涉及轻杆的弹力判断

陈天瑜

一、轻杆的弹力方向

例1  如图1所示，水平轻杆的一端固定在墙上，轻绳与竖直方向的夹角为[37°]. 小球的重力为12N，绳子的拉力为10N，水平轻弹簧的拉力为9N. 求轻杆对小球的作用力.

[图1]

解析  以小球为研究对象，受力分析如图2所示，小球受四个力作用：重力、绳子的拉力、弹簧的拉力、轻杆的作用力. 其中轻杆的作用力的方向不能先确定，根据题目告诉的已知条件，可以先求重力、弹力、轻绳的拉力三者的合力，有[F=G2+F21-F2]=5N[图2]

方向与竖直方向成[37°]斜向下，此力与轻绳的拉力恰好在同一直线上. 根据物体平衡的条件，可知轻杆对小球的作用力大小也为5N，方向与竖直方向成[37°]斜向上.

点拨  由于轻杆作用力的方向具有多向性的特点，可以先确定其它力的合力，然后再根据牛顿第二定律，判定轻杆作用力的大小和方向.

杆对其上物体还可以产生横向作用力，杆对杆上物体的弹力方向不一定沿杆向. 如图3所示，杆对球的弹力方向随小车沿水平的加速度大小不同而异.

图3

再如图4所示，小球[A、B]分别固定在轻杆的中点和右端，左端连在天花板下的光滑铰链[O]上. 现将轻杆由静止释放，则在摆下的过程中，杆对两球的作用力就不一定沿杆向. 可以先将杆设想成不产生弹力的柔性软绳，再将两球和绳同时自由释放，经小段时间，二者竖直下落相同距离（如图中虚线位置）.

图4

相对以铰链[O]为中心的圆运动径向，右端球[B]落后了，如果软绳是刚性轻杆，则会对球[B]产生垂直杆向作用，将球[B]拉到[OA]所在同一直线上. 这也说明了杆的作用力对球[B]做了正功，对球A做了负功.

还可以设想成[A、B]是两个摆长分别为[L、2L]彼此独立的单摆，根据单摆微振动时的周期公式知，[A]摆的周期较短，粗略定性比较知，轻杆释放后沿圆周径向，球[A]将企图超前，球[B]滞后，故杆对[A]产生垂直杆向后作用，对[B]产生垂直杆向前作用.

二、轻杆的弹力大小

与轻绳不同，轻绳只能提供拉力，轻杆既可以提供拉力，又可以提供推力，或其他任意方向的力. 故杆的弹力要根据平衡条件或牛顿运动定律间接求解.

例2  如图5所示，小车上固定一弯折硬杆[ABC]，[C]端固定质量为[m]的小球，[α=30°]. 当小车水平向左以[v]=0.5m/s的速度匀速运动时，[BC]杆对小球的作用力的大小是     ，方向是      ;当小车水平向左以[a=g]匀加速运动时，[BC]杆对小球的作用力的大小是     ，方向是         . [图5]

解析  细杆可以产生与杆垂直的横向的力，也可以产生与杆任何夹角的弹力.

当小车水平向左以[v]=0.5m/s的速度匀速运动时，由平衡条件可知，细杆对小球的力必定与重力等大反向，即杆对小球作用力大小为[mg]，方向竖直向上，如图6甲所示.

当小车水平向左以[a=g]匀加速运动时，小球所受合力[∑F=mg]，沿水平方向，则小球受细杆的弹力[FN=2mg]，与水平方向夹角为[45°]，如图6乙所示.

[甲][乙]

图6

点拨  绳或杆拉小球运动到最低点时，弹力方向都向上，力的作用相同. 但绳拉小球运动到最高点时，绳的弹力方向向下;杆拉小球运动到最高点时，杆的弹力方向可以向上、向下或为零，这是有区别的.

对细杆来说，它的弹力既可能向上又可能向下，方向和大小都取决于速度大小[v]的取值. 其它如杆连球、球在环内或管内运动等情况也一样. 如图7所示，杆对小球的弹力为向下、向上、恰好为零三种情况.

[甲  乙  丙]

图7

当[F+mg=mv2R>mg]时， [v>gR]，弹力必然是向下的，[F=mv2R-mg]，如图7甲所示;

当[mg-F=mv2R

当[mg=mv2R]时，[v=gR]，弹力恰好为零，如图7丙所示.

注意，高度的最高（低）点，具有数学意义，通常被称为“几何最高（低）点”;从物理学角度而言，速度最小（大），称为“物理最高（低）点”. 一般情况下，在“几何最高（低）点” 速度相应最小（最大），与“物理最高（低）点”重合. 当然，也有因为其它力的作用，如电场力等，会使物体物理最值点与几何最值点位置错开的情况.