美国中学数学教学中的数学文化活动

林佳乐，汪晓勤

（华东师范大学 数学系，上海 200241）

美国中学数学教学中的数学文化活动

林佳乐，汪晓勤

（华东师范大学 数学系，上海 200241）

摘要：美国《数学教师》杂志2007—2012年发表的数学文化活动类论文（不包括数学史）涉及数学与自然科学、数学与文学、数学与艺术、数学与社会科学、数学与建筑、数学与生活、数学与游戏、数学与体育8类主题.这些主题具有选题丰富、与时俱进、以问题解决为导向、以学生为中心、以信息技术为辅助工具等特点.美国中学数学课堂中的数学文化活动在数学文化本身的研究、数学文化活动的创设、活动形式的多样、合作研究模式的建立等方面可供借鉴.

关键词：数学文化；活动；特点；启示

1　引 言

这里所说的“数学文化”是指数学与人类其他知识领域之间的联系.早在20世纪50年代，美国著名数学家和数学教育家M·克莱因（M. Kline, 1908—1992）就将“数学文化”作为数学课程的四原则之一：“知识是一个整体，数学是这个整体的一部分.每一个时代的数学都是这个时代更广阔的文化运动的一部分.我们必须将数学与历史、科学、哲学、社会科学、艺术、音乐、文学、逻辑学以及与所讲主题相关的别的学科联系起来.我们必须尽可能地组织材料，使数学的发展与我们的文明和文化的发展联系起来.”[1]中国普通高中数学课程标准遵循了M·克莱因的上述文化原则，将“体现数学的文化价值”作为课程基本理念之一：“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神.数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观.为此，高中数学课程提倡体现数学的文化价值，并在适当的内容中提出对‘数学文化’的学习要求.”[2]

目前，数学文化的教育价值在中国已经广为人知，很多高等院校纷纷开设数学文化课程，中学数学文化校本课程也悄然兴起，数学文化融入数学课堂教学已成为数学教育研究中的热门课题.然而，教师在数学文化课程建设和数学文化融入数学教学的实践中，普遍感到理想的数学文化素材还不够丰富；在数学文化与数学教育关系的研究中，讨论“为何”的较多，而探索“如何”却很少；而数学文化本身的研究更不多见.

美国数学教师理事会的刊物《数学教师》（Mathematics Teacher）创刊于1908年，是一本面向中小学数学教育的刊物，创刊的早期即关注数学文化和数学史，在美国中小学数学教师界有着广泛的影响.那么，《数学教师》近年来发表的数学文化方面的论文涉及哪些主题？美国数学教师如何在课堂教学中实施数学文化活动？有何特点？为了回答上述问题，研究者对该刊2007—2012年间所发表的有关论文（不包括数学史方面的论文）进行统计和分析，希望能为中国的中小学数学教师提供有用的数学文化素材，并为数学文化融入中小学数学教学提供借鉴.

文中的“活动”指的是围绕某一主题、由学生参与、为解决问题而设计的教学活动，具体形式包括动手操作、小组讨论、小组报告等.

2　《数学教师》上的数学文化内容

研究对2007—2012年间的数学文化方面的145篇论文进行分析，发现它们分属专题研究和教学活动两大类.其中，专题研究是对某个数学文化主题的探讨，作者没有提到有关主题在教学上的运用，共25篇.教学活动是作者设计的以数学文化为主题的活动，共120篇，绝大多数已在课堂上实施.图1给出了数学文化教学活动类论文在历年的数量分布情况.

图1　《数学教师》历年发表的数学文化论文数（2007—2012）

从图1可见，《数学教师》十分重视数学文化教学活动，且近年来的文章数量呈稳定的态势.

120篇论文共涉及8类数学文化主题：（1）数学与自然科学；（2）数学与文学；（3）数学与艺术；（4）数学与社会科学；（5）数学与建筑；（6）数学与生活；（7）数学与游戏；（8）数学与体育.以下分别对其进行介绍.

2.1数学与自然科学

2.1.1 数学与地理

McGivney-Burelle等设计了关于纬度和温度关系的探究活动[3].100名中学生参与活动.先让学生讨论如何确定地球上任一点的纬度以及纬度和温度之间的关系，利用所收集的数据，画出拟合线，并利用该曲线进行预测，最后对数学模型进行修正.整个活动中，学生既体会到地理与数学之间的联系，也提高了数据收集和处理的能力.

Rubel等设计了地图绘制活动[4].教师让学生利用比例、变换、度量等知识学习地图（包括世界、美国、地区和当地4类地图）的绘制.其中一个环节是利用地图对当地社区进行考察.两名教师带领一组学生带着特定的问题走进社区，根据地图信息找出该地区的人口组成、资源、面临的挑战等.通过此活动，学生利用数学知识解决实际问题的能力得到了提高.

2.1.2 数学与天文

Perham等设计了地球和火星轨道的探索活动[5].活动中，教师利用一些已知数据，引导学生确定火星的轨道形状、周期、与太阳的平均距离、运行速度等.

2.1.3 数学与物理

Bryan让学生参与热气球飞行活动，每次飞行时间约为30~45分钟.在气球上，学生每隔一定时间记录温度和高度.回到课堂中，学生们以各种形式交流、分享各自收集的数据.根据时间、温度和高度的数据，确定时间——温度与时间——高度曲线方程；利用数学知识对方程进行检验，进而对温度——时间、高度——时间模型进行修正[6].作者倡导“做中学”，认为真正的学习发生在有意义的数学活动中.2.1.4 数学与生物

Collins设计了一个以诺贝尔生理学或医学奖得主贾克·莫诺（J. Monod, 1910—1976）命名的教学活动[7].让学生思考大肠杆菌的自然繁殖结果，并计算从单个细菌开始到填满一个空间单位所需要的时间；汇总数据、绘制图象、求出表达式.

2.1.5 数学与自然

Fernandez等让学生观察向日葵的生长规律，运用微积分的相关知识来探索逻辑斯谛增长模型，画出向日葵生长高度随时间变化的逻辑斯谛曲线.然后，结合微积分知识，对逻辑斯谛增长模型进行分析[8].通过本活动，让学生体会数学的价值，体验应用数学的乐趣.Walker从著名歌曲“花儿都去哪儿了”引入，让学生探究花的曲线方程，并在极坐标系中画出花的曲线[9].Fuentes设计了非洲大象的研究活动，根据不同种类大象的特点、区域分布等来判断濒临灭绝的种类，然后利用统计知识画出频率分布图[10].活动提高了学生处理数据、数学建模的能力.

Moore等在统计概念教学中让学生对大蒜种植问题进行探究[11].先让学生计算购买种子和种植的费用、需要的土地面积等，再让他们探索，大蒜生长后会产生多少蒜瓣？让学生画出每颗大蒜的瓣数概率密度函数的正态分布图.活动目的是培养学生的科学思维能力.

2.2数学与文学

Smyth等认为，在数学课上让学生阅读文学作品，能够帮助学生更好地理解文字题，扩大其数学词汇量，提高其批判性思维能力[12].作者针对小说《爱丽丝漫游奇境记》、《手斧男孩》、《数字城堡》、《时间的皱纹》、《平面国传奇》、《福尔摩斯历险记》、《哈利波特与神秘魔法石》，分别设计了一系列教学活动，将小说与某些数学主题联系起来.例如，关于《爱丽丝漫游奇境记》，教师先介绍小说背景，引入比和比例的概念，让学生自己编制有关“比和比例”的文字题，然后让全班分组讨论，解决这些问题.最后，各小组讨论如下问题：作者刘易斯·卡洛尔是一位大数学家吗？如何用数学来解释爱丽丝所遇到的奇境？针对每部小说的教学活动都围绕某一数学主题展开，作者认为，这样能使学生更积极地看待数学.

Suzuki试图通过数学与诗歌之间的联系，让学生看到课堂之外的数学，让他们感受数学之美，并认识到，学数学不仅仅是为了考试[13].例如，诗歌每一行的末尾是押韵的，分别以A、B、C、D等来表示各个韵脚.在数学上，这些字母各分别对应于一些单词所构成的集合.例如，A={moon, tune, spoon, ...}，B={fate, late, mate, date, ...}.若诗歌的韵律为ABAB，则第一、三行以A中的单词结尾，二、四行以B中的单词结尾.一首好诗要求集合A、B、C、…不能有交集，如莎士比亚十四行诗的韵律为ABAB CDCD EFEF GG.三个韵脚A、B和C共有3!=6种排列.因此，一首6´ 3=18行的诗歌应包含所有格式ABC、ACB、BAC、BCA、CAB和CBA.

Edwards认为，在高中阶段，将文学与数学联系起来，可以提高学生的阅读能力，促进跨学科学习[14].作者在函数、统计、三角等知识点的教学中，运用数据分析方法，检验莎士比亚十四行诗；在讲授统计假设检验时，让学生运用相关知识来研究莎士比亚是否是爱德华·德·维尔的笔名；并利用软件统计莎士比亚诗句的长度、出现的频率等.该探究活动激发了学生的浓厚兴趣.

2.3数学与艺术

Cooper等讨论了音乐与几何变换之间的联系[15].水平平移为乐曲的旋律、和弦或乐曲的其他部分经过一段时间之后的重复；垂直平移则是乐曲旋律或和弦的上升或下降，音乐家称之为变调.乐曲旋律关于垂直和水平线的反射，导致旋律被转位或逆行演奏.作者建议，数学教师可以和音乐教师合作，在课堂上呈现上述过程.逆行演奏的转位，即将旋律上升或下降并且将其退位返回，这个过程就是旋转变换.逆行转位一定是绕旋律第一个音符的180度旋转.音乐上的伸缩变换主要有两种方式，一是改变时间的长短，作曲者以此来告诉表演者加速（渐快）或减速（渐缓）；二是将每一个音符赋值，通过复合，获得一组新的音符.作者建议，在几何变换课上，可以鼓励学生引进更多音乐上的例子并做出几何解释，通过“倾听几何”开始每一堂课的教学.

2.4数学与社会科学

Geist等将选举中的数学问题引入课堂，让学生探讨如何使用数学方法来确定每一位总统候选人在新泽西州的代表数[16].作者介绍了哈密尔顿法：首先，剔除投票率少于15%的候选人，根据其余候选人的投票率来计算其配额；接着，统一缩减配额，同时新增代表被指定分配给具有最大余数的候选人.文章以22名代表，3名候选人的一个地区为例，通过投票数、投票率、配额、原始分配、余数比较等介绍哈密尔顿法，最后用该方法来计算克林顿、奥巴马各自的代表数.鼓励学生和教师用此方法对本州地区初选的数据进行验证，探究活动让学生体会到数学在政治上的应用.

2.5数学与建筑

Thomas等在教学中以世界著名摩天轮“伦敦眼”为背景，设计有关数学问题[17].给定一些基本信息，如“伦敦眼”逆时针转动的平均速度、每个座舱内可容纳的人数、每年的游客数量、轮子的总重量、当前的高度等，让学生利用三角学知识求摩天轮半径、两舱之间的距离等，并通过列表、描点、拟合图象，求出高度与时间的函数关系.

2.6数学与生活

Mahoney设计了“掌上数学”的教学活动[18].每个人的指纹以及掌心的曲线都不一样，这些曲线都对应于数学上的某种函数，包括多项式函数、幂函数、指数函数、对数函数、正弦函数等.学生对本活动十分感兴趣，每个人都欣赏自己的成果，并急于和他人分享，因此，数学的应用在课堂上被个性化了.

Colen在代数课上设计了“扮鬼脸”活动[19].活动开始，教师介绍了扮鬼脸的标准：第一，至少必须使用一种已学过的函数，如一次函数、二次函数、平方根函数、绝对值函数和半圆；第二，最多画出10种函数的图象，允许使用图形计算器.最后，学生投票选出最佳鬼脸.

Bryan在教学中让学生探究棉花糖的温度随时间变化的规律[20].Kalman则设计了一项巧克力软糖制作活动[21].活动中，让学生将巧克力粉与奶油按照一定比例混合，制成球状，然后滚上一层可可粉.学生需要通过计算比例和体积来解决实际问题.

2.7数学与游戏

Fishman在数学课堂中利用扑克牌游戏来帮助学生学习因数概念和整数的因数分解[22].游戏规则如下：首先规定扑克牌中的J、Q、K和A分别代表11、12、13和14，每次两个对手拿到牌后，将手中各牌对应的数字全部分解，去掉成对的数字，看最后剩下的数字.如6、A、3，可以看成2，3，2，7，3.去掉两个2和两个3，最后剩下7.上述游戏称为“Go Fish”.作者还将其改成原理相同、稍稍复杂一些的“DocFish”游戏.

Garvey将国际象棋引入数学课堂[23].首先，向学生展示一个编了号的棋盘，并介绍棋子移动规则.让学生设计关于王、皇后、车、象和马的函数，从而计算每个棋子理论上可以得到的数字.学生用图象、表格等形式来表示这些函数，并探索函数的某些性质.本活动不仅训练了学生的思维，而且还丰富了学生的日常生活，因而深受学生欢迎.

Zullo将扑克牌游戏与函数联系起来[24]，包括“地板”函数、迭代、电子表格等.首先将牌的新位置n表示成行数r的函数n(r)，而r又可看作当前位置c的函数，即r(c)，因此，新位置就是n(r(c)).15张卡片编号为0，1，2，…，14.通过一系列计算得出公式：新位置=5+[当前位置/3].

2.8数学与体育

Goodman将篮球比赛中的判罚规则引入概率论的教学[25]，用概率树、面积模型来帮助学生解决罚球后的得分结果，并计算获得不同分数的概率，绘制曲线.通过解方程，学生得出结论：若某人罚球命中率大于0.618，则最可能为其球队赢得2分；若罚球命中率小于0.618，则可能为其球队赢得0分.最后，学生对模型做出修正，并计算得分及相应的概率.

Popelka在反射定律的教学中引入足球射门的例子[26].首先让学生自由讨论，之后让他们在走廊中用足球进行试验.定一个目标点，学生从不同位置踢球，球到达目标点后沿不同方向反射.经过多次试验，总结出反射定律，最后完成学习单上有关反射的练习，作图求出相应的未知量.

3　数学文化活动的特点

通过对《数学教师》中的数学文化类论文的考察，可以总结出美国中学数学课堂中数学文化活动的特点.

3.1数学文化活动的主题丰富多彩

《数学教师》上的数学文化论文涉及的主题丰富多彩.图2给出了120篇论文所涉及的数学文化主题的频数统计结果.从图中可见，“数学与生活”类最多，其次是“数学与建筑”类和“数学与自然科学”类.这些主题涉及各个领域，但大部分都贴近学生、贴近生活、贴近现实世界，极易激发学生的探究兴趣，完善学生的数学信念，促进学生的数学学习.

图2　《数学教师》中的数学文化主题

3.2数学文化主题与时俱进

很多数学文化主题都与当前人们所关注的热点息息相关，例如，2008年美国总统选举后不到两年的时间，便有关于选举问题的文章.2009年甲型H1N1流感侵扰世界，同年便有一篇关于H1N1流感与数学的文章，利用统计知识来探讨流感蔓延分布情况.

3.3数学文化活动以学生为中心

美国数学教师所设计的数学文化活动多通过学生动手操作来展开，学生有机会从实践中学习数学，教师只是扮演引导者的角色.此外，数学文化活动多半需要辅助工具完成（如资料、数据），教师会提供资料或数据的出处，由学生自己查找.

3.4数学文化活动以问题解决为导向

课堂上的数学文化活动主要是以解决问题为导向，而不单纯呈现数学文化，也不以教授数学知识为目标，但在活动过程中，教师在解决问题的同时渗透数学文化，让学生体会到学习的快乐.

3.5数学文化活动与信息技术密切结合

许多数学文化活动是利用信息技术来完成的.主要体现在几个方面：利用专门软件绘制有关函数图象，如数学与生活、数学与自然中的案例，需要学生亲自动手操作画出函数图象.几何图形的呈现也需要利用软件实现，从而可以直观看出图形的性质及变换.代码程序，通过编写程序，利用计算机实现画图等.统计方面，通过结合学生所学的统计知识，利用统计软件解决实际问题.信息技术使知识的呈现更为深刻和直观.

4　启 示

基于对《数学教师》上数学文化活动的内容考察和特点分析，得到如下启示.

4.1数学文化本身的研究

美国数学课堂中的数学文化活动所涉及的数学文化素材丰富多彩，主题也多种多样.国内文献多探讨数学文化的教育价值，对于数学文化本身的研究、数学文化素材的开发比较少.后者正是数学文化融入数学教学研究的基础.中国需要加强这方面的研究.

4.2数学文化活动的创设

美国中学数学课堂上的数学文化的呈现形式为主题活动，并以问题解决为导向.国内呈现数学文化一般是一课一评式和专题探究式两种，形式比较单一，且深入性不够.在将数学文化融入数学教学时，我们可以创设一些数学文化主题活动，而且主题的选取要贴近学生生活，让数学课堂更生动活泼、更具人情味，更有效地发挥数学文化的教育价值.

4.3活动的呈现形式

数学文化主题活动开展的形式可以多种多样，除了课堂上小组讨论、小组报告的形式，美国中学开展的关于数学文化的活动引导学生参与到课外实践中，如热气球飞行活动，绘制地图活动等，都需要学生亲自参与课堂之外的实践或调查.强调以学生为中心，真正实现“做中学”.

4.4合作研究模式的建立

《数学教师》数学文化类论文的作者并不仅仅局限于中学，很多论文是大学研究者与中学教师合作的成果.在中国，大学研究者与中学教师的合作较少，研究者建议中学阶段可以开设以数学文化为核心的校本课程，由大学研究者与中学教师合作，设计一系列数学文化课堂活动.最终，通过评级课堂活动，检验数学文化在课堂中的有效性.

［参 考 文 献］

[1]Kline M. The Ancients Versus the Moderns: A New Battle of the Books [J]. Mathematics Teacher, 1958, 51(6): 418-427.

[2]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]McGivney-Burelle J, McGivney R J, McGivney K G. Investigating the Relationship Between Latitude and Temperature [J]. Mathematics Teacher, 2008, 102(3): 172-177.

[4]Rubel L H, Chun H W, Shookhoff L. Learning to Map [J]. Mathematics Teacher, 2011, 104(8): 587-591.

[5]Perham A E, Perham F L. Looking to Mars for Mathematics Connections [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(5): 344-349.

[6]Bryan L. Imagine Yourself in This Calculus Classroom [J]. Mathematics Teacher, 2007, 100(6): 394-401.

[7]Collins R L. Monod’s Nightmare Problem [J]. Mathematics Teacher, 2007, 100(9): 627-631.

[8]Fernandez E, Geist K A. Flower Power Sunflowers as a Model for Logistic Growth [J]. Mathematics Teacher, 2011, 104(8): 580-585.

[9]Walker J M. Where Have All the Flowers Gone [J]. Mathematics Teacher, 2007, 101(2): 88-91.

[10]Fuentes S Q. Estimating African Elephant Populations [J]. Mathematics Teacher, 2009, 102(8): 621-625.

[11]Moore N T, Deming J C. The Mathematics of Garlic [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(1): 22-28.

[12]Smyth T S, Waid B. Integrating Literature: A Novel Idea [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(2): 113-119.

[13]Suzuki J. The Alliance: Mathematics and the Arts [J]. Mathematics Teacher, 2009/2010, 103(5): 318-319.

[14]Edwards M T. Who Was the Real William Shakespeare [J]. Mathematics Teacher, 2009, 102(8): 580-585.

[15]Cooper B D, Barger R. Listening to Geometry [J]. Mathematics Teacher, 2009, 103(2): 108-115.

[16]Geist K, Jones M A, Wilson J. Apportionment in the Democratic Primary Process [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(3): 214-220.

[17]Thomas C D, Gitonga I. Mathematics in the London Eye [J]. Mathematics Teacher, 2012, 106(3): 172-177.

[18]Mahoney J F. The Hands Project [J]. Mathematics Teacher, 2011, 105(1): 56-61.

[19]Colen Y S. Funny Face Contest [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(1): 50-56.

[20]Bryan L N. Cooking with Quadratics [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(4): 309-313.

[21]Kalman A M. Fixing Ganache Another Real-Life Use for Algebra [J]. Mathematics Teacher, 2011, 104(6): 416-419.

[22]Fishman D M. DocFish a Card Game with Factoring [J]. Mathematics Teacher, 2010, 103 (9): 656-662.

[23]Garvey D. Chess Piece (Wise) Project [J]. Mathematics Teacher, 2010, 104(5): 400.

[24]Zullo H S. An Excellent Card Trick [J]. Mathematics Teacher, 2011, 104(7): 526-530.

[25]Goodman T. Shooting Free Throws, Probability, and the Golden Ratio [J]. Mathematics Teacher, 2010, 103(7): 482-487.

[26]Popelka S R. Corner Reflector Mathematics [J]. Mathematics Teacher, 2011, 105(2): 112-119.

[责任编校：张楠]

Activities of Mathematical Culture in American High School Mathematics Teaching

LIN Jia-le, WANG Xiao-qin
(Department of Mathematics, East China Normal University, Shanghai 200241, China)

Abstract:The papers on mathematical culture (not including the history of mathematics) published in the Mathematics Teacher from 2007 to 2012 are analyzed and 8 categories of themes are identified, namely, mathematics and science; mathematics and literature; mathematics and art; mathematics and social science; mathematics and architecture; mathematics and life; mathematics and games; mathematics and sports. These themes have the following features: dealing with rich and various topics; keeping pace with the times; being oriented towards problem solving; being student-centered; taking the information technology as the auxiliary tool. Based upon these features, some implications are put forth, including the study of mathematics culture itself, the creation of mathematics culture activities and the establishment of the cooperation model of research on mathematical culture.

Key words:mathematical culture; activities; features; implications

作者简介：林佳乐（1988—），女，吉林松原人，硕士研究生，主要从事数学史与数学教育的相关研究.

收稿日期：2015-03-11

中图分类号：G40-059.3

文献标识码：A

文章编号：1004-9894（2015）04-0008-05