比.

师：谁来说说怎样列方程组.

生：根据长方形土地长为200，可得x+y=AE+EB= 200.由甲、乙两种作物的总产量的比是3∶4，可得：甲种作物总产量∶乙种作物总产量=3∶4.可建立方程组：

师：你们能解这个方程组吗？

学生独立解题，教师巡视指导，并请一学生代表板书.过程略.

师：如何表述上面的种植方案？

生1：如图7，在长方形的长DC上离D点120米处取一点F，过点F作DC的垂线，将矩形分成两部分，较大的部分种甲种作物，较小的部分种乙种作物.

生2（补充）：过点F作AB的垂线.

生3：在长方形的长DC上离D点120米处取一点F，过该点F作BC（或AD）的平行线，将矩形分成两部分.

师：很好，你们想的真全面，请同学们议一议，还有其他的设计方案吗？

学生讨论，情绪很高，学习达到高潮.

生：如图6所示，在长方形的宽上取一点，过这点作长边的平行线（或作短边的垂线），将这块长方形分成两块长方形，较大的一块种植甲种作物，较小的一块种乙种作物.

评析：探究2中的数量关系比较复杂，像农作物总产量之比，单位面积产量之比，面积比，长度比之间的转化是列方程组的关键.在解决探究2的过程中，教师首先让学生感知到要解决此问题，需要将长方形分割成两个小长方形，然后通过动手操作（折纸）感知分法，为题目的多种种植方案埋下伏笔.利用画图分析，把文字语言转化为图形语言，使问题的解决具有直观性.在解决问题后让学生说出不同的种植方案，体现了学数学、做数学、用数学这一国际数学教育领域内公认的一项基本理念，蕴含着一个核心思想——对小学生、中学生来说，“学”和“做”的目的全在于“用”，而“做”和“用”又是为能够更深刻地理解“学”的内容，突出应用意识在“生活数学、研究数学和训练数学”方面的应有体现，使这些学习内容“转换成”过程性的探索活动，从而切实提高“学”的质量.

三、回顾探究过程，发展应用意识

问题4：回顾探究2的解题过程，比较列一元一次方程与列二元一次方程组解决实际问题的过程，有哪些相同点和不同点？

学生根据板书过程回顾探究2的解题过程，同学间互相交流，对照图2，得出列方程组解实际问题的步骤（略）并通过回忆比较得出列一元一次方程与列二元一次方程组解决实际问题的相同点和不同点.

师：上述两个问题能用一元一次方程来解吗？

学生中有的说能，也有的说不能.

教师以探究2为例进行分析.

设AE=xm，BE=（200-x）m，可得100x∶［2×100（200-x）］=3∶4.

师：能列二元一次方程组解决的实际问题，一般都可以通过列一元一次方程加以解决，只是随着实际问题中未知量的增多和数量关系的复杂化，列方程组将更加简单直接，因为问题中有几个等量关系就可以列出几个方程.

师：列一元一次方程与列二元一次方程组解决实际问题的相同点和不同点是什么？

生：相同点是都需要先分析题意，把实际问题转化为数学问题（设未知数，列方程（组），解方程（组）），再检验解的合理性，进而得到实际问题的解.不同点是设未知数的个数不同，进而列出的方程不同.

师追问：现在同学们应该会解决课的开始时提出的问题了吧？

学生独立解题，教师请一学生板书解题过程.

解：设悟空在静风中行走的速度为x里/分，风速为y里/分，得：

答：风速为50里/分才称雄.

师：看来同学们学习得不错，请同学们先思考，课后互相讨论解决下面的问题.

（1）今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之.（选自《九章算术》）

（2）今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？（选自《孙子算经》）

评析：通过回顾总结，帮助学生梳理列方程（组）解决实际问题的一般步骤，让学生讨论归纳“列一元一次方程与列二元一次方程组解决实际问题的相同点和不同点是什么”，进一步增强列方程（组）解实际问题的应用意识，对今后学习用方程解决实际问题起到“示范”的作用.最后，教师追问“现在同学们应该会解决课的开始时提出的问题了吧”，及课后思考从解决实际问题的需要来出发，以实际问题为出发点和归宿，再次让学生经历生活数学，感受到数学来源于生活现实，服务于现实生活，培养了学生应用所学知识解决实际问题的意识和能力.课后思考是两道我国古代数学名题，分别选自《九章算术》和《孙子算经》，学生通过课后思考、讨论，在解题时欣赏到愽大精深的数学文化，认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性，体会数学学科的精神实质，已成为人类文明的象征，是人类智慧的标志，传承了中华民族悠悠五千年数学文化史，可谓两全齐美、相得益彰.

结束语：数学课堂上让数学贴近生活，通过现实问题数学化，从数学角度看世界，利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象问题，将这些问题抽象成数学问题，用数学的方法予以解决，发展学生的应用意识.

1.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2.蔡上鹤.十个核心词，一条课改线［J］.中学数学教学参考（中），2012（7）.Z

*本文属于2012年贵州省基础教育科学研究教育教学实验课题——“中学数学课堂教学案例研究”（课题编号：2012B078）的研究成果之一.