例谈数学课堂教学中激活能力生长点的教学策略

罗彦东

（长春市十一高中，吉林 长春130062）

新课程标准强调数学思维能力在理性思维形成过程中的独特作用，指出“高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本目标之一”［1］，但在目前的数学课堂教学中，教师在帮助学生理解和掌握数学基础知识与基本技能方面，重视程度高做得比较到位，而在能力培养方面，往往教学目标不明确，方案不够有效，甚至教学设计中很少有能力培养环节，教学过程中也较多地关注数学知识的讲授，忽视能力的培养与提升，使得数学能力培养处于低效的教学状态，这直接影响了学生能力培养目标的达成。就能力培养目标来看，要结合本节课的知识特点和学生的能力基础，探寻这节课的能力培养切入点及能力发展路线，从而制订出每节课的明确的能力培养目标，并在课堂教学实施过程中有意识地调控教学，适时激活能力生长点，让学生的思维活动围绕着能力发展这根主线动起来，这样才能使知识学习与能力培养实现双赢。另外，知识学习是能力提升的载体，数学知识的内容不同，能力培养的目标就要有所侧重。如在空间立体几何单元的教学过程中，可主要培养学生空间想象能力与推理论证能力，函数单元可重点培养数据处理能力、运算求解能力和应用意识与创新意识等。

在课堂教学中，确定并激活能力生长点的基本流程是:1）确定能力培养目标。在每节课备课时，既要研究本节课要学习的知识在整体中的位置，弄清知识发展的来龙去脉，又要注意梳理出伴随知识发生发展过程中思维活动的路线图，确定本节课具体的能力培养目标。2）制订能力培养方案。根据学生已有知识基础与能力水平，确定本节课的能力生长点，制订具体的能力培养方案。3）实施能力培养方案。在教学过程中，按着预设计划适时激活能力生长点，开展学习探究活动，使课堂活动沿着能力发展路线来展开。4）达成能力培养方案。在关注学生对知识的理解的同时，注意引导与调控学生的思维发展情况，根据能力培养目标有意识地启动思维、引导思维、活化思维，使学生的数学思维能力的培养目标得以实现。下面笔者结合自己的实际教学案例，说明探寻并激活能力生长点的方法和要注意的问题。

一、在数学知识的起点处激活能力生长点

案例1:立体几何中“空间几何体的结构”的教学。

首先，明确课程标准对立体几何单元的能力要求。课程标准主要强调了要“培养和发展学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力”［1］，这就改变了以往经典立体几何体系的以演绎推理为主的思路，突出了空间想象能力的培养，为此教材用了大量篇幅展示实物图片、几何体模型、几何体图形、几何体结构图等。“定理证明”的作用也变为印证或强化空间想象的结果的正确性，不再纠缠于点线面位置关系的证明。有些定量化的问题，如各种空间角和距离，变为用空间向量来计算，这样的安排就是意在削枝强干，突出空间想象能力的培养，体现了实物→识图→画图→想图→用图→变图→空间想象力的能力培养路线。

其次，研究本节课的教材编写意图。明确知识体系是让学生在感受空间实物和模型基础上，概括出七种简单几何体的结构特征，梳理出本节课的能力培养目标是空间想象能力和抽象概括能力。围绕空间想象能力的培养，确定本节课“空间几何体的结构”的能力发展路线:观察→感知→分析→概括，进而达成空间想象能力和抽象概括能力的培养。

第三，确定本节课的能力生长点。由能力发展路线图可以看出，观察实物与感受几何体是空间想象能力与抽象概括能力的基础，学生可以在观察实物及模型中熟悉几何体并引发兴趣，因此，学生对实物的“观察、感知”就是本节课的能力生长点。

第四，制订本节课的能力培养计划。第一步是要给学生大量时间和机会去对实际物体进行观察，教师在教学中准备大量教具，并在指导学生“如何观察”上下工夫。第二步是在课堂上鼓励学生与学生之间进行观察方法交流，安排一些教师与学生互动的环节，引导学生认识到观察的角度不同或观察的方位不同，可得到不同的观察视觉效果。还可以“观察的错觉在魔术中的应用”为素材，进行趣味教学等，使学生不至于因“观察能力”不够而输在立体几何学习的起跑线上。第三步是让学生在观察几何体基础上，谈观察的感受，试着概括出七种几何体的结构特征，展示空间想象能力和抽象概括能力的培养成果。

第五，实施能力培养方案。按照计划激活本节课的能力生长点——让学生对实物进行“观察、感知”。课堂上给出足够的时间让学生对教师准备的实物和模型进行观察和比较，并进行归类、说明各类几何体的共同特征，进而达成学生对几何体结构特征的抽象与概括能力的提升。

在实际教学中，有的教师以课时不够或教具少等为由，把让学生充分而细致地观察这个激活能力生长点的重要环节一带而过，有时仅用电脑演示一下课件，就匆忙地给出七种几何体的定义，接着用大量时间让学生背诵柱、锥、台、球的概念，记忆几何体结构特征，然后便是大量做习题，学生感觉枯燥乏味没有兴趣，思维处于简单记忆理解的低层次，从而偏离了能力培养的目标。

立体几何的后续课，每节课都可以确定一个符合该节内容的能力培养生长点。如“空间几何体的三视图”的教学，能力培养目标仍然是空间想象能力，能力生长点可确定为由观察实物到画出三视图的“画图”与“识图”活动，能力发展路线为几何体→三视图，三视图→实物。前者是画图过程，后者是识图过程，“画图”是“识图”的基础。这节课就要给出充分时间让学生动手画图——就是在激活本节课在画图与视图中建立起来的空间想象能力的生长点。接着让学生之间进行画图技术的交流，给出机会让学生对画出的三视图进行成果展示，由此把空间想象能力的培养活动推向高潮。实际上，由几何体到三视图，以及给出三视图想象原几何体，这里渗透了把立体几何问题平面化的转化思想，从这个角度说，画出三视图既是一种技能也是一种数学思想。

由本案例可见，数学概念课教学中培养学生能力，就要结合数学知识的思维特点，挖掘概念形成中的思维主线及起点，这个起点往往就是数学能力的生长点。

二、在数学公式推导方法的根源处激活能力生长点

案例2:“等差数列前n项和公式”的教学。

教材的安排是利用关于高斯的“1＋2＋…＋100＝？”的故事引入数列求和的情境，再把等差数列求和问题与之类比，运用“倒序相加”的方法导出等差数列前n项和公式，接着就是运用公式解题。有的教师讲授这节课时，往往只是引导学生机械地向高斯的“倒序相加法”学习，学生在教师指定的路线上“简单模仿”，思维处于低水平的抑制状态，不能达到高效课堂效果。

运用寻找能力生长点的教学策略，可做如下教学处理:

首先，确定知识与能力目标。本节课的知识目标是:掌握等差数列前n项和公式及其简单应用。能力培养目标是:通过观察、类比、推广等思维活动，创造性地探索公式的推导方法，培养学生创新意识和推理论证能力。

其次，确定本节课的思维活动路线:分析数列特点→探究求和方法→推导求和公式→利用公式解题，即依据等差数列特点，探究等差数列求和的方法，在应用公式解题中体会公式的价值。

第三，确定本节课的能力生长点。由思维活动路线可知，让学生依据等差数列特点探究等差数列求和的各种可能思路，应是本节课的重点内容，这样就确定了本节课的能力生长点是:探究求和的方法，即如何利用等差数列的“等差”特性，探究等差数列的各种求和方法。

第四，教学实施过程。教师围绕“探究”→“推导”这条思维能力的生长主线，指导学生探究活动。首先，在课题引入时教师介绍高斯的求和故事，然后提出问题激活能力生长点——高斯可能看到由1到100连续自然数相加的什么特点想出来这种方法的——点燃思维火花。这个阶段应给学生比较充裕的时间让他们独立的思考合作交流，学生可能得出多种合理猜想，如凑成常数列使加法变得简单的想法，即把各项凑成常数数列的想法，由于1＋2＋…＋100中各个被加数有很强的规律，如何利用这个规律成为思考的重点，若把和式每项取出1，共100个1，相加得100，接下来就是99个1相加得99，以此类推，得到100＋99＋…＋3＋2＋1，最后对应项相加，各项都是同一个常数101，共100项，这样就自然地得到了“倒序相加”的求和方法。接着，教师通过提出“等差数列只能利用倒序求和法来求和吗”、“哪些数列适合运用倒序相加法求和”等问题引导学生由特殊向一般做推广研究，进一步激发学生们的求知欲，让学生通过自主探究可得出等差数列求和的各种方法和可能思路。如“倒序相加法”“数学归纳法”“分组求合法”等，从而创造性地推导等差数列前n项和公式，把学生思维活动引向抽象概括能力的提升。

最后，教师在学生充分探究的基础上可做思维能力的拔高点拨，指出一般数学公式追求的一些朴素思想，如数学公式的简约化、模型化、特殊化与普适性等数学思想，并指出数学公式推导过程中必不可少的手段是适当变形、巧妙构造等数学技巧与技能。这样来处理本节课，学生的收获不仅在于掌握等差数列求和公式，更重要的是学会了数列求和的一般思路和数学规则，培养能力的目标才能落实到位。为后续课的等比数列求和公式推导做出了示范。

讲授数学公式时，有的教师比较注意公式的推导过程和公式的运用，忽视在公式推证前的一些教学活动，学生感觉“公式来得突然了些”，收获往往停留在记忆公式和套用公式的低层次水平上，能力培养也仅仅是记忆公式和解题中的机械模仿。数学公式虽然是教条的，但研究公式时的思维应该是活跃的。公式推导中应该让思维处于发散、灵活的机智状态中，把公式教学的重心前移，探索公式的背景、公式的来源、公式各种证明方法、公式的适用范围等等。使数学公式来得更有道理些，就应该挖掘数学公式形成过程中隐含的思维线索，这个线索的关键性思维活动点就可以设计成我们公式教学中能力培养的生长点。

三、在数学知识的独特研究方法中激活能力生长点

案例3:“数列的概念与简单表示”的教学。

不同知识蕴藏的研究方法不尽相同，教学中应注意探寻所教知识的特色，依据这些特色来寻找能力生长点、制订能力培养目标。《数列》一章着重培养学生的归纳能力、类比能力、抽象概括能力和推理论证能力。用科研方法的视角看数列理论，最直接最朴素的研究方法就是把数列“逐项摆出来”进而“归纳看规律”，再按规律的不同进行“分类研究”，这样就得到数列研究的思维发展路线——列举→归纳→抽象概括→分类研究→推理论证→解决问题。研究方法的特点是“逐项考查”，即对各个数据项进行逐项考查归纳出规律来，规律的获得虽然也是用函数的思想，但这不像一般函数那样自变量与函数值可能都是连续的实数，而数列的“自变量”（序号）是离散的非零自然数。

本节课“数列的概念与简单表示”是数列知识单元的起点，也是数列研究方法的首次展示，在备课阶段，教师应该探究数列理论是如何兴起、发展及逐步形成的过程，从中找到数列研究的思考方法的特点，这从数学史料上可以得到回答。事实上数列研究起源于生产生活的需要，在古希腊毕达哥拉斯学派的数学家们，是“在沙滩上画点或用小石子表示数”［2］进行数列研究的，教材就是在讲述研究“三角形数”“正方形数”的基础上给出数列概念的。可见，本节课的研究可以较好地培养学生的“列举推理能力”，因而本节课的能力生长点就确定为:把数列各项依次列举出来，进行观察、归纳，进而猜想数列的规律，这也正是数列研究的最基本方法。

在实施本节课教学时，可以把教学的重心前移，把学生思维活动的重点设计为:让学生动手列举、亲眼观察、独立思考、自主归纳，激活其能力的生长点；学生思考的方向就明确在探究项与序号之间规律上，也就激活了学生思维。教师教学活动的重点则放在指导学生观察的方法，比如引导学生观察数列的项与序号间的函数关系，项与项间的递推规律和大小变化规律等。这种抓住数列研究特色开动思维的教学，可较好地提升学生的列举推理的能力，为学生对数列的研究能力的提升奠定基础。

四、在习题课教学的审题中激活能力的生长点

通常习题课教学中，教师所讲的审题思路都是事先准备好的“成功思路”，极少有教师展示“失败的探索”，重视习题解法缺少“此题该如何想？还能怎么解？”的分析过程，这样的习题课教学，学生思维处在简单记忆模仿层面，能力培养的效果就大打折扣了，笔者认为不妨把探索解题途径的整个思维活动过程，包括行不通的思路，都原原本本地展示给学生，“展示审题思维全过程”就是习题课的能力生长点。

案例4:“双变量条件最值问题习题课”的教学。

题目:对于c＞0，当非零实数a，b满足4a2－2ab＋4b2－c＝0，且使最大时，求的最小值（2014年辽宁卷第16题）。教师在讲解本题时应该注意思维能力的培养，展示解题途径的探索过程。

思路1:本题由于题目中所含字母多、叙述比较抽象，题意不好理解，其中最大的难点是“使最大”的条件难以发现，因此，教师可以围绕“绝对值”作引导，提出问题:“看到绝对值可否想到用绝对值定义加以讨论？”学生会发现这样的讨论结果与等式4a2－2ab＋4b2－c＝0没有明显关系，思路受阻，探索失败。这时学生的思维受到认知冲突的刺激，处于激活状态，发散思维开始启动，势必产生寻找其他思路的探索欲望。

最后，把激活了的思维向理性思维延伸，教师和学生一起总结“探索失败和成功的原因”，发现含绝对值的双变量条件最值问题的一般解法，就是把两个条件式的次数变为同次时，便于解题，而思路1的讨论法没有出现二次项无法沟通两个条件的关系。进一步探究，发现转化与构造是解决这类问题的通法，这样围绕思维发展展开习题课教学，就可以高效地促进能力的养成。

一般来说，在能力立意观点下的习题课教学中，有许多方面都能作为能力的生长点，如解题开始时理解题意的环节，把题中条件用示意图法、表格法等表示出来从而激活思维，这些都可作为思维的起点，就是能力培养的生长点。再如，探寻解题思路的逆向推导法、特殊化法、数形结合法、命题等价转化法等，每种方法都是启迪思维、活化能力的生长点。此外，面对一道数学题，一时没有解题思路时，能围绕这个问题不断地“琢磨”而不是轻易放弃它，就是解题欲望被激活的表现，是耐力与严谨等心理品质提升的生长点。

在实施激活与利用能力生长点的教学中，还应注意从更广泛的视野寻找能力生长点，比如，在教法上讲究课堂引入，在每节课的引入时就有效地激活能力生长点激发求知欲。在课堂用语上改变“问的方式”，可以发散地问、反过来问、结论不确定地问、征求意见式地问，或设计与本节课相关的有悬念的问题或数学史趣味故事等，这些做法都会极大地调动学生学习的积极性，激活学生的思维。总之，教师要不断地探索具体实用的能力培养措施，提高课堂教学中能力培养的效果。

［1］教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京:人民教育出版社，2003.

［2］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中课程标准实验教科书:数学5·必修A版［M］.北京:人民教育出版社，2007.