连续放缩两次探求多元函数最值问题

武增明+赵红革

求多元函数最值问题，内涵丰富，方法灵活多变，技巧性强，难度大，解法没有规律性，且有些此类问题按常规方法求解更有难度.若利用题设条件、不等式性质、基本不等式及柯西不等式等连续放缩两次，将多元变量转化为少元变量或单元变量，并兼顾等号成立的条件来解答，可使思维简约，过程简捷.下面举例说明，旨在抛砖引玉.

1由题设条件和均值不等式连续放缩两次

由题目直接或间接给出的条件和均值不等式连续放缩两次，将多元变量最值问题转化为一元变量最值问题，并兼顾等号同时成立的条件.

例1（2014年全国高中数学联赛一试（A卷）第2题）设集合{3a+b|1≤a≤b≤2}中的最大元素与最小元素分别为M，m，则M-m的值为.

2由题设条件和不等式性质连续放缩两次

根据题目直接或间接给出的条件和不等式性质，通过逐步连续放缩两次，将多元变量最值问题转化为单元变量或双元变量最值问题，并兼顾等号同时成立的条件.

3由题设条件和柯西不等式连续放缩两次

根据题目直接或间接给出的条件和柯西不等式，通过逐步连续放缩两次，减少变量的个数，实现直接求解最值的目标.

例3（2012年全国高中数学联赛一试（A卷）第3题）设x，y，z∈[0，1]，则M=|x-y|+|y-z|+|z-x|的最大值是.

4由题设条件连续放缩两次

根据题设条件连续放缩两次，减少变量的个数或将多元变量转化为单元变量，并兼顾等号同时成立的条件.

例4（2013年全国高中数学联赛湖北省预赛第10题）已知a，b，c，d∈[-1，+∞），且a+b+c+d=0，则ab+bc+cd的最大值为.

解析问题涉及四个变量，且各变量不具对称性，使用不等式手段解决的可行性比较小，因此考虑逐步降元的方式处理.由于ab+bc+cd=b（a+c+d）+cd-bd=-b2+cd-bd=-b2+（c-b）d，此时无法进行恒等消元，我们考虑放缩性消元，则必须考虑c-b及d的正负性.

故ab+bc+cd≤-b2+b+1，等号成立的条件为b≥c，d=-1，c=-1.从而，当a=32，b=12，c=-1，d=-1时，ab+bc+cd取得最大值54.根据b，c的对称性，类似可得，当a=-1，b=-1，c=12，d=32时，ab+bc+cd也取得最大值54.

5由基本不等式连续放缩两次

根据基本不等式、柯西不等式及不等式性质连续放缩两次，减少变量的个数或可直接求解最值.

多元函数最值问题，具有很强的灵活性，求解方法也没有固定的模式.本文中我们只是通过几道典型的多变量最值问题，进行放缩两次的求解策略作一些梳理与总结，以便提升日后对此类问题教学的效率，也为广大的一线同仁提供一些参考.