轻绳连接体问题的力学规律与求解策略

■四川省资中县教育研究室 邓贤彬

以轻绳连接体为背景的物理试题往往能够充分考查物体的受力平衡、牛顿运动定律、运动的合成与分解、动量、能量守恒和功能关系等重要力学知识(如图1 所示)，以及平行四边形定则、三角函数等数学知识，对同学们的理解能力和数学计算能力的要求较高。要想快速准确地求解轻绳连接体问题，就必须清楚轻绳的力学特性和轻绳连接的两个物体间具有的速度关系、加速度关系、位移关系等。下面归纳整理典型的轻绳连接体问题的求解策略，供大家参考。

图1

一、轻绳之瞬间问题

1.轻绳的定义:没有质量，形变量微小到可以忽略不计的绳子。

2.轻绳的力学特性:轻绳不发生显著形变就能产生弹力，故形变的产生、恢复或改变几乎不需要时间，其弹力可以发生突变。

例1如图2所示，用两段不可伸长的轻绳悬挂质量为m的小球，小球处于静止状态时，小球左侧轻绳水平，右侧轻绳与竖直方向间的夹角为θ。以下说法中正确的是( )。

图2

A.剪断水平轻绳的瞬间，小球的加速度为gtanθ

B.剪断水平轻绳的瞬间，小球的加速度为gsinθ

C.剪断倾斜轻绳的瞬间，小球的加速度为g

解析:剪断轻绳的瞬间，其弹力会发生突变。分析此时轻绳的弹力情况需要根据小球以后的运动情况，因为此时轻绳的弹力应为小球以后的运动提供力学条件。

剪断水平轻绳的瞬间，小球开始做圆周运动。小球的受力情况如图3所示，将重力沿绳和垂直于绳方向分解，则T=mgcosθ，F合=mgsinθ，因此小球的加速度，选项A错误，B正确。

图3

剪断倾斜轻绳的瞬间，小球开始做自由落体运动(水平绳无拉力)，则小球的加速度a=g，选项C正确，D 错误。

答案:BC

例2如图4所示，质量为M的木块用长为L的轻绳悬挂于O点，处于静止状态。一质量为m的子弹以水平速度v0高速射入木块，子弹没射出木块。不考虑一切阻力，求:

图4

(1)子弹射入木块后，子弹和木块的共同速度v共。

(2)子弹射入木块时轻绳的拉力F。

(3)子弹射入木块后，子弹和木块上升的最大高度H。

解析:(1)子弹射入木块的时间很短，木块的位置几乎没有变化，子弹和木块就达到共同速度。由子弹和木块组成的系统受轻绳对它竖直向上的拉力和竖直向下的重力，因而在水平方向上受到的合力为零，系统动量守恒，则mv0= (m+M)v共，解得。

(2)子弹射入木块后，由子弹和木块组成的系统开始做圆周运动，系统的受力情况如图5 所示，根据运动学公式得，解得。

图5

(3)子弹和木块在向右运动的过程中，因为轻绳的拉力始终不做功，只有重力做功，所以由子弹和木块组成的系统机械能守恒，当系统的速度为零时运动到最高点。根据机械能守恒定律得，解得。

二、轻绳连接之死结、活结问题

1.“死结”:可理解为把轻绳分成两段，且不可以沿轻绳自由移动的结点。其特点是“死结”让结两侧的两段轻绳变成两根独立的轻绳，因此两段轻绳的张力一般不相等。理论上，一根轻绳可以存在无数个“死结”下的力学平衡状态。

2.“活结”:可理解为把轻绳分成两段，且可以沿轻绳自由移动的结点。其特点是轻绳在结点处发生弯曲，张力方向发生变化，但轻绳仍是同一根绳，“活结”两侧的两段轻绳的张力大小一定相等。一般情况下，处于确定的力学平衡状态下的一根轻绳只能有一个“活结”。

例3(2020年高考全国Ⅲ卷) 如图6所示，悬挂物体甲的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O点处，细绳的一端固定在墙上A点，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。甲、乙两物体的质量相等。系统平衡时，O点两侧细绳与竖直方向间的夹角分别为α和β，若α=70°，则β等于( )。

图6

A.45° B.55°

C.60° D.70°

解析:本题是轻绳连接体的平衡问题，既有“死结”，又有“活结”。选滑轮处为研究对象，滑轮处为一“活结”，因而滑轮两侧的两段细绳的张力大小相等，且等于物体乙的重力。设甲、乙两物体的质量均为m，选O点为研究对象，进行受力分析，如图7所示，因为T1=T2，所以其合力T在其角平分线上，即∠1=∠2，根据三力平衡条件可知，TOA和T等大反向，则∠1=β。根据几何关系得∠1+∠2+α=180°，解得∠1=55°，即β=55°。

图7

答案:B

三、轻绳连接体之系统问题

例4如图8所示，一根轻绳跨过光滑定滑轮，两端分别连接物体A和B，物体A和B的质量分别为m和M，物体A悬挂在空中，物体B放于水平地面上。假设轻绳的长度不发生改变，且滑轮的大小可忽略不计。在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，( )。

图8

A.物体A也做匀速直线运动

B.轻绳的拉力始终等于物体A的重力

C.物体A做加速运动

D.轻绳对物体A的拉力逐渐减小

解析:根据运动的合成与分解，将物体B在初始位置的瞬时速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向，如图9 所示，则物体A的速度vA=vB//=vBcosα。物体B向右匀速运动的过程中，vB保持不变，轻绳和水平方向间的夹角α逐渐减小，cosα逐渐增大，则vA逐渐增大，即物体A做加速运动，选项A 错误，C正确。对物体A进行受力分析，根据牛顿第二定律得TAmg=maA，即TA＞mg，选项B 错误。根据数学知识可知，随着α角的减小，cosα的值变化减慢，物体A的速度改变变慢，即aA减小，故TA逐渐减小，选项D 正确。

图9

答案:CD

问题1:轻绳连接的两物体瞬时速度大小相等吗?

原理分析:为了研究方便，假设物体A和物体B开始时分别处于位置A和位置B，令经过一段时间Δt，物体A和物体B分别运动到图10 中的A1和B1位置，设该段时间内，物体A和物体B的位移分别为xA和xB。以O点为圆心，以OB长为半径画圆弧BB2交OB1于B2点。

图10

位移大小关系:轻绳不能伸长，根据几何关系得xA=xB//，xB＞xB//。

原因分析:物体A和物体B在相等时间内的位移、速度大小不等的根本原因是物体B沿垂直于轻绳方向发生了转动。

结论1:轻绳连接的两物体沿绳方向的瞬时速度大小一定相等，即vA//=vB//。

问题2:轻绳连接的两物体沿绳方向的瞬时加速度大小相等吗?

原理分析:物体A做加速运动，对物体A应用牛顿第二定律得TA-mg=maA，其中aA＞0。物体B做匀速直线运动，物体B受到重力Mg，拉力F，轻绳拉力T，地面摩擦力和支持力作用，处于平衡状态。如图11所示，以水平方向为x轴，竖直方向为y轴，将轻绳的拉力T正交分解，则F=f+Tcosα，N+Tsinα=Mg，其中f=μN。如图12所示，以沿绳方向为x轴，垂直于绳方向为y轴，设物体B沿绳方向的加速度为aB//，则(Mg-N)sinα+(F-f)cosα-T=MaB//。联立以上各式解得aB//=0。因此aA≠aB//。

图11

图12

结论2:轻绳连接的两物体沿绳方向的瞬时加速度大小不一定相等。

问题3:什么条件下轻绳连接的两物体沿绳方向的瞬时加速度大小一定相等?

原理分析:因为轻绳连接的物体沿垂直于绳方向有转动造成了两物体位移、速度大小不等，所以当轻绳连接的两物体沿垂直于绳方向上均没有转动，即两物体都只在沿绳方向上运动时，两物体沿绳方向的位移、瞬时速度、瞬时加速度大小一定相等。

结论3:当轻绳连接的两物体沿垂直于绳方向上没有转动，即两物体都只在沿绳方向上运动时，两物体沿绳方向的瞬时加速度大小和瞬间速度大小一定相等。

练习1:如图13 所示，一根轻绳跨过光滑轻质定滑轮，两端分别系在物体A、B上，物体A的质量M1=2 kg，物体B的质量M2=1 kg，初始状态下物体A离地高度H=0.5 m。将物体A与B由静止开始释放，取重力加速度g=10 m/s2，则物体A由静止下落0.3 m 时的速度为( )。

图13

C.2 m/s D.1 m/s

答案:A 提示:将物体A与B由静止开始释放后，物体A竖直下落，物体B竖直上升，均只沿绳方向运动，因此两物体的瞬间加速度大小、运动时间、瞬时速度大小均相等。对由两物体组成的系统应用机械能守恒定律得，解得。

问题4:既然物体B做匀速直线运动，加速度aB=0，为什么物体B沿绳方向和垂直于绳方向的速度都在发生变化?

原理分析:将物体B在B点和B1点的速度vB、vB1沿绳方向和垂直于绳方向进行分解，并将vB1及其分量平移到B点，如图14所示。从vB//矢量的末端向vB1//矢量的末端引有向线段，即ΔvB//;从vB⊥矢量的末端向vB1⊥矢量的末端引有向线段，即ΔvB⊥。利用数学知识易证ΔvB//=ΔvB⊥，方向相反。根据牛顿第二定律得，方向相反，同时其瞬时加速度也应等大反向，其矢量和为零，即aB=0。

图14

结论4:物体B的匀速直线运动可以看成是这样的两个分运动的合运动，即一个为沿绳方向的加速运动和另一个沿垂直于绳方向的减速运动(其初速度矢量和为vB)，而且两个分运动的加速度始终大小相等，方向相反(但两个分运动的加速度方向与相应的速度方向不在同一条直线上)。

问题5:轻绳对由其连接的两运动物体做功的代数和为多少? 为什么轻绳连接的两物体组成的系统只有重力做功时系统的机械能守恒?

原理分析:将两物体的速度分别分解在垂直于绳和平行于绳的方向上，则轻绳的拉力对每个物体做功的瞬间功率大小均为P=Tv//。因为轻绳对两物体的拉力大小始终相等且与绳在同一条直线上，同时两物体沿绳方向的速度大小相等，所以轻绳对两物体做功的瞬间功率必然大小相等且互为相反数，即轻绳对两物体做功的代数和一定为零。通过轻绳对物体做功，实现了机械能在物体间的转移，故每个单一物体的机械能都不守恒。如果轻绳连接的物体系统外只有重力做功，那么系统的机械能一定守恒。

结论5:轻绳对由其连接的两运动物体做功的代数和一定为零。轻绳连接的两物体组成的系统在只有重力做功的情况下，系统的机械能一定守恒。

练习2:如图15 所示，绕过光滑轻质定滑轮的一根轻绳两端分别连接物块A和B，物块B的下面通过轻绳连接物块C，已知物块B和C的质量均为m，物块A的质量为，物块B和C之间的轻绳长度为L，初始时物块C离地的高度也为L。最初物块A锁定在地面上，现解除对物块A的锁定，三个物块开始运动。假设三个物块均可视为质点，落地后不反弹，重力加速度大小为g。求:

图15

(1)物块A刚上升时的加速度大小a。

(2)物块A上升过程中的最大速率vmax。

(3)物块A离地的最大高度H。

答案:(1);(2);(3)。提示:(1)解除对物块A的锁定后，物块A加速上升，物块B和C加速下降，加速度大小a相等。设轻绳对物块A和B的拉力大小为T，根据牛顿第二定律，对物块A有，对由物块B和C组成的系统有(m+m)g-T=(m+m)a，解得。(2)物块C落地后，物块A的重力大于物块B的重力，物块A减速上升，所以当物块C刚着地时，物块A的速度最大。从物块A刚开始上升到物块C刚着地的过程中，根据机械能守恒定律得，解得。(3)假设物块C落地后物块A继续上升h时速度为零，此时物块B未触及地面，根据机械能守恒定律得，解得。因为，物块B不会触地，假设成立，所以物块A离地的最大高度。

总之，以轻绳为载体，可以有效地把力学主要知识点串联在一起。同学们在复习备考过程中，将轻绳连接体问题归纳整理在一起，从宏观视觉对知识加以把控，让知识融会贯通，可以达到复习一类掌握全部相关知识的目的。