俄罗斯高中代数与几何教材整体知识结构研究——以俄罗斯教育出版社两种代数教材和两种几何教材为例

王奋平，杜晓梅

（1.金陵科技学院 基础教学部，江苏 南京 211169；2.南京师范大学 课程与教学研究所，江苏 南京 210097；3.陇东学院 外国语学院，甘肃 庆阳 745000）

俄罗斯高中代数与几何教材整体知识结构研究
——以俄罗斯教育出版社两种代数教材和两种几何教材为例

王奋平1，2，杜晓梅3

（1.金陵科技学院 基础教学部，江苏 南京 211169；2.南京师范大学 课程与教学研究所，江苏 南京 210097；3.陇东学院 外国语学院，甘肃 庆阳 745000）

摘要：俄罗斯代数、几何教材仍然沿用传统的分类编写模式，总体上保留了传统的代数、几何知识范围，同时适当增加了向量对几何体的处理，这种方式和中国新高中数学教材中的处理方式相似；俄罗斯不同版本代数、几何教材内容基本相同.

关键词：俄罗斯国数学教材；高中数学；比较

俄罗斯是数学和数学教育强国，教育理论根基十分深厚，拥有众多优秀数学家和数学教育家以及良好的学术传统，他们在数学教育改革方面有许多大胆的探索和新的尝试.俄罗斯目前的学制是11年制.其中1~9年级为义务教育阶段，小学阶段是1~4年级，5~9年级为初中阶段，10~11年级为高中阶段.俄罗斯20世纪影响力较大的中学数学教学大纲主要有1959年大纲、1964年大纲和1990年大纲，现行的国家教育标准（各科）是俄罗斯教育部于2004年3 月5日颁布的，俄罗斯高中数学教学内容虽然随着教学大纲或标准的不断修订有所调整，但是数学教材中其传统的基本教学内容仍然保持原有的风格和特色.俄罗斯教材仍然按照代数、几何分模块编写，俄罗斯高中数学教材有很多版本，这里就以10~11年级俄罗斯教育出版社2000年版代数教材（阿·尼·卡尔莫格洛夫等编，以下简称2000版代数教材）、1990年版代数教材（什·阿·阿利莫夫等编，以下简称1990版代数教材）、1995年版几何教材（阿·弗·保加列洛夫编，以下简称1995版几何教材）和2000年版沙雷金主编的高中几何（10~11年级）教材（以下简称2000版几何教材）为例对俄罗斯数学整体知识结构加以研究.

1　俄罗斯高中代数内容知识结构研究

1.1俄罗斯两种高中代数内容呈现顺序

俄罗斯高中数学分为代数和几何两部分分别学习，先列举1990版代数教材和2000版代数教材内容对比研究，1990版代数教材共11章内容，2000版代数教材共10章内容，教材所列内容均为必修内容，具体内容见表1.

表1　俄罗斯高中代数教材主要内容

表1　（续） 俄罗斯高中代数教材主要内容

从表1可以看到，1990版代数教材共11章内容，2000版教材共10章内容，1990年版代数教材共分5部分.第一部分三角函数：第一章到第三章，第二部分导数及其应用：第四章至第六章，第三部分原函数和积分：第七章至第八章，第四部分指数函数和对数函数：第九章至第十一章，第五部分总复习题.2000年版代数教材只按照实数（第一章）、函数（第二章、第三章和第四章）、三角函数和三角方程（第五章、第六章和第七章）、微积分（第八章、第九章和第十章）等知识模块分为几部分，两种教材均按照知识模块将整个教材内容分割成几个大的部分.只是模块顺序有所不同.

1.2两种高中代数教材内容比较分析

1.2.1 两种教材内容略有差异

从表1可以看到，2000版代数教材的函数部分从第二章开始，而且直接学习幂函数，函数的定义和基本性质已经在初中学习过，和2000版代数教材不同的是，1990年版代数教材中没有专门学习幂函数，而是只学习幂的一般性质，1990版代数教材中，在学习导数之前，专门学习了函数的连续性作为导数学习的基础，而2000版教材中直接学习导数定义，通过极限的方式定义导数，这种方式和中国大陆20世纪80—90年代普遍采用的人民教育出版社全国通用旧教材相似.1990版代数教材中的学习的指数方程和微分方程在2000版代数教材中没有，而2000版代数教材中三角函数方程在1990版教材中没有看到，除微分方程外，这些超越方程在中国大陆20世纪90年代旧教材必修内容中都有学习，2000后的新课程教材中基本全部删除了.

1.2.2 两种教材知识点安排顺序不同

从表1可以看到，两种教材对知识点的安排顺序有很大的差别.1990年版代数教材顺序：三角函数值→函数的基本性质→解三角方程和不等式→导数→连续性和导数的应用→导数在函数中的应用→原函数→积分→幂的一般概念→指数函数和对数函数→指数函数和对数函数的导数，而2000版代数教材顺序：实数→幂函数→指数函数→对数函数→三角函数公式→三角方程→三角函数→导数和导数的几何意义→导数在函数中的应用→积分.1990版代数教材中三角函数在指数函数和对数函数之前，而2000版代数教材中恰恰相反，说明这两种函数之间的联系相对比较小，可以相互调换顺序学习.

1.2.3 部分内容值得商榷

在1990版教材中，先学习三角函数，再学习函数的基本性质，再学习原函数和反函数，采用先归纳式再到演绎式的学习方式，从特殊函数性质到一般函数性质再到特殊函数性质，和中国教材中一贯的学习顺序不同，中国教材中基本上按照先学习一般函数基本性质→特殊函数的性质这样的顺序.俄罗斯2000年教材应该是一种典型的演绎式知识学习方式：初中已经学习过一般函数的概念和基本性质，高中接着学习各种特殊函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数），函数性质的学习到底是采用归纳法学习还是演绎法学习上述内容更加有利于学生的学习尚没有看到实证研究结论[1].

2　俄罗斯高中几何教材内容知识结构研究

2.1俄罗斯高中数学几何内容呈现顺序

阿·弗·保加列罗夫主编的几何教材包括7~11年级全部几何内容，高中10~11年级内容只是其中一部分，其中高中几何内容从第十五章开始，到二十一章结束，共6章内容；沙雷金主编的高中10~11年级2000版几何教材单独编写，独立成书.

表2　俄罗斯高中几何教材主要内容

从表2可以看到，1995版几何教材只有6章内容，而2000版几何教材中有8章内容，主要包含立体几何、解析几何与空间向量两部分内容，根据俄罗斯现行数学教育标准，平面几何在初中学习，立体几何在高中学习，解析几何和平面向量也在初中学习.例如阿·弗·保加列洛夫编的7~11年级几何教材八年级内容中就包含平面直角坐标系：直角坐标系的定义、中点坐标、点之间的距离、圆的方程、直线的方程、相交直线的点坐标、直线与坐标系的位置关系、直线方程的斜率、直线方程的图象、直线和圆的位置关系、角的正弦余弦正切的定义；还包含向量：绝对值、相等向量、向量坐标、向量相加、合力、矢量的乘法、两个非共线向量的和、向量的运算公式、两个垂直向量的合并.高中集中学习立体几何和空间向量初步、空间坐标系（空间解析几何初步）.

2.2俄罗斯几何教材知识结构分析

2.2.1 两种几何教材内容基本相同

从表2可以看到：两种几何教材主要包含立体几何公理、直线和平面的关系、平面和平面的关系、多面体、圆柱体、空间解析几何和空间向量初步等.两种几何教材总体内容基本相同.但是2000年版几何教材包含的多面体的体积、锥体的体积、球外切多面体与球内接多面体以及正多面体在1995版几何教材中没有看到.

2.2.2 两种几何教材知识安排顺序不同

1995版几何教材中知识点安排顺序：立体几何公理及其简单的应用→平行线和平行面→线和面的平行→直角坐标系和空间矢量→多面体→圆柱体.2000版几何教材知识点顺序：空间的直线与平面→多边形→柱体→立体几何的方法和习题→多面体的体积→柱体的表面积和体积→正多面体→空间坐标和空间向量.1995版几何教材中解析几何和向量空间内容在多面体和圆柱体之前，而2000年版几何教材中解析几何和向量空间内容在圆柱体和多面体之后.2000版几何教材对解析几何内容和向量空间内容可能更加合理，因为学生首先学习了几何图象的直观形象后再用代数工具和向量工具去处理不同线段的关系有利于加强学生对该内容的理解.

2.2.3 两种几何教材侧重点有所不同

1995版几何教材中，线面关系占据较多的篇幅，覆盖第十五章、第十六章两章内容，而2000年教材中只有第二章这一章内容学习线面关系.1995版几何教材对多面体的学习比较细致入微，按照多面体、柱体、柱体图象和它的截面、直角柱体、平行六面体、平行六面体的中心对称、矩形平行六面体、矩形平行六面体的对称、锥体、锥体及其截面的画法、锥体的横截面、规则椎体、规则多面体等详细的各类多面体以及锥体的各类性质分别学习，而2000版几何教材中按照多面体的图象、在图象上构图、凸多面体、多面体的角、正棱锥、棱柱、平行六面体分类学习，各个知识点分布没有1995版几何那么细致，相对比较粗犷.1995版几何教材将具体知识点分割得比较细致，这样有利于学生掌握所学几何体的比较详细的性质，2000版几何教材知识面比1995版教材知识内容范围宽广，深度就显得相对较浅.

2.2.4 1995版几何教材和中国旧几何教材内容和知识结构相似

从表2内容可以看到，除了空间解析几何和空间向量内容，1995版几何教材内容及其知识结构和中国大陆20世纪80—90年代全国通用的人民教育出版社出版的立体几何旧教材内容及知识结构基本相似，顺序按照公理基础→线线关系→线面关系→面面关系→多面体和锥体这样的知识结构顺序安排，但是1995版教材缺少中国旧几何教材中包含的球体、球冠、锥体体积和球的表面积的学习，而这些内容大多数在2000版教材中却要求学习.

2.2.5 用空间向量处理空间几何体中线段的关系是对传统俄罗斯几何内容的突破

从表2看到，空间解析几何和空间向量融合在一起学习，改变了传统俄罗斯中学教材中不学习向量以及只用欧式几何方式学习几何体中的线段关系的风格.现行俄罗斯教材中主要用空间坐标系中向量的三维坐标之间的关系来处理向量的关系，这种改变和中国按照新课程标准编写的新教材中用向量处理欧氏几何中的线段之间关系的方法不谋而合.

3　启 示

（1）俄罗斯数学教材仍然采用传统的代数、几何分割学习方式是否合理需要继续思考.

中国大陆此次基础教育数学课程改革过程中强调不同数学内容之间相互融合，回归数学的本质特征和还原数学发展过程中本身的混合性，把欧氏几何的图象用向量工具处理，基本上颠覆了20世纪50年代开始采用的前苏联代数几何分割学习的旧格局.但是从上述4本俄罗斯教材可以看到，俄罗斯仍然沿用了前苏联数学教学内容顺序安排的传统，代数、几何分割学习，中国现行数学教材基本上将代数和几何努力融合学习，将立体几何用向量来处理，采用的模式部分学习了欧美国家的数学学习方式[2].

（2）俄罗斯2000年版代数教材中采用极限方式学习导数尚需再思考.

从俄罗斯2000年版代数教材看，该教材中通过极限方式学习导数，这种方式20世纪80—90年代的中国大陆旧选修教材中采用过，当时因为难度较大列为选修内容，高中学生是否能够准确理解，尚需再思考.而中国大陆现行数学教材中通过速度变化率来定义导数的方法相对抽象度较低，应该更加有利于学生理解和接受[3].

（3）数学应用和数学知识来源是否必须作为高中教材编写的主导思想可能还需要思考[4].

中国自2004年使用的新教材中为了突出数学实质，让学生了解知识的产生过程和应用方法，大量采用数学知识与相关应用情景结合的编写模式，教材中充满应用问题，这样就相应减少了数学知识容量.但是从俄罗斯数学教材内容看，基本上还是以形式化数学内容为主，几乎没有应用数学内容，和现行中国大陆教材的风格完全不同.形式化是数学的基本特征之一，对高中阶段学生是否还需要采用这样的充满应用情境的数学学习模式值得继续通过实证研究来探讨.

（4）俄罗斯各高中几何教材内容基本是立体几何和少量空间解析几何内容.

从表2内容可以看到，无论1995版几何教材还是2000版几何教材均以立体几何内容为主外，尚有一章空间解析几何内容，将解析几何和空间向量融合学习，在初中阶段已经学完平面几何.这种分布格局和20世纪90年代末中国大陆人民教育出版社的中学数学试用教材（1995年版）内容的学习方式相似，而中国大陆自新课程改革后几何学习内容发生很大变化，削减了部分平面几何内容和立体几何内容，高中新课程标准数学教材中在立体几何中融入向量，体现出不同数学知识之间的紧密联系

（5）教材“一纲多本”甚至“多纲多本”是今后中国乃至世界教材的发展方向.

俄罗斯中学数学各类教材大体遵守国家最新教育标准基本要求，但是各有特色.从表1和表2内容可以看到，不管是两种代数教材内容之间还是两种几何教材内容之间，基本内容相似，但是相同知识点安排顺序和侧重点各有特色，这也是多样化教材体系国家教材结构的共同特点.欧美各国一直以来均按照“一纲多本”或“多纲多本”的模式发行和运作教材，教材多样化程度非常高，中国大陆现行高中数学教材有北师大版、人民教育出版社版、江苏教育出版社版、湖南教育出版社版等多种版本教材；一个国家不同地域、不同民族、不同文化背景下学生应该采用适合本地特点的教材，不同教材在市场化需求的筛选中需要不断修订完善，这样总体上有利于教育质量的提高[5].

（6）欧式几何内容到底如何取舍尚需要深入研究.

欧氏几何内容是否需要学习的问题在20世纪60年代前后曾经引起“新数运动”和所谓“欧几里得滚蛋”的轩然大波，但是最终各国还是适当地有所回归，英国、美国、法国中学数学教材中都还在学习欧氏几何内容.欧氏几何作为工程制图的基础内容对有志于学习建筑设计、测绘等专业的学生有一定的基础作用，同时立体几何的学习也有利于开发学生的空间想象力.俄罗斯是最完整保留欧氏几何学习内容的国家，俄罗斯也是曾经因扎实的数学成就为辉煌的空间科学技术成就奠定基础而引起西方国家恐慌的国家.所以，欧氏几何内容的取舍不能简单“邯郸学步”，中国新课程改革过程中大幅削减了欧氏几何内容，减轻负担的目标是否通过这样的方式实现，还需要慎重研究，还需要在不断地探索中来完善.

［参 考 文 献］

[1]王奋平，杜晓梅.俄罗斯高中代数教材整体知识结构研究[J].中学数学教学参考，2015，（1-2）：140-144.

[2]王奋平，喻平.英国高中数学教材知识整体结构设计研究[J].数学教育学报，2013，22（5）：32-36.

[3]王奋平.中、英高中数学教材比较研究[J].数学教育学报，2011，20（6）：51-55.

[4]王奋平.中、英高中数学教材复数内容比较研究[J].数学教育学报，2011，20（3）：83-86.

[5]王奋平.英国两种高中数学教材比较研究[J].数学教育学报，2013，22（2）：76-80.

[6]王奋平.中国和新加坡高中数学教材整体知识结构比较研究[J].数学教育学报，2014，23（2）：14-18.

[7]姚芳.从高中数学教材看俄罗斯数学教育现状[J].首都师范大学学报（社会科学版），2011，（4）：83-86.

[8]陈昌平.数学教育比较与研究[M].上海：华东师大出版社，2000.

[9]阿·尼·卡尔莫格罗夫.代数（10~11年级）[M].莫斯科：俄罗斯教育出版社，1990.

[10]什·阿·阿里莫夫.代数（10~11年级）[M].莫斯科：俄罗斯教育出版社，2000.

[11]阿·弗·保加列罗夫.几何（7~11年级）[M].莫斯科：俄罗斯教育出版社，1995.

[12]沙雷金.几何（10~11年级）[M].莫斯科：俄罗斯教育出版社，2000.

[责任编校：周学智]

Research of Overall Structure of Russian High School Algebra and Geometry Textbook Knowledge
——As Examples by Two Kind of Algebra Textbooks and Two Kinds of Geometry Textbooks Russian Education Press

WANG Fen-ping1, 2, DU Xiao-mei3
(1. Faculty of Fundametal Courses Jinling Institute of Technology, Jiangsu Nanjing 211169, China; 2. Research Institute of Curriculum and Teaching, Nanjing Normal University, Jiangsu Nanjing 210097, China; 3. School of Foreign Languages Longdong University, Gansu Qingyang 745000, China)

Abstract:The writing pattern Algebra and Geometry textbook of Russia is still using the traditional classification. It are generally retained the algebra, geometry traditional knowledge range, and increasing geometry processing in vector appropriatly, this approach is similar to China’s new high school math textbooks, different Edition algebra and geometry textbooks of Russian are same basically overall content.

Key words:Russia high school mathematics textbooks; high school mathematics; comparison

中图分类号：G40-059.3

文献标识码：A

文章编号：1004-9894（2015）04-0025-05

作者简介：王奋平（1971—），男，甘肃凉州人，南京金陵科技学院教授，南京师范大学教育学院博士生，主要从事数学比较教育研究.

基金项目：全国教育科学“十二五”规划2012年度单位资助教育部规划课题——高中数学教科书整体知识结构国际比较研究（FDB120423）；江苏省2014年度普通高校研究生科研创新计划项目——美国各州高中数学课程标准整体知识结构比较研究（KYLX_0656）

收稿日期：2015-03-07