Birkhoff系统的广义斜梯度表示*

梅凤翔 吴惠彬

(1.北京理工大学宇航学院，北京 100081)(2.北京理工大学数学学院，北京 100081)

引言

梯度系统对研究积分和解的稳定性十分方便.文献［1］研究了通常梯度系统的性质，文献［2］讨论了斜梯度系统.有关力学系统与梯度系统的研究已有一些结果，如文献［3-8］.通常斜梯度系统中的函数不包含时间.若包含时间，则称为广义斜梯度系统.广义斜梯度系统对研究非定常力学系统解的稳定性有重要价值.有关Birkhoff系统的稳定性研究大多限于定常系统［9］.本文期望借助广义斜梯度系统来研究一般Birkhoff系统的稳定性.

1 广义斜梯度系统

广义斜梯度系统的微分方程有形式

这儿及以后我们约定:同一项中，相同的活动指标表示对其求和，其中bij(X)=-bji(X)，X=(x1，x2，…，xm).若V不含时间t，则式(1)成为通常斜梯度系统.

按方程(1)求˙V，得

由(bij)的反对称性质，上式右端第二项为零，于是有

2 Birkhoff系统的梯度表示

Birkhoff系统的微分方程有形式［9-10］

其中B=B(t，a)为Birkhoff函数，Rμ=Rμ(t，a)为Birkhoff函数组，且

方程(4)一般还不能成为广义斜梯度系统(1).如果存在反对称矩阵(bμν(a))和函数V=V(t，a)满足下式

则它可成为广义斜梯度系统(1).

对半自治Birkhoff系统，有

此时，式(6)成为

只要取

则Birkhoff系统成为广义斜梯度系统.此时，若B正定，且有则解是稳定的.

3 算例

例1 Birkhoff系统为

试将其化为广义斜梯度系统，并研究其零解的稳定性.

解:由R1=a2，R2=0得

取

因V在a1=a2=0邻域内正定，且有

故零解a1=a2=0是稳定的.

例2 Birkhoff系统为

试将其化为广义斜梯度系统，并研究其零解的稳定性.

解:由R1=a2，R2=0得

取

则其成为一个广义斜梯度系统.V在a1=a2=0邻域内正定，且有

因此，零解a1=a2=0是稳定的.

4 结论

在非定常力学系统稳定性研究中，Lyapunov函数的构造是一大难题.本文首先提出了广义斜梯度系统并研究了它的性质，然后将非自治Birkhoff系统在一定条件下化成广义斜梯度系统，并利用广义斜梯度系统来构造Birkhoff系统的Lyapunov函数，从而解决了一些非自治Birkhoff系统的稳定性问题.

1 Hirsch M W，Smale S.Differential equations，dynamical systems and linear algebra.New York:Academic Press，1974

2 McLachlan R I，Quispel G R W，Robidoux N.Geometric integration using discrete gradients.Philosophical Transactions of the Royal Society A，1999，357:1021～1045

3 楼智美，梅凤翔.力学系统的二阶梯度表示.物理学报，2012，61(2):024502，1～4(Lou Z M，Mei F X.A second order gradient representation of mechanics system.Acta Physica Sinica，2012，61(2):024502，1～4(in Chinese))

4 梅凤翔，崔金超，吴惠彬.Birkhoff系统的梯度表示和分数维梯度表示.北京理工大学学报，2012，32(12):1298～1300(Mei F X，Cui J C，Wu H B.A gradient representation and a fractional gradient representation of Birkhoff system.Journal of Beijing Institute of Technology，2012，32(12):1298～1300(in Chinese))

5 梅凤翔.关于梯度系统.力学与实践，2012，34(1):89～90(Mei F X.On the gradient system.Mechanics in Engineering，2012，34(1):89～90(in Chinese))

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7 梅凤翔，吴惠彬.广义Hamilton系统与梯度系统.中国科学:物理学 力学 天文学，2013，43(4):538～540(Mei F X，Wu H B.Generalized Hamilton system and gradient system.Scientia Sinica Physica，Mechanica＆Astronomica，2013，43(4):538～540(in Chinese))

8 梅凤翔.分析力学(Ⅱ).北京:北京理工大学出版社，2013(Mei F X.Analytical Mechanics(Ⅱ).Beijing:Beijing Institute of Technology Press，2013(in Chinese))

9 梅凤翔，史荣昌，张永发，吴惠彬.Birkhoff系统动力学.北京:北京理工大学出版社，1996(Mei F X，Shi R C，Zhang Y F，Wu H B.Dynamics of Birkhoffian system.Beijing:Beijing Institute of Technology Press，1996(in Chinese))

10 Santilli R M.Foundations of theoretical mechanicsⅡ.New York:Springer-Verlag，1983