数学欣赏：数学教学的新视角

数学欣赏：数学教学的新视角

☉江苏省南京市宁海中学分校卜以楼

一、写在前面的话

日前，笔者应邀赴乌鲁木齐与新疆生产建设兵团第二中学初二学生合作了一节“‘形内外’与‘正负性’”的数学欣赏课.这节数学欣赏课说的是在图形的位置关系变化引发数量关系变化下的一些更具有欣赏性的数学本质的探究与欣赏的相关问题.由于在数学欣赏这个教学园地里，与初中课堂教学相配套的教学资源目前不是太多，那么本文所涉猎的也只能是笔者开发“形内外”与“正负性”这一教学资源过程中的一些想法与做法，以引发同仁更多的实践与思考，并寄期望有更多数学欣赏教学成果的涌现.

二、“学习资源”的呈现

笔者为“形内外”与“正负性”这一数学欣赏课开发了下列学习、欣赏资源.

素材1：已知点A、B、C在同一直线上，若线段AB=a，BC=b（a＞b），求AC.

素材2：已知∠ABC=α，∠ABD=β（α＞β），求∠CBD.

素材3：已知直线AB∥CD，点E、F分别在AB、CD上，P点为平面内一点（不在直线AB、CD上），连接PE、PF.（1）如图1，探究∠BEP、∠DFP、∠P间的数量关系；（2）如图2，探究∠BEP、∠DFP、∠P间的数量的关系.

图1

图2

素材4：如图，在△CDE中，∠DCE=90°，CD=CE，直线AB经过点C，DA⊥AB，EB⊥AB，垂足分别为A、B.

（1）当AB绕点C旋转到图3位置时，判断线段AB与 AD、BE的数量关系，并说明理由；

（2）当AB绕点C旋转到图4位置时，判断线段AB与AD、BE的数量关系，并说明理由.

图4

图3

素材5：如图，在△ABC中，

（1）如图5，若∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，请你探究∠BOC与∠A之间的数量关系；

（2）如图6，若∠ABC、∠ACB的外角平分线相交于点O′，请你探究∠B O′C与∠A之间的数量关系.

图5

图6

素材6：如图，把△ABC的纸片沿DE折叠.

（1）如图7，若点A落在四边形BCDE内部点A′的位置，请探究∠A′、∠1、∠2间的数量关系；

（2）如图8，若A点落在四边形BCDE外部点A′的位置，请探究∠A′、∠1、∠2间的数量关系.

图7

图8

素材7：已知△ABC中，AB=AC.

（1）如图9，若点D为BC上任意一点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，CM⊥AB于M，求证：CM=DE+DF；

（2）如图10，若点D为BC的延长线上任意一点，其他条件不变，探究CM、DE、DF之间的数量关系.

图9

图10

素材8：△ABC中，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高，试探究∠DCE与∠A、∠B之间的关系.

三、教学过程的设计

1.切入话题

笔者以“同学们，我来自江苏南京，今天非常高兴与同学们一起探究并欣赏一类数学问题，让同学们从另外一个视角来学习数学、欣赏数学.首先，我们来欣赏几张精美的图片（播放图片）.这些神奇、复杂、精美的图案中包含的是简单的数学原理（板书“神奇——简单道理”），我们经过精心探究的数学结论又何尝不是这样呢”切入话题.

2.揭示课题

出示素材2，待学生完成探究后，让学生展示探究成果.

图11

图12

当射线BD在∠ABC的外部，即“图形外部”时（板书：形外），∠CBD=α+β；

当射线BD在∠ABC的内部，即“图形内部”时（板书：形内），∠CBD=α-β.

上述活动教师可板书为：

教师完成上述板书后，要求学生思考下列问题：从上述板书内容横向看，图形的位置关系往往决定数量关系；从板书内容纵向看，图形的主要特征又往往表现在“形内外”上（此时板书：形内外），数量的主要特征又往往表现在“正负性”上（此时板书：正负性），这就是本节课我要与同学们学习并欣赏的内容（此时在“形内外”“正负性”之间写上一个字“与”），从而揭示课题.

3.探究欣赏

（1）问题欣赏.

我们来观赏图11、图12的“形结构”，再来观察其对应的数量关系的“式结构”，从视角美观上看，你有什么感觉？

生：舒服，好看，美观！（师板书：美观）

现在就这个问题，老师将适当增加难度，强化一些条件，将问题深化为“在其他条件不变的情况下，若∠ABC的平分线为BE，∠ABD的平分线为BF，求∠EBF.”你能圆满解决这个问题吗？

深化这个问题的目的是再次让学生感受：当射线BD在∠ABC的外部时（如图13），∠EBF=α+β）；当射BD在∠ABC的内部时（如图14），∠EBF=?α-β），再次感受“形内外”与“正负性”的美观，并指出这种美观是我们欣赏数学的第一种境界之美！.

图13

图14

（2）联想欣赏.

现在请同学发挥一下想象力，在学习过的线段当中，有这样类似的问题吗？

设计这个活动的意图是：让学生通过模型的识别、知识的回忆、经验的联想，勾勒出“已知点A、B、C在同一直线上，若线段AB=a，BC=b（a＞b），求AC”这样一个与“问题欣赏”（素材2）形异实同的问题来，唤醒学生审美的意识，体验联想的学习力量.

在研究完这个问题后，教师可提出：“能否将线段这个问题像‘素材2’那样进一步深化呢？”追问这个问题的目的，还是让学生来类比、联想.既然对于角可以在其平分线上做文章，那么对于线段就可以在其中点上做立意.因此，就可以将线段这个问题深化为：“在其他条件不变的情况下，若点E是AB的中点，点F是BC的中点，求EF的长度”这个与角“心相印”“情相通”的问题了.即当点C在线段AB的延长线上时（如图15），EF=（a+b）；当点C在线段AB上时（如图16），EF=（a-b）.这样的活动，岂不美哉！

图15

图16

上述活动中，还要引导学生反思“素材1”与“素材2”的关联性、数学本质的深刻性、解决问题的一致性，体验探究方法的“异曲同工”之美（师板书：异曲同工）.

（3）探究欣赏.

活动1：上述对角、线段的探究都体现了“形内外”与“正负性”的异曲同工之美，它是事件的偶然巧合，还是数学的本质暴露呢？我们有必要对这类问题进行进一步的探究.请看题（出示“素材3”的第一问，要求学生作答）.

素材3的第一问，绝大多数学生已做过，所以很快得到“∠P=∠BEP+∠DFP”这一结论.

接着，出示素材3的第二问，注意不要急着让学生解答.

首先提出：面对这样一个问题，有什么想法？让学生感受到这样一个问题好像就是基于上述探究的“形内外”与“正负性”的另一个具体的问题.从几何直观和活动经验的角度看，在图1中，点P在两平行线的内侧（板书：内侧），既然有∠P=∠BEP+∠DFP，那么在图2中，点P在两平行线的外侧（板书：外侧），那么应当有∠P=∠BEP-∠DFP.

其次，引导学生对这个问题进行微观探究.现在对问题（2）心中已有了一个美好的期盼（板书：美好），这个美好的期盼能否如愿（板书：在“美好”旁边加上一个“？”），就得进行证明.这样就将欣赏活动转换到理性证明中，让学生在有思维的场景中去探究、去发现、去欣赏.当学生探究得到的结果与上述的美好期盼一致时，教师要引导学生擦去板书中的“？”.

第三，引导学生进行理性提升.从本题的探究过程看，就是一个探究性问题的一般性探究方法的再现；从探究的结果看，它又是素材1、素材2、素材3探究问题的延续，它体现的是“形内外”与“正负性”的“殊途同归”之美（板书：在“美好”之前板书：“殊途同归”）！并指出：这种美好是我们欣赏数学的第二种境界之美！

活动2：上述的探究活动总是在美好的愿景中前行的，数学中还有这样美好的学习素材吗？老师再向大家呈现一个探究问题（出示探究“素材4”）.

这是一个由于直线的位置变化而引发图形变化的探究问题，面对这个问题，你打算怎么做？

提出这样的问题，还是让学生重温“活动1”的经验，沿着“观察—类比—猜想—探究—结论”这种研究问题的一般性思路进行“素材4”的探究活动.当素材4探究结束时，要引导学生小结：这种方法很管用、很美妙（板书：美妙），这种美妙是我们欣赏数学的第三种境界之美！在引导学生欣赏形成的数学结论时，要让学生再次感觉到“形内外”与“正负性”“一脉相承”的意境之美（在“美妙”之前板书：一脉相承）！

需要注意的是：对于素材4，还要引导学生从另外一个层次进行欣赏.

建立“一带一路”争端解决机制和机构是中国在“一带一路”倡议落地时期的重要举措。长期以来，国际商事争端解决较多依赖于调解和仲裁机制，随着“一带一路”倡议的全面落地，如何实现诉讼、调解、仲裁的有效衔接，这已成为“一带一路”纠纷解决机制的重要课题。2018年6月29日，中国最高人民法院分别在深圳和西安设立了第一、第二国际商事法庭，7月1日颁布施行了《关于设立国际商事法庭若干问题的规定》，为形成“一站式”国际商事纠纷解决机制迈出了坚实的一步。国际商事法庭是中国全新的尝试，是否有必要设置国际商事法庭？国际商事法庭如何与国内商事审判制度协调？如何设计国际商事法庭？本文将就上述问题展开探讨。

活动3：由于直线AB旋转到△CDE内部时，按题中条件所形成的线段AD、BE的大小是随着直线AB的位置变化而变化的，因此素材4的价值还在于当AB旋转到△CDE内部时，直线AB所处位置不同而引发线段AB、AD、BE的位置也在发生变化，从而AB、AD、BE的数量关系必然也会发生变化.为此，在有条件的情况下，就这一探究素材还可引导学生进行如下探究.

一是探究AD、BE长度的分化点，从而确定AB、AD、BE之间的数量关系.这个环节的实施可以作如下两种预设方案.一种是当学生基础比较好时，学生已探究出其分界点是过点C作DE的垂线CM（垂足为点M），得到“当直线AB在△CEM内部时，由于线段AD＞BE，所以AB= AD-BE；当直线AB在△CEM外部时，由于线段AD＜BE，所以AB=BE-AD”这一漂亮结论时，可发挥一下几何画板的价值，通过几何画板演示上述结论的形成过程，让学生的抽象思维与几何画板的形象思维一致起来，增强学生学习的自信.如果学生基础不是太好，探究分界点有困难时，可将上述过程调换一下，即先用几何画板演示，再让学生画图探究.不管是哪一种方案，都能得到这一漂亮的结论.这一结论的本质是“二级分类”导致数量关系的变化.第一级分类看直线AB与△CDE的位置关系，即看直线AB在△CDE的形内还是形外，第二级分类是看直线AB与△CEM的位置关系，即看直线AB在△CEM的形内还是形外（如图17、18）.而这些也正是“形内外”与“正负性”一脉相承之美的再现.

图17

图18

二是以此反观素材1、素材2，让其在二级分类中欣赏“形内外”与“正负性”.即可以对素材1中的条件进行弱化，去掉a＞b这个条件，将素材2中的条件进行弱化，去掉α＞β，这样就可以在二级分类这个大的开放环境中来欣赏“形内外”与“正负性”的美妙！

（4）自由欣赏.

在问题欣赏、联想欣赏、探究欣赏这三个环节中，学生欣赏到了“形内外”与“正负性”的“异曲同工”中的“美观”、“殊途同归”中的“美好”、“一脉相承”中的“美妙”，学生已对“形内外”与“正负性”的欣赏有了一个大致的认识.此时让学生根据自身的能力，自主地选择“素材5、6、7、8”中的一个或几个，自主地探究、自由地欣赏，将数学欣赏内化为数学素养.

4.小结欣赏

教师在课堂小结中可提出下列问题：本节课通过问题欣赏、联想欣赏、探究欣赏、自主欣赏四个教学环节，让同学们从另一个视角学习数学、研究数学，是不是很有趣？那么这节课你最大的收获是什么呢？

5.布置作业

本课的作业要求，一是请同学把老师提供的八个学习素材中没有探究完的问题继续研究完；二是请同学们收集一下“形内外”与“正负性”的其他问题；三是请同学们写一篇关于“形内外”与“正负性”的数学作文.

要注意的是对这次作业要做一个跟踪性的评价，将学生收集到的问题与数学作文做一个集中展示，以延续这次欣赏活动.

6.板书设计

这节课的板书可按教学过程设计中板书的顺序进行“雕塑式“板书，以“总（神奇）——分（美观；美好；美妙）——总（和谐）”的结构形式，来凸显知识形成的过程、探究推理的过程、欣赏提升的过程.

主板书如下（文本框内文字的下标为板书的顺序号）：

四、数学欣赏的思考

数学欣赏是一门学问，需要专门研究.目前与“数学欣赏”相关的信息大都是说数学是美的.但是有些被数学家以为美的东西，并不是人人都能欣赏的.欣赏这些美需要数学意境的营造、数学方法的提炼和数学本质的揭示，笔者将从素材的开发、欣赏的视角和思维的内化等方面谈三点教学思考.

1.欣赏素材的开发是设计数学欣赏的根本

初中数学课堂欣赏数学之美，目前主要还是停留在“低端”层次上，说来说去，就是黄金分割、平面密铺、蜂房结构等，仅仅诉说直观之美.其实数学美的魅力是诱人的，数学美的力量是巨大的，数学美的思想是神奇的.如果教师把学生学习数学的过程开发成使学生体验数学作为人类智慧的结晶所洋溢出的精神美的过程，让数学之美与人文意境的沟通并融，这才是数学的“高端”之美.这种“高大上”的教学素材，课本中没有现成的设计，教辅中也鲜有涉猎，公开教学中也不为多见.为此，开发出具有数学学科独特之美而又符合学生现有的审美心智的学习素材是当前数学欣赏的根本之所在，这需要教师对数学的独到理解，也需要教师教学智慧的迸发，更需要教师教学经验的积淀.

由于数学学科独特的结构性，某一知识的单薄性就决定了不可能就某一个知识点开发出丰富的数学欣赏的素材来，所以数学之美，一般只可能在学生学习新知识的过程中逐步渗透.而关于以数学欣赏为主题的数学欣赏课的教学素材，要基于学生已学习过的知识、已研究过的方法和已具备的活动经验进行专题开发.正如斯坦尼斯劳·贞尼兹克说：这很难说得清楚，需要非常深的理解之后，数学之美的感觉才会出来.本课例就是基于数学内在的和谐之美，来建构数量关系与位置关系的协调之美.这里强调是学生已学习过的素材，主要是把平时零散的学习内容、平淡的认知关联相对集中起来，放大某一数学本质，以凸显数学的某种价值，有意识地让学生感受数学之美，欣赏数学之价值，激发学生的学习兴趣.

我们还可以将数学推理的严密、数学定义的精准、数学结构的协调等加以整合和开发，以揭示数学中的严谨美、内在美.例如，通过画图可知三角形的三条中线相交于一点，这个结论可以给我们一个很美观的感觉；通过几何证明三角形的三条中线相交于一点，又可以让我们感受到数学永远是一门“滴水不漏”神奇的自然学科.由此说开去，不仅三角形的三条中线相交于一点，三角形的三条高线、三条角平分线也都相交于一点，这又岂不是给我们一种数学很美妙的感觉吗？如果从欣赏的角度去学习数学、研究数学、理解数学，岂不是件快乐的事情吗？从这点上说，数学就是一门很美的学科，它既有优美的内容建构，又有美妙的思想流淌.只要我们用一双发现美的眼睛，就可以开发出数学美的教学资源来，就可以让学生在数学王国中尽情地享受数学带给他们精神上的满足、快乐与欣慰.

2.欣赏视角的选择是开展数学欣赏的关键

把学习过的教学素材按照研究的主题集中在一起让学生重新欣赏，一定要选择好欣赏的角度.如果不能准确地将教学素材引入到一个新的视角，不但起不到引领学生欣赏的效果，而且还可能将教学引入到“炒冷饭”的境地.就本课的“学材”而言，如果把它上成解题课，让学生把做过的题再重新做一遍，解题的方法再机械地过一遍，又会产生什么效果？如果选择“形内外”与“正负性”相统一的这个视角来看待、来研究所提供的“素材”，不仅能让学生回忆起解题的方法，而且还能唤醒学生审美的意识，促进生命之成长，发现数学之价值，欣赏数学之和谐，铸就数学之辉煌.

本课例用欣赏文学之美的方法来引领学生欣赏数学之美，从文学中常常表现出来的和谐性、简单性和概括性，引领学生将研究文学的视角迁移到数学之美这个神奇的王国中，让学生感受到数学与文学有着某种类比的相似性，特别在审美标准上更有一些共同性.课例开发出的“学材”，首先用图片这个引子引出数学是神奇的，但越是神奇的东西，包含的道理往往越简单.接着通过题组，用分析文学的手段，将学生的视角引入到“形内外”与“正负性”这个数学本质中来，从美观、美好、美妙三个递进的审美层次来认识数学之美，在这三个层次中，从解题方法挖掘出具有诗意的异曲同工、殊途同归、一脉相承与美观、美好、美妙三个审美层次相匹配，使欣赏的核心浑然天成.最后视角又回归到数学的和谐性中来，揭示“形内外”与“正负性”辩证和谐是数与形相得益彰的和谐之美.上述活动配以雕塑式精美的板书，有力地验证了英国美学家夏夫兹博里的“凡是既美且真，也就是在结果上是愉快和善的”至理名言.

要注意的是：在数学欣赏时，所有的欣赏活动要在凸显数学本质的前提下欣赏数学，若离开数学本质去欣赏数学，那只能是“种了别人的地，荒了自家的田”.

3.欣赏思维的内化是评价数学欣赏的标志

“数学欣赏”这门课带给学生的美远不止直观的形式美，正如人的美不单在外表，更在内在的美一样，数学深刻的本质，在于它内在奇妙结构的完美的和谐统一性.让学生在这样一个层次上去欣赏数学之美，需要学生思维内化来作支撑.

数学美感通过学生在一定审美经验上的感知体现出来，又反作用于学生，并受学生个性品质的影响而又各不相同.在数学教学过程中，教师如果经常有意识地引导积极思维、内化思维、欣赏数学美，就一定会在攀登数学高峰的过程中领略到无限的旖旎风光.例如，在学习列方程解应用题的过程中，教师将现实生活中的实例抽象为方程这样的数学知识，以后又将之用于解决其他问题.在不断总结、优化的过程中，学生看到数学规律忽而万法归宗，忽而又举一反百，扑朔迷离，奥妙无穷，才能达到学习数学、欣赏数学的目的.

五、写在后面的话

笔者在与新疆兵团二中初二学生共同探究“素材2”时，发现预设的教学内容、教学活动与学生的学习基础、知识结构与活动经验的把握有一定的偏差，于是及时调整了教学要求与难度，放弃了对学习“素材1”“素材2”的“深化探究”，以使得整个活动不影响对“形内外”与“正负性”和谐的整体欣赏，这样既保证了课堂的整体性，又不失揭示问题的本质性，保证了探究活动的观赏性.

1.张奠宙，竺仕芬.数学基本活动经验与数学欣赏［J］.中学数学教学参考（中），2012（6）.

2.卜以楼.形内外与正负性［J］.中学生数学（初中），2010（10）.

3.卜以楼.让数学教育的文化价值在教学中鲜活地流淌［J］.中学数学杂志（初中），2011（6）.Z