混合正则微分系统第二特征值的上界不等式

卢亦平，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

混合正则微分系统第二特征值的上界不等式

卢亦平，钱椿林

(苏州市职业大学 数理部，江苏 苏州 215104)

考虑混合正则微分系统第二特征值的上界估计.利用试验函数、Rayleigh定理、分部积分和Schwartz不等式等估计方法，获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关. 其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用.

混合正则微分系统；特征值；特征函数向量；上界

1 主要结果

设a b,( )⊂R是一个有界区间，考虑混合正则微分系统

的特征值估计问题，式中：s＞t≥2 h，s，t和h为正整数；Q为常数，b0=b1=…=br-1=0，br=1，r≤h；bh＞0，bk≥0，k=r+1，r+2，…，h-1；p(x) ∈ Ct+j([a, b])，j=0，1，2，…，s-t，且满足

j

其中μ1，μ2为正实数.

把问题(1)写成矩阵形式，设

将问题(1)化为等价的矩阵形式

微分方程的特征值估计已获得一些结果.相同阶微分系统特征值估计也获得一些结果[1-4].本文考虑混合正则微分系统的问题，将文献[5]-[7]中的问题推广到多个不同阶微分方程组成的方程组. 运用文献[8]中的方法，对于问题(1)获得了用第一特征值来估计第二特征值的上界的不等式，其估计系数与区间的度量无关. 其结果在物理学和力学中有着广泛的应用，在常微分方程的研究中起着重要的作用.

定理1 设λ1，λ2是问题(1)的第一、第二特征值，且0＜λ1≤λ2，则

2 定理1的证明

设λ1是问题(3)的第一特征值，相应于λ1的特征向量函数为u，且满足

利用分部积分和式(5)得

利用式(6)，对于j=0，1，2，…，s-t，k=0，1，2，…，h，有

利用分部积分和式(6)有

利用式(2)和式(8)得

利用式(9)有

设φ(x)=(x-g)u，其中

利用分部积分直接计算得

利用Rayleigh定理有

计算得

利用分部积分和φ(x)=(x-g)u，有

即

结合式(14)和式(15)得

设

利用式(16)有

利用式(13)和式(17)有

引理1 设y是问题(3)所对应的第一特征值λ的特征向量函数u的某一分量，则

证对于(a)，用数学归纳法证明.当m=r时，在式(7)中，取k=r，不等式显然成立.假设m=k时，不等式成立，即有当m=k+1时，利用分部积分、Schwarz 不等式和归纳假设得

化简整理得

即引理1(a)成立.

对于(b)，反复运用引理1(a)和式(10)得

即引理1(b)成立.

引理2 设u是问题(3)所对应的第一特征值λ1的特征向量函数，则

证对于(a)，

用数学归纳法可以证明

即引理2(a)成立.

对于(b)，利用Schwarz 不等式、引理2(a)和引理1(b)有

即引理2(b)成立.

引理3 设u是问题(3)所对应的第一特征值λ1的特征向量函数，则

证对于(a)，利用分部积分和φ(x)=(x-g)u，k=1，2，…，h，有

整理上式，可得引理3(a)成立.

对于(b)，利用式(2)和引理1(b)得

对于(c)，利用式(2)、Schwarz不等式和引理1(b)有

引理4 设λ1是问题(3)的第一特征值，则

证利用分部积分、引理3(a)和φ(x)=(x-g)u得

类似地，可以得到

利用式(19)、式(20)和式(21)有

利用式(22)、引理2(b)和引理3得

引理5 对于φ与λ1，有

证利用分部积分、引理3(a)和φ(x)=(x-g)u，k=1，2，…，h，得

利用式(23)有

利用式(6)得

利用式(24)、式(25)、引理2和Schwarz 不等式得

整理上式，可得引理5.

定理1的证明：利用引理4、引理5和式(18)得

整理上式，即得定理1的式(4).

[1] 卢亦平，钱椿林. 多项式微分算子带一般权第二特征值的上界估计 [J]. 长春大学学报，2014(2)：175-179.

[2] 卢亦平，钱椿林. 任意阶微分算子带一般权第二特征值的上界估计[J]. 长春大学学报，2012(12)：1490-1494.

[3] 卢亦平，钱椿林. 高阶微分算子带权的第二特征值的上界估计[J]. 长春大学学报，2010(6)：4-7.

[4] 卢亦平，钱椿林. 微分方程带一般权的第二特征值的上界估计[J]. 长春大学学报，2009(10)：7-9.

[5] 朱敏峰，钱椿林. 正则任意阶微分系统带一般权第二特征值的上界[J]. 长春大学学报，2013(8)：971-980.

[6] 朱敏峰，钱椿林. 正则高阶微分系统带权第二特征值的上界[J]. 苏州市职业大学学报，2012，23(4)：30-36.

[7] 陈卫忠，钱椿林. 正则微分系统带权第二特征值的上界[J]. 常熟理工学院学报：自然科学版，2010 (10)：38-42.

[8] HILE G N，YEN R Z. Inequalities for eigenvalue of the Biharmonic operator[J].Pacifc J.Math.，1984 (1)：115-133.

(责任编辑：沈凤英)

Inequality of the Upper Bound of Second Eigenvalue for Mixed Canonical Differential System

LU Yi-ping，QIAN Chun-lin
(Department of Mathematics and Physics，Suzhou Vocational University，Suzhou 215104，China)

This paper considers the estimate of the upper bound of second eigenvalue for mixed canonical differential system. The inequality of the upper of second eigenvalue is estimated based on the frst eigenvalue with the help of the integral，rayleigh theorem and inequality estimation. The estimated coeffcients are not linked to the measure of the domain in which the problem is concerned. This kind of problem is signifcant both in theory of differential equations and in application to mechanics and physics.

mixed canonical differential system；eigenvalue；vector eigenfunction；the upper bound

O175.9

A

1008-5475(2015)01-0034-07

2014-10-15；

2014-11-09

苏州市职业大学青年教师基金资助项目(2010SZDQ12)

卢亦平(1978-)，女，吉林白山人，讲师，硕士，主要从事算子特征值估计研究.