带有延迟的三维股票价格系统的控制*

刘佳 过榴晓 徐训霞

(江南大学理学院，无锡 214122)

引言

金融是现代市场经济的核心，在我国的经济改革与发展中起着越来越重要的作用.股票市场是我国金融市场的重要组成部分，它集聚社会闲散资金，促使社会资金最大限度地用于经济建设，也为国有企业改制提供了金融市场.

脉冲现象作为一种瞬时突变现象，在经济领域的实际问题中是普遍存在的，其数学模型往往可以归结为脉冲微分系统.近年来脉冲控制问题引起了许多研究者的兴趣.脉冲延迟微分方程也已经应用在许多领域［3］，如控制技术，通讯网络，生物种群管理.脉冲控仪器，以及脉冲响应函数理论及其在宏观经济中的应用.本文着重于脉冲控制在股票价格系统的应用.

讨论带延迟股票价格系统的控制稳定性问题.通过加入脉冲控制，即国家即时间隔宏观调控，实现系统发展趋势发生变化，消除或减少一些因素对股票价格不稳定的影响.根据脉冲理论和Lyapunov函数稳定性理论得到股票价格系统的全局指数稳定的保守条件.数值仿真的例子验证了脉冲控制方法的有效性和提出理论的准确性.

1 问题描述

考虑带有风险资产的市场(如股票市场指数)，p(t)代表时间t下的股票市场价格.对于交易者各自的需求函数，我们是根据交易者所遵循的交易规则得到的，而不是通过考虑风险和无风险资产的投资组合最大化收益得到的［5，6］.定义基础交易者和技术交易者在市场交易中所占份额分别为α和1-α，其中α∈［0，1］基础交易者是通过他们对基础价格的走势分析后，做出买卖决策.他们认为市场价格p(t)是对基础价格F(t)均值回归.假设基础交易者在时间t的需求函数为Qf(t)，设该需求函数与市场价格和基础价格之间的偏离程度成正比:

这里βf是大于零的常参数，是用来测量市场价格对基础价格的均值分析回归，也可用来表示基础交易者对风险的规避系数.

与基础交易者相比，技术交易者是通过对历史价格的图表信息进行分析后，做出交易策略.文献［7］假设这些技术交易者就是趋势交易人.他们认为，未来的市场价格追寻趋势价格u(t)走动.假设技术交易者在时间t的趋势函数为Qc(t)假设，则:

这里βc表示趋势交易者对价格的外推比率.我们引入市场价格同基本价格之间的权重ρ，现在用ρp(t)+(1-ρ)F(t)来表示当前价格P(t)，其中ρ∈［0，1］.p(t)定义如下:

这里μ＞0表示造市者对市场价格的调整速度.

在实践中，加权移动平均线是各种趋势价格中最受欢迎的一类.本篇文章我们假设交易者在时间的价格函数u(t)，是由于某一时间间隔内历史价格指数衰退加权平均给出的，即在时间间隔［tτ1，t］(τ＞0)，有

这里κ＞0表示历史价格权数的衰退率.这里我们给出以下微分方程:

考虑到基本价格通市场需求紧密关系，并且基本价格会依赖于市场需求做出调整.以下给出基本价格函数:

这里，δ表示基本价格相对于市场需求的调节速率.

在以上分析基础上，金融股票价格表示为一下带有延迟微分方程系统(7a)，(7b)(7c):

显然，p(t)=u(t)=F(t)是系统的均衡点，因此我们称(p，u，F)=(F，F，F)为系统的基础稳定状态.稳定状态处的价格由常数给出，我们假设稳定状态处的价格为，此时系统的基础稳定状态可以近似看成

其中，

假设存在正函数τ满足τ＞max{τ1，τ2}.

2 理论分析

定义1 (1)函数V在每个集合［tk-1tk)×Rn，对于每一个x∈Rn，t∈［tk-1，tk)，k∈N，存在

(2)对所有的x∈Rn，对所有V(t，0)≡0，对于t≥t0，V(t，x)满足Lipschitzian条件.定义2 对于给定的V∈V0(t，x)∈［tk-1，tk)×Rn，令则V(t，x)沿方程的解x(t)的右上导数为

引理1 对于含时滞的脉冲微分方程［13］［14］

存在函数V∈v0，正常数p，c，c1，c2，σ，λ＞0，γ≥1，且σ-λ≥c，使得

(1)对任意t∈R，x∈Rn，有

(2)对所有t∈［tk-1，tk)，k∈N，有，

对于时间延迟s∈［-τ，0］有，

其中q≥γeγτ是常数;

(3)V(tk，φ(0)+Ik(tk，φ))≤dkV(tk，φ(0))

其中0＜dk-1≤1，∀k∈N是常数;

(4)对于γ≥1/dk-1，且

则系统(9)零解对于任何时间延迟τ∈(0，∞)是全局指数稳定的.

定理1 设λ1是AT+A+2I的最大特征值，λ2是GTG的最大特征值，c＞0，λ＞0均是常数，τ≤tktk-1≤α，脉冲间隔Δt=tk+1-tk，并且满足条件:

⑴ f(t，X)是连续函数，且存在正常数M，使得‖f(t，X)‖≤M‖X‖;

⑵ 存在常数q≥e2λα使得λ1+qλ2+M2＜c，且有0＜dk=max{(1+b1)2，(1+b2)2，(1+b3)2}≤1;

则系统(8)是全局指数稳定的.

证明:令V(t，X)=XTX，对任意t∈［tk-1，tk)，

由引理1可知，对任意时间延迟s∈［-τ，0］，有

其中q≥γeλτ，于是有，

则D+V(t，X)≤λ1V+qλ2V+M2V＜cV

由于I+Bl时对角矩阵，于是可得，

又dk=max{(1+b1)2，(1+b2)2，(1+b3)2}，

当t=tk时，

这里令x=φ(0)即可满足引理条件(3).

因此

即

满足引理条件(4).这就证得系统(8)是全局指数稳定的.

注 定理1给出了全局指数稳定的一些条件，相对于引理来说又具有特殊性，把引理中一般的条应用到定理中来同样有效.证明过程表明实现全局指数稳定的条件和脉冲间隔Δt等一些因素有关.

推论1 设λ1是AT+A+2I的最大特征值，λ2是GTG的最大特征值，c＞0，λ＞均是常数，τ≤tk-tk-1≤α，脉冲间隔Δt=tt+1-tk，并且满足下列条件:

1.f(t，X)是连续函数M，且存在正常数，使得‖f(t，X)‖≤M‖X‖;

2.存在常数q≥e2λα使得λ1+qλ2+M2＜c，且有0＜dk=max{(1+b1)2，(1+b2)2，(1+b3)2}≤1;

3.如果存在常数γ＜-1，使得

那么系统(8)是全局指数稳定的.

3 仿真

考虑系统(7)(8)的一个具体实例.取k=0.06，μ=1，α=0.5，βf=1，βc=2，ρ=0.5，δ=0.1，此时，

矩阵A，G随着τ1的变化而变化.对于系统(7)没有加脉冲控制时，系统的零解是不稳定的或者发散的.当选初值X(0)=(1.3，1.2，1.1)T，取τ1=10，τ2=9时，系统图像如图1和图2所示，显然图1充分说明了在不加脉冲控制的情况下，系统(7)的价格出现了震荡，即所谓的不稳定.图1呈现的不稳定现象又是有区别的，可见市场价格，趋势价格以及基本价值的稳定性趋势是存在差异的.图2则显示在不加脉冲控制的情况下，系统(7)的价格均发散了.

图1 未加脉冲控制时p与u，F出现震荡Fig.1 Without impulse control p and u，F volatility

图2 未加脉冲控制时p与u，F发散Fig.2 Without impulse control p and u，F

加入脉冲控制，选择脉冲间隔Δt=5，τ1=4，作为固定值，此时

取τ2=3，若选择脉冲参数

则

(1)q=3≥e2λα=2.72，λ1+qλ2+M2=0.9652＜c=1，

(2)5=τ≤tk-tk-1≤α=5，则有

如图3所示系统(6)的零解在经过一段时间的震荡之后完全达到全局指数稳定.此图显示了在达到全局指数稳定的过程中，市场价格，趋势价格和基本价值呈现的震荡方式又是不一样的.

图3 τ1＞τ2时加进脉冲参数Fig.3 Whenτ1＞τ2 added into pulse parameters

时p，与u，F的稳定性图，当选取

时，其他参数固定不变，通过观察，我们知道它不满足定理条件，系统的稳定性情况如图4所示，图4显示了通过一段时间的震荡之后，系统价格也能实现全局指数稳定.这说明实现定理1中实现全局指数稳定的条件是保守的.

图4 τ1＞τ2时加进脉冲参数Fig.4 Whenτ1＞τ2 added into pulse parameters

时p与u，F的稳定性图，比较图3和图4，添加不同的脉冲参数，股票价格实现稳定的时间间隔是不一样的.若选择的脉冲参数满足定理条件，那么实现稳定的时间间隔比较短，否则，时间间隔相对来说较长.这表明，国家实行宏观调控，合理与否对实现股票价格稳定的速度起着重要作用.

改变τ2的值使得τ2=6＞τ1，为满足定理1，脉冲间隔Δt做出相应的变化，有Δt=7，且

此时系统价格的稳定性情况如图5所示，

图5 τ1＜τ2时加进脉冲参数Fig.5 Whenτ1＜τ2 added into pulse parameters

当

时，p与u，F的稳定性图，比较图3和图5，τ1和τ2的大小情况相反时，只要脉冲间隔能做出相应的改变，即使不改变脉冲参数也依然能实现股票价格的全局指数稳定.这说明在不同的延迟条件下，只要国家通过合适的即时宏观调控，就能实现价格的全局指数稳定.图3，图4，图5也充分表明脉冲间隔在实现价格稳定的过程中起着重要作用.

4 结论

这篇论文通过添加脉冲控制，对股票价格系统中的价格稳定性进行，格系统中的价格稳定性进行了分析，采用了Matlab进行数值仿真，结果证明了理论方法的有效性.当然这是金融系统的一个特例.目前，尽管很多学者对数学金融学进行了大量的研究，并取得了丰富的有实际意义的理论结果.但是对脉冲控制带有延迟的股票价格系统的研究还不是很多，许多问题还有待进一步深入研究.不仅在股票价格控制中有所应用，在经济系统中，当物价上涨导致通货膨胀时，国家可以即时调高利息，以快速减少货币在市场中的流通量，这就是所谓的脉冲现象.脉冲现象在实际生活中经常发生.由于脉冲现象发生时，系统的状态量在极短的时间内会发生很大变化，此时普通的微分方程难以描述这一现象，而脉冲微分方程则能很好的描述这类现象.目前，脉冲控制在航天技术、生命科学、通讯、经济系统等中都有所应用.

1 Beja A，Goldman M.On the dynamic behavior of prices in disequilbrium.Journal of Finance，1980，35:235～247

2 He X，Zheng M.Dynamics of moving average rules in a continuous-time financial market model.Journal of Economic Behavior and Organization，2010，76:615～634

3 蒋贵荣，陆启韶，钱临宁.一类脉冲动力系统的状态反馈控制.动力学与控制学报，2005，3(4):17～23(Jiang G R，Liu Q S，Qian L N.A kind of pulse power system state feed-back control.Journal of Dynamics and Control，2005，3(4):17～23(in Chinese))

4 黄冬梅，徐伟，王亮.随机脉冲控制下超混沌复Lü系统的渐近稳定性.动力学与控制学报，2013，11(4):289～294(Huang D M，Xu W，Wang L.Under the random pulse control hyperchaos after Lu the asymptotic stability of the system.Journal of Dynamics and Control，2013，11(4):289～294(in Chinese))

5 Chiarella C，He X.Heterogeneous beliefs，risk and learning in a simple asset pricing model with a marke maker.Macro economic Dynamic，2003，7:503～536

6 Brock H，Hommes C.Heterogeneous beliefs and routes to chaos in a simple asset pricing model.Journal of Economic Dynamics and Control，1998，22:1235～1274

7 Hirshleifer D.Investor psychology and asset pricing.Journal of Finance，2001，64:1533～1597

8 He X Z，Li K，Wei J，Zheng M.Market stability switches in a continuous-time financial market with heterogeneous beliefs.Economic Modeling，2009，26:1432～1442

9 许斌，陈狄岚，孙继涛.一类具有功能反应的生物捕食系统的脉冲控制.生物数学学报，2004，19(1):77～81(Xu B，Chen D L，Sun JT.A class of biological predatorprey system with functional response of pulse control.Journal of Biomathematics，2004，12(1):77～81(in Chinese))

10 黄优良.一类两种群生物捕食系统脉冲控制的稳定性.安庆师范学院学报(自然科学版)，2007，13(2):80～83(Huan Y L.A class of two species of biological feed on the stability of the pulse control system.Journal of Anqing Teachers College(Natural Science Edition)，2007，13(2):80～83(in Chinese))

11 黄优良，张来.类功能性反应两种群食饵—捕食者模型的脉冲控制.太原师范学院学报(自然科学版)，2007，6(1):19～21(Huang Y L，Zhang L.Kind functional reaction of impulsive control and synchronization of two species-predator predator-prey system model.Journal of Taiyuan Normal University(Natural Science Edition)，2007，6(1):19～21(in Chinese))

12 张红雷.一类非线性生物动力系统的控制稳定性.徐州工程学院学报(自然科学版)，2009，24(4):65～68(Zhang H L.A class of nonlinear dynamical systems stability control.Journal of Xuzhou Engineering Institute(Natural Science Edition)，2009，24(4):65～68(in Chinese))

13 姚洪兴，潘虹，齐丽丽.一类含脉冲延迟反馈金融系统的稳定性分析.江苏大学学报(自然科学版)，2011，32(2):1671～7775(Yao H X，Pan L，Qi L L.A class of impulsive delay feedback in the financial system stability analysis.Journal of Jiangsu University(Natural Science)，2011，32(2):1671～7775(in Chinese))

14 Wu Q J，Zhou J，Xiang L.Global exponential stability of impulsive differential equations with any time delays.Applied Mathematics Letters，2008，23:143～147