识图 析图 明图

查萍伟++朱宸材

[摘 要] 教学经验告诉我们，如果对问题的背景或图形稍作演变，许多学生就会无所适从. 许多实例也表明：在讲解时教师直接把自己的解题思路灌输给学生，就题论题，对一些学生薄弱的地方没有进行深入地思考，处理方法单一，缺乏演变，再加上学生参与不够，这样的课堂就会变得枯燥无味，只有透析图形本质，深入思考，实现多题归一，很多问题才能迎刃而解.

[关键词] 识图；析图；明图

大发明家爱迪生曾经说过：“如果一个人不下决心去思考，他就会失去生活的乐趣——创造.”作为数学老师，我们教会学生的不仅仅是解几道数学难题，掌握几种解题的妙招，更应注重带领学生透过现象看本质，抓住问题的精髓. 近几年，利用对称性求最值是各地中考的一个热点，下面，笔者就以中考复习“利用对称性求最值”这一堂课为例，简单谈谈解决此类问题的一些理解和思考.

识图

基础知识是学习中一个最基本、也最重要的部分；是影响学生深入学习的主要因素. 基础知识掌握得不好，在学习此基础上的拓宽知识就不容易接受，更谈不上对新知识产生强烈的求知欲和浓厚的兴趣，学生的主动性就得不到很好的发挥，这样，创新思维能力也就跟着变成无源之泉、无本之木.

在数学课中，不管教学设计有多么新颖，笔者觉得还是以抓住基础知识为主. 但在数学课的基础练习设计中，绝不能简单地罗列几个知识点或举几个常见的例题，只有拓宽基础知识，才能使学生通过数学课对知识的灵活应用有进一步的提高.

课本原题 （苏科版七年级下册）如图1所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B区到它的距离之和最短？

分析 动点P如何选取才能使其到定点A，B的距离之和最短？学生很容易利用对称性及“两点之间线段最短”（三角形两边之和大于第三边）的原理找到. 是否真正掌握这一基本图形，关键是看：（1）学生能否找到两定点、一定直线；（2）作其中一定点关于定直线的对称点；（3）连结直线两侧的点，交定直线于一点；（4）此点即为所求点. 在学习此基础之上能否对点的位置、定直线，以及线段之间的和、差、最大、最小进行拓宽呢？

改编1 已知：如图2所示，A，B两点在直线l的同侧，点A′与点A关于直线l对称，连结A′B交l于点P，若A′B=a.

（1）求AP+PB；

（2）若点M是直线l上异于点P的任意一点， 求证：AM+MB>AP+PB.

分析 （1）此题与课本原型变化不大，只是字母与位置稍加变化，大多数学生立马能口答出来，且信心十足.（2）解此类题时往往不需要学生做出证明. 而实质上，有一部分学生只是死做题而不知为什么，导致在考试时稍加变化，就算是同一类型也突破不了. 所以，与其让他们囫囵吞枣，不如让他们完整地书写一遍，把基础知识、基本原理弄得更透彻.

改编2 已知：A，B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M.

（1）如图3所示，在l上求作一点M，使得AM-BM最小；

（2）如图4所示，在l上求作一点M，使得AM-BM最大；

分析 对于此题，一看便与课本原型变化很大，所以当学生读完题后，可让学生讲解此题与上一题的区别.

生1：原来是线段和，现在变成了线段差.

生2：且有最大、最小之分.

师：那图形变了没有？有哪些已知条件？

师：最小，小到几？最大，大到几？讨论并解决.

（问题一提出，又一次激起了学生的讨论，既使课堂产生了有效地思维互动，又达到了“以一当十”“以少胜多”的目的，在不断地补充修改之中，最终得出答案）

师：（1）当所求点为线段AB的垂直平分线与l的交点时，AM-BM最小，且最小值为0.

（2）AM-BM=AB，原理：三角形两边之差小于第三边.

（合作学习体现了以学生为主体的新课程教学理念，在培养学生合作交际能力的同时，通过合作学习不仅能解决自己不能单独突破的问题，还能拓宽思维，培养创新意识，大大提高他们的解题能力）

师：（1）中的绝对值能否去掉？（2）中的绝对值呢？

（思维应具有一定的广度和深度，只有多质疑、多总结、多反思，学到的知识才更丰富、更扎实. 一个简单的基础知识拓宽到2个例题，设计中由线段和到线段差，由最大值到最小值，深入地思考，通过变式等手段，加深了学生对概念内涵和外延的深层次理解）

析图

中学生对于单一的数学知识易于理解和运用，却总害怕所学知识之间的综合运用，因为他们缺乏知识间的整合意识，这就更需要我们带领学生透析图形的本质，抓住问题的关键.

改编3 如图5所示，点A，B，C在直线l的同侧，在直线l上求作一点P，使得四边形APBC的周长最小.

题目一出，学生马上注意到：两点变成了三点，线段距离之和变成了四边形周长最小.

老师不做讲解，鼓励学生在相互讨论中解决.

（灵动的课堂应是师生共同设疑、释疑、解疑的过程，这几个简单的问题是以基本图形进行展开的，它们可以引领课堂思维有序地设问情境，可以引领课堂思维有效展开，并随时调节课堂气氛，促进师生、生生之间的情感与思维互动）

改编4 如图6所示，已知线段a，点A，B在直线l同侧，在直线l上，求作两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ=a，使四边形APQB的周长最小.

题目一出，学生再一次感叹：虽然还是两定点一定直线，但要求的是两动点，难度明显上了一个台阶. 看得出有部分学生害怕，于是教师首先要做的是克服他们的畏惧心理，并大胆鼓励，与基础题作比较. 这个题由于对学生的要求较高，所以我不再让学生合作解答，而换成师生合作、互相补充，由三角形到四边形，由一个动点到两个动点，由一次对称到两次对称，层层递推，深入思考. 通过变式等手段，不仅能有效地解决这一难题，使学生渡过难关，还可以加深学生对概念内涵和外延的更深层次理解（答案如图7所示）.endprint

明图

利用对称的基本图形求极值很简单，单独考查有局限性，它往往要通过对几何图形的形状、位置、大小等各种非本质属性的变化，结合函数背景，考查学生能否透过外部表象认清几何图形的本质特征，全方位地思考问题.

最值的求解是各地中考考查的重点也是难点，题目千变万化，若能透析图形本质，认识庐山真面目，不难发现，大都是由一些常见的典型题加以变式而来. 明确了以上内容，下面以一个中考中的实际问题来进一步说明.

问题 （1）观察发现：如图8所示，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小.

（2）如图9所示，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小.

（3）实践运用：如图10所示，已知⊙O的直径CD为4，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.

（4）拓展延伸：如图11所示，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD，保留作图痕迹，不必写出作法.

分析 （1）直接用前面学到的结论即可. （2）由于等边三角形是极其特殊的三角形，所以根据勾股定理可以求出CE的长度. （3）首先求出点P的位置，再结合圆周角等性质，求出最短距离. （4）从（2）（3）可以得出，应由轴对称来解决，找点B关于AC的对称点E，连结DE并延长交AC于点P，此时的点P即为所求（如图12所示）. 点无论在三角形的边上，还是在圆周上，或是一般四边形，透析本质：两定点，一定线，通过对称求出动点位置，就能转化成两点之间线段最短来求解.

写在最后

本节课从最小值到最大值，从线段和到线段差，拓宽了求最值问题，开拓了学生的视野，设计由易到难，且结合了各种几何背景加以变化形成了一定的层次，循序渐进. 在解题时强调，必须概括出各题中共同的、本质的东西，以达到由一题向另一题的迁移，给人以新鲜感，能够唤起学生的好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情. 可见，学生的思维互动是构建灵动课堂的关键，这就要求教师不仅要关注教材本身，更要关注图形本质，需要教师大胆放手，敢于创新，灵活运用教学方法，为学生提供一个广阔的空间，实现多题归一. 要相信学生的潜力是无限的，这样，学生将带给你一个个意想不到的惊喜.endprint