一类耦合抽象非线性梁方程组的整体解*

郝晓荣 张建文

(太原理工大学数学学院，太原 030024)

引言

2008年，Pedro Pablo Durand Lazo［1］运用Galerkin方法证明了以下抽象方程

整体解的存在性，其中0＜α≤1，M(s)，N(s)∈C(［0，+∞);R)，且对∀s≥0，m0，n0＞0，有M(s)≥m0，N(s)≥n0.

2010年，李润民，张建文［2］等研究了以下一类抽象非线性梁方程

在初始条件u(x，0)=u0，˙u(x，0)=u1，x∈Ω下整体弱解的存在性问题，其中Ω=(0，l)，0＜α≤1.

2011年，张建文，丁霞霞［3］等研究了以下抽象耦合非线性方程组

在一定的初始条件下整体弱解的存在性问题，其中Ω=(0，l)，l＞0，0＜α≤1.

在本文中，我们将研究如下的一类抽象耦合非线性梁方程组

在初始条件

下整体弱解的存在性问题，其中Ω=(0，l)，l＞0，0＜α≤1，0＜β≤1，函数M(.)，N(.)的定义同文［1］

1 预备知识

设{V，((.，.))}和{H，(.，.)}均为实的Hilber t空间，V连续且稠密地嵌入到H中，算子A是由三重结构(V，H，((.，.)))定义的，则A是定义在Hilbert空间H上的正定自共轭算子，A的特征值{λj}满足0＜λ1＜λ2＜…＜λn＜…及λn→+∞(n→+∞)，它所对应的特征值向量{ωj(x)}j∈N+.

特别，s=0，时，记H=D(A0);并且记

引理1［4］(Gronwall不等式)设f∈L∞(0，T)，k≥0，c0为常数，若对一切t∈［0，T］下式成立:

则

引理2［4］设X，Y为Hilbert空间或可分的Banach空间，其对偶空间为X'，Y'，设Y连续且稠密地嵌入到X中，若uμ→u在L∞(0，T;X')中弱*收敛;且˙uμ→χ在L∞(0，T;Y')中弱*收敛;则χ=˙u在L(0，T;Y')中成立.

2 弱解的存在性

定理 设0＜α≤1，0＜β≤1，M(.)，N(.)∈C(［0，+∞);R)，存在m0，n0＞0，且对∀z≥0，有M(z)≥m0，N(z)≥n0，A是定义在Hilbert空间H上的正定自共轭算子，若

则问题(1)和(2)存在一个弱解(u，v)=(u(x，t)，v(x，t))，对∀φ∈V，在D'(0，T)中，满足方程

及初始条件

且

证明:记Vm为A的前m个特征向量ω1，ω2，…，ωm所张成的子空间，显然Vm⊂D(A)，构造初值问题(1)，(2)的近似解序列{um(x，t)，vm(x，t)}如下:

使得∀φ∈Vm满足以下方程

在(8)，(9)中分别取φ=ωj(j=1，2…，m)，得

及初始条件

在D(A)中强收敛;

在D(A)中强收敛;

在H中强收敛;

在H中强收敛.

由常微分方程理论知，存在tj＞0，使得方程组(10)和(11)在相应的初始条件下，在［0，T］(T=上存在解{gjm(t)，hjm(t)}，从而可得近似解{um(x，t)，vm(x，t)}.

即

对(12)，(13)两式分别从0到t积分并相加得

类似于文献［1］由Gronwall不等式可得

且容易得出

其中C表示与m，t无关的正常数，且在不同的地方表示不同的值.

(8)，(9)两式中分别取φ=Aβum(t)，φ=Aβvm(t)，可得

将(16)，(17)分别从0到t积分，并将两式相加得

所以

因M(z)≥m0，N(z)≥n0，所以

即

所以

对上式应用Gronwall不等式得

且

由(15)，(19)知{um}，{vm}∈L2(0，T;D由Aubin-Lions［5］的紧性理论知，分别存在{um}，{vm}的子序列{uμ}，{vμ}及函数u，v使得{uμ}，{vμ}在L2(0，中分别弱收敛于在L2中分别弱收敛于也˙u，˙v.

进一步可证χ=u，η=v在L∞(0，T;V∩D中成立；在中成立.

现在固定j，取μ＞j，可证得

在D'(0，T)中收敛;

在D'(0，T)中收敛;

在L∞(0，T)中弱*收敛;

在L∞(0，T)中弱*收敛;

在L∞(0，T)中弱半收敛;

在L∞(0，T)中弱半收敛;

在L∞(0，T)中弱*收敛;

在L∞(0，T)中弱*收敛.

令μ→∞，则m→∞，再由基{ωj)在V中的稠密性，故∀φ∈V，当时，(u，v)在D'(0，T)中满足方程(4)，所以问题(1)，(2)的弱解存在.

再证定理中的弱解满足初始条件(5)，引入连续函数空间

3 结论

本文研究了一类抽象耦合非线性梁方程组在Hilbert空间中的初值问题，并证明了方程组的整体弱解的存在性和解的收敛性.

1 Pedro Pablo Durand Lazo.Global solutions for a nonlinear wave equation.Applied Mathematics and Computation，2008，(200):596～601

2 李润民，张建文.一类抽象非线性梁方程的整体解.太原理工大学学报，2010，41(4):449～452(Li R M，Zhang J W.The global solution for an abstract nonlinear beam equation.Journal of Taiyuan，University of Technology，2010，41(4):449～452(in Chinese))

3 张建文，丁霞霞.一类耦合非线性方程组的整体解.数学的实践与认识，2011，41(13):202～207(Zhang J W，Ding X X.The global solution for a coupled nonlinear equations.Mathematics in Practice and Theory，2011，41(13):202～207(in Chinese))

4 Ball J M.Intial-boundary value problems for an extensible beam.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1973(42):61～88

5 Lions J L.Quelques methodes de resolution des problemes aux limites non lineaires.Dunod:Gauthier-Villars，Paris，1969