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复数易错剖析

2015-03-16刘族刚

高中生学习·高二版 2015年1期
关键词:虚数对应点易错

刘族刚

当数集扩充到复数集之后,很多内容得到了完善,一些在实数范围内无法解决的问题也可以顺利地得到解决. 由于对复数的概念理解不透彻、盲目类比实数的一些性质和运算法则等,往往容易陷入“雷区”.

易错1  复数的有关概念理解不清

例1  下面命题中正确的命题有     个.

(1)两个共轭复数的差是纯虚数

(2)若[z∈C],则[z2≥0]

(3)若[z1,z2∈C,]且[z1-z2>0],则[z1>z2]

(4)若[a>b],则[a+i>b+i]

错解  4

分析  (1)当得到[z-z=2bi]时就认为是纯虚数,忽略了[b]可以为0的情况.

(2)认为任何一个实数的平方大于等于0可以推广到复数中.

(3)认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中.

(4)把不等式性质错误地推广到复数中,忽略不等式是在实数中成立的前提条件.

正解  (1)错误. 设互为共轭复数的两个复数分别为[z=a+bi]及[z=a-bi][(a,b∈R)].

则[z-z=2bi]或[z-z=-2bi].

当[b≠0]时,[z-z,z-z]是纯虚数.

当[b=0]时,[z-z=0,z-z=0].

(2)错误. 反例,设[z=i],则[z2=i2=-1<0].

(3)错误. 反例,设[z1=3+i,z2=2+i],

满足[z1-z2=1>0]但[z1,z2]不能比较大小.

(4)错误. [∵a>b,∴a,b∈R].

故[a+i,b+i]都是虚数,不能比较大小.

故正确的命题是0个.

点拨  看清命题的条件和结论,准确理解与记忆复数的有关概念与性质.

易错2  复数相等的条件应用出错

例2  已知[x]是实数,[y]是纯虚数,且满足[(2x-1)+i=y-(3-y)i],求[x]与[y]的值.

错解  根据复数相等的充要条件,可得[2x-1=y,1=-(3-y),]解得[x=52,y=4.]

分析  误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解.

正解  根据已知条件x是实数,y是纯虚数,可设y=bi([b∈R,b≠0]),

代入关系式[(2x-1)+i=y-(3-y)i],

整理得,[(2x-1)+i=-b+(b-3)i].

根据复数相等的充要条件,可得[2x-1=-b,1=b-3,]

解得[x=-32,b=4,]则[x=-32,y=4i.]

点拨  在[a,b,c,d∈R]的条件下,[a+bi=c+di?a=c][且b=d].

易错3  方程有解的条件判断出错

例3  已知关于[x]的方程[x2+(k+2i)x+2+ki=0]有实数根,求实数[k]应满足的条件.

错解  由方程有实数根得,

[Δ=(k+2i)2-4(2+ki)≥0],

解得[k≥23]或[k≤-23].

分析  误用系数为实数情况下方程有根的充要条件[Δ≥0]. 方程有实数根时,可把实数根[x=x0]代入方程整理成复数的标准形式,再根据复数相等的充要条件解出[x0]和[k]的值即可.

正解  设[x=x0]是方程的实数根,代入方程并整理得[(x02+kx0+2)+(2x0+k)i=0],

由复数相等的充要条件得,

[x02+kx0+2=0,2x0+k=0,]

解得[x0=-2,k=22,]或[x0=2,k=-22.]

点拨  复数方程有实根(或纯虚根)时,一般可以通过设元求解.

易错4  应用复数几何意义出错

例4  若[zz-1]为纯虚数,则复数[z]所对应的复平面内的点[Z]对应的轨迹是什么?

错解1  设[zz-1=bi(b∈R,b≠0),]

则[z=zbi-bi],有[z=-bi1-bi=-bi(1+bi)(1-bi)(1+bi)][=b2-bi1+b2],

由于[b]的取值不确定,因此无法确定复数[z]所对应的复平面内的点[Z]对应的轨迹.

错解2  设[z=x+yi(x,y∈R)],

由于[zz-1=x+yix-1+yi=(x+yi)(x-1-yi)(x-1+yi)(x-1-yi)]

[=x(x-1)+y2-yi(x-1)2+y2],

而[zz-1]为纯虚数,则有[x(x-1)+y2(x-1)2+y2=0,]

即[x(x-1)+y2=0,]整理得[(x-12)2+y2=14].

所以复数[z]所对应的复平面内的点[Z]的轨迹是以[(12,0)]为圆心,[12]为半径的圆.

分析  错解1是因为对参数方程的认识不到位,又受到复数[z]的复杂形式的影响. 而错解2的整体思路是对的,但分析在于忽略了复数[z=a+bi]([a,b∈R])是纯虚数的充要条件是[a=0]且[b≠0].

正解  由于[zz-1=x+yix-1+yi=(x+yi)(x-1-yi)(x-1+yi)(x-1-yi)][=x(x-1)+y2-yi(x-1)2+y2],

而[zz-1]为纯虚数,则有[x(x-1)+y2(x-1)2+y2=0,-y(x-1)2+y2≠0,]

即[x(x-1)+y2=0,y≠0.]

整理可得[(x-12)2+y2=14(y≠0)].

所以复数[z]所对应的复平面内的点[Z]对应的轨迹是以[(12,0)]为圆心,半径为[12]的圆[去掉点[(0,0)]和[(1,0)]].

点拨  根据纯虚数的形式特征或性质求解复数问题,是一类比较典型的题目.注意:复数[z=a+bi(a,b∈R)]是纯虚数[?a=0且b≠0].

易错5  复数的“模”与“绝对值”混淆出错

例5  解不等式[z2-3z+2<2z-1(z∈C)].

错解  原不等式[?z-2z-1<2z-1]

[?z-1(z-2-2)<0].

[∵z-1≥0,∴z-2<2.]

[∴-2

分析  这种解法的错误在于未注意到“在复数集中,任意两个不全为实数的复数不能比较大小”,错误的原因是把实数中绝对值的性质“[x0)]”生搬硬套到复数模中.

正解  原不等式[?z-2z-1<2z-1]

[?z-1(z-2-2)<0.]

[∵z-1≥0, ∴z-2<2]且[z≠1].

其解为以点[(2,0)]为圆心,2为半径的圆内部,且去除点[(1,0)].

点拨  复数的模是一个实数,可以参加实数的任何运算,但是复数并不一定都能比较大小,所以不能由[z-2<2]得到[-2

易错6  参数的范围限制挖掘不透出错

例6  已知[a∈R],则复数[z=(a2-2a+4)-][(a2-2a+2)i]所对应的点的轨迹是什么?

错解  设[z=x+yi(x,y∈R)],

则[x=a2-2a+4,y=-(a2-2a+2),]

消去[a2-2a]得,[y=-x+2.]

即复数[z]对应点的轨迹是直线[y=-x+2].

分析  求复数[z]对应点的轨迹问题,首先设[z=x+yi(x,y∈R)]的形式,然后寻求[x, y]之间的关系. 上述错解的整体思路是对的,但是在消参过程中没有注意到[x, y]的范围出错.

正解  设[z=x+yi(x,y∈R)],

则[x=a2-2a+4,y=-(a2-2a+2),]

消去[a2-2a]得,[y=-x+2.]

即复数[z]对应点的轨迹是直线[y=-x+2].

又因为[x=a2-2a+4=(a-1)2+3≥3],

所以复数[z]对应点的轨迹是射线[y=-x+2][(x≥3)].

点拨  注意挖掘题目中隐含的条件,在含参问题的解答中要考虑参数引起的范围限制.

易错7  根的虚实与复数模

例7  已知关于[x]的方程[x2+x+a=0]的两根为[x1,x2],若[x1-x2=2],求实数[a]的值.

错解  由根与系数的关系得,[x1+x2=-1,x1x2=a].

又[x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2=1-4a=2],

所以[a=-34].

分析  在实数范围内成立的结论[z=z2]在复数范围内不一定成立,要分根的虚实讨论.

正解  由根与系数的关系得[x1+x2=-1,x1x2=a].

(1)当[Δ=1-4a≥0],即[a≤14]时,[x1,x2]为实数,

[x1-x2=(x1+x2)2-4x1x2=1-4a=2],

所以[a=-34.]

(2)当[Δ=1-4a<0],即[a>14]时,[x1,x2]为共轭虚数,

由[x1-x2=2]知,[x1,x2]的虚部为[±i],

再由[x1+x2=-1]可得,[x1,x2]的实部为[-12],

则[a=x1x2=54].

综上得[a=-34]或[a=54].

点拨  实系数二次方程若无实根,则虚根成对共轭出现. 另外,含参问题一般要分类讨论.

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