复数易错剖析
2015-03-16刘族刚
刘族刚
当数集扩充到复数集之后，很多内容得到了完善，一些在实数范围内无法解决的问题也可以顺利地得到解决. 由于对复数的概念理解不透彻、盲目类比实数的一些性质和运算法则等，往往容易陷入“雷区”.
易错1 复数的有关概念理解不清
例1 下面命题中正确的命题有 个.
（1）两个共轭复数的差是纯虚数
（2）若[z∈C]，则[z2≥0]
（3）若[z1，z2∈C，]且[z1-z2>0]，则[z1>z2]
（4）若[a>b]，则[a+i>b+i]
错解 4
分析 （1）当得到[z-z=2bi]时就认为是纯虚数，忽略了[b]可以为0的情况.
（2）认为任何一个实数的平方大于等于0可以推广到复数中.
（3）认为两个实数之差大于0等价于前一个实数大于后一个实数可推广到复数中.
（4）把不等式性质错误地推广到复数中，忽略不等式是在实数中成立的前提条件.
正解 （1）错误. 设互为共轭复数的两个复数分别为[z=a+bi]及[z=a-bi][（a，b∈R）].
则[z-z=2bi]或[z-z=-2bi].
当[b≠0]时，[z-z，z-z]是纯虚数.
当[b=0]时，[z-z=0，z-z=0].
（2）错误. 反例，设[z=i]，则[z2=i2=-1<0].
（3）错误. 反例，设[z1=3+i，z2=2+i]，
满足[z1-z2=1>0]但[z1，z2]不能比较大小.
（4）错误. [∵a>b，∴a，b∈R].
故[a+i，b+i]都是虚数，不能比较大小.
故正确的命题是0个.
点拨 看清命题的条件和结论，准确理解与记忆复数的有关概念与性质.
易错2 复数相等的条件应用出错
例2 已知[x]是实数，[y]是纯虚数，且满足[（2x-1）+i=y-（3-y）i]，求[x]与[y]的值.
错解 根据复数相等的充要条件，可得[2x-1=y，1=-（3-y），]解得[x=52，y=4.]
分析 误把等式两边看成复数标准的代数形式加以求解.
正解 根据已知条件x是实数，y是纯虚数，可设y=bi（[b∈R，b≠0]），
代入关系式[（2x-1）+i=y-（3-y）i]，
整理得，[（2x-1）+i=-b+（b-3）i].
根据复数相等的充要条件，可得[2x-1=-b，1=b-3，]
解得[x=-32，b=4，]则[x=-32，y=4i.]
点拨 在[a，b，c，d∈R]的条件下，[a+bi=c+di?a=c][且b=d].
易错3 方程有解的条件判断出错
例3 已知关于[x]的方程[x2+（k+2i）x+2+ki=0]有实数根，求实数[k]应满足的条件.
错解 由方程有实数根得，
[Δ=（k+2i）2-4（2+ki）≥0]，
解得[k≥23]或[k≤-23].
分析 误用系数为实数情况下方程有根的充要条件[Δ≥0]. 方程有实数根时，可把实数根[x=x0]代入方程整理成复数的标准形式，再根据复数相等的充要条件解出[x0]和[k]的值即可.
正解 设[x=x0]是方程的实数根，代入方程并整理得[（x02+kx0+2）+（2x0+k）i=0]，
由复数相等的充要条件得，
[x02+kx0+2=0，2x0+k=0，]
解得[x0=-2，k=22，]或[x0=2，k=-22.]
点拨 复数方程有实根（或纯虚根）时，一般可以通过设元求解.
易错4 应用复数几何意义出错
例4 若[zz-1]为纯虚数，则复数[z]所对应的复平面内的点[Z]对应的轨迹是什么？
错解1 设[zz-1=bi（b∈R，b≠0），]
则[z=zbi-bi]，有[z=-bi1-bi=-bi（1+bi）（1-bi）（1+bi）][=b2-bi1+b2]，
由于[b]的取值不确定，因此无法确定复数[z]所对应的复平面内的点[Z]对应的轨迹.
错解2 设[z=x+yi（x，y∈R）]，
由于[zz-1=x+yix-1+yi=（x+yi）（x-1-yi）（x-1+yi）（x-1-yi）]
[=x（x-1）+y2-yi（x-1）2+y2]，
而[zz-1]为纯虚数，则有[x（x-1）+y2（x-1）2+y2=0，]
即[x（x-1）+y2=0，]整理得[（x-12）2+y2=14].
所以复数[z]所对应的复平面内的点[Z]的轨迹是以[（12，0）]为圆心，[12]为半径的圆.
分析 错解1是因为对参数方程的认识不到位，又受到复数[z]的复杂形式的影响. 而错解2的整体思路是对的，但分析在于忽略了复数[z=a+bi]（[a，b∈R]）是纯虚数的充要条件是[a=0]且[b≠0].
正解 由于[zz-1=x+yix-1+yi=（x+yi）（x-1-yi）（x-1+yi）（x-1-yi）][=x（x-1）+y2-yi（x-1）2+y2]，
而[zz-1]为纯虚数，则有[x（x-1）+y2（x-1）2+y2=0，-y（x-1）2+y2≠0，]
即[x（x-1）+y2=0，y≠0.]
整理可得[（x-12）2+y2=14（y≠0）].
所以复数[z]所对应的复平面内的点[Z]对应的轨迹是以[（12，0）]为圆心，半径为[12]的圆[去掉点[（0，0）]和[（1，0）]].
点拨 根据纯虚数的形式特征或性质求解复数问题，是一类比较典型的题目.注意：复数[z=a+bi（a，b∈R）]是纯虚数[?a=0且b≠0].
易错5 复数的“模”与“绝对值”混淆出错
例5 解不等式[z2-3z+2<2z-1（z∈C）].
错解 原不等式[?z-2z-1<2z-1]
[?z-1（z-2-2）<0].
[∵z-1≥0，∴z-2<2.]
[∴-2 分析 这种解法的错误在于未注意到“在复数集中，任意两个不全为实数的复数不能比较大小”，错误的原因是把实数中绝对值的性质“[x 正解 原不等式[?z-2z-1<2z-1] [?z-1（z-2-2）<0.] [∵z-1≥0， ∴z-2<2]且[z≠1]. 其解为以点[（2，0）]为圆心，2为半径的圆内部，且去除点[（1，0）]. 点拨 复数的模是一个实数，可以参加实数的任何运算，但是复数并不一定都能比较大小，所以不能由[z-2<2]得到[-2 易错6 参数的范围限制挖掘不透出错 例6 已知[a∈R]，则复数[z=（a2-2a+4）-][（a2-2a+2）i]所对应的点的轨迹是什么？ 错解 设[z=x+yi（x，y∈R）]， 则[x=a2-2a+4，y=-（a2-2a+2），] 消去[a2-2a]得，[y=-x+2.] 即复数[z]对应点的轨迹是直线[y=-x+2]. 分析 求复数[z]对应点的轨迹问题，首先设[z=x+yi（x，y∈R）]的形式，然后寻求[x， y]之间的关系. 上述错解的整体思路是对的，但是在消参过程中没有注意到[x， y]的范围出错. 正解 设[z=x+yi（x，y∈R）]， 则[x=a2-2a+4，y=-（a2-2a+2），] 消去[a2-2a]得，[y=-x+2.] 即复数[z]对应点的轨迹是直线[y=-x+2]. 又因为[x=a2-2a+4=（a-1）2+3≥3]， 所以复数[z]对应点的轨迹是射线[y=-x+2][（x≥3）]. 点拨 注意挖掘题目中隐含的条件，在含参问题的解答中要考虑参数引起的范围限制. 易错7 根的虚实与复数模 例7 已知关于[x]的方程[x2+x+a=0]的两根为[x1，x2]，若[x1-x2=2]，求实数[a]的值. 错解 由根与系数的关系得，[x1+x2=-1，x1x2=a]. 又[x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=1-4a=2]， 所以[a=-34]. 分析 在实数范围内成立的结论[z=z2]在复数范围内不一定成立，要分根的虚实讨论. 正解 由根与系数的关系得[x1+x2=-1，x1x2=a]. （1）当[Δ=1-4a≥0]，即[a≤14]时，[x1，x2]为实数， [x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=1-4a=2]， 所以[a=-34.] （2）当[Δ=1-4a<0]，即[a>14]时，[x1，x2]为共轭虚数， 由[x1-x2=2]知，[x1，x2]的虚部为[±i]， 再由[x1+x2=-1]可得，[x1，x2]的实部为[-12]， 则[a=x1x2=54]. 综上得[a=-34]或[a=54]. 点拨 实系数二次方程若无实根，则虚根成对共轭出现. 另外，含参问题一般要分类讨论.
