y=a1x2+b1+c1/a2x2+b2+c2（a1，a2不同时为零）值域的求法探讨

朱鸿

【关键词】函数 值域

【中图分类号】O119 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）01-0117-02

比较多，但这些方法的出现往往都是为了应用函数的某个性质或知识点的需要，如函数的单调性、基本不等式等，比较凌乱，缺乏系统性。在什么情况下用什么方法比较好，在什么情况下那些方法不能用，没有进一步探讨和甄别，结果出现情况发生了改变，而仍然沿用某个方法，导致结果错误. 下面本人就求解这类函数值域问题，略作探讨。

一、判别式法

当函数的定义域是由函数本身确定，没有任何人为的限制，这时用判别式法比较好。

的形式，此时可把方程（2）看作关于的一元二次方程。因为函数的定义域不为空集，所以方程（2）有实数根，因此判别式

△[b（y）]2-4a（y）c（y）≥0 （3）

解不等式（3），记所得到的y的取值范围为M.那么M是否为函数（1）的值域？关键要看从函数（1）变形到方程（2）是否为同解变形，自变量x的取值范围是否扩大或缩小，方程（2）解的讨论是否影响y的取值范围？下面就这个问题分情况进行讨论。

1.当函数的定义域是R，即对任意实数x，a2x2+b2x+c2≠0时，从函数（1）变形到方程（2）是同解变形。

显然x=x0不是方程（2）的解。所以，从函数（1）变形到方程（2）也是同解变形。

即在定义域的这两种情况下，从函数（1）变形到方程（2），自变量的取值范围没发生变化，不会影响y的取值范圍，那么再看方程（2）解的讨论是否会对y的取值范围产生影响。

（I）若对于任意的y∈M，有a（y）≠0，由一元二次方程根判别式可知，方程（2）有实根与不等式（3）是互为充要条件，对y的取值范围没影响，所以函数（1）的值域是M。

（II）若存在y0∈M，使a（y0）=0，此时方程（2）是关于的一次方程：

b（y0）x+c（y0）=0 （4）

若[b（y0）]2-4a（y0）c（y0）>0，则b（y0）≠0，方程（4）有解，对y取值范围没影响，所以函数（1）的值域是M。

若[b（y0）]2-4a（y0）c（y0）=0，则b（y0）=0，此时，当c（y0）=0时，方程（4）恒成立，显然有解，对y的取值范围没影响，所以函数（1）的值域是M。当c（y0）≠0时，方程（4）无解，这时y0不是函数（1）的函数值，所以函数（1）的值域是M中剔除y0所得的集合。

综上讨论，有下面结论：

解∵ x2+x+1>0

∴函数的定义域为R

将原函数变形，得

（y-1）x2+（y+1）x+y+1=0

当y≠1时，因为函数的定义域不为空集，所以，上面方程有解，因此

△=（y+1）2-4（y-1）2≥0

解∵x2-x-2≠0

∴x≠-1且x≠2

∴函数的定义域为{x∈R|x≠-1且x≠2}，并且x=-1或x=2时，分子x+4≠0

将原函数变形，得

yx2-（y+1）x-（2y+4）=0

当y≠0时，因为函数的定义域不为空集，所以，上面方程有解，因此

△=（y+1）2+8y（y+2）≥0

当y=0时，解得x=-4，且-4∈{x∈R|x≠-1且x≠2}

所以函数的值域为