Diophantine方程x3+8=397y2的整数解

李润琪

(德宏师范高等专科学校数学系，云南 芒市 678400)

Diophantine方程x3+8=397y2的整数解

李润琪

(德宏师范高等专科学校数学系，云南 芒市 678400)

摘要：利用递归序列、同余式、Maple小程序、Pell方程的解的性质证明了Diophantine方程x3+8=397y2仅有整数解(x,y)=(-2,0)．

关键词：Diophantine方程；整数解；同余式；递归序列; Maple小程序

方程

x3+8=Dy2(x,y∈N,D>0，且无平方因子)

(1)

是一类重要的Diophantine方程，其整数解已有不少人研究过．1981年文[1]证明了D不能被3或6k+1型素因子整除时，如果D≡0,2,3(mod4)，则方程x3+8=Dy2仅有整数解；如果D≡11,19(mod20)，则方程x3+8=3Dy2无非平凡整数解；1991年文[2]给出了D含6k+1型素因子时方程x3+8=Dy2无非平凡整数解的一些充分条件；1992年文[3]给出了D含6k+1型素因子时，方程x3+8=Dy2无非平凡整数解的一些充分件．对于具体的D，文[4]-[8]已给出一些结果，但对于D=397时的情况至今没有解决.本文主要研D=397时方程(1)的解的情况.

引理1[9]设p=3n(n+1)+1≡13(mod24)为奇素数，则不定方程x3+1=2py2无正整数解．

引理2[10]方程x4-3y2=1仅有整数解(x,y)=(±1,0)．

定理Diophantine方程

x3+8=397y2

(2)

仅有整数解(x,y)=(-2,0)．

证明：因为x3+8=(x+2)(x2-2x+4)，所以gcd(x+2,x2-2x+4)=gcd(x+2,(x+2)2-6(x+2)+12)=

gcd(x+2,12)=gcd(x+2,22×3)．

(3)

又794=2×397，而397=3×11×12+1，且397≡13(mod24)为奇素数，故由引理1知，方程(3)仅有整数解(x1,y1)=(-1,0)，故方程(2)在此情形下只有整数解(x,y)=(-2,0)．

当2⫮x时有2⫮(x+2)，因此gcd(x-2,2×3)=1或3，即gcd(x-2,x2+2x+4)=

=1或3，从而方程(2)得出下列4种可能的分解：

因为2⫮x，则x+2和x2-2x+4也为奇数，故a和b也为奇数，则a2≡1(mod8)，b2≡1(mod8)．

下面分别讨论这4种情形下方程(2)的整数解的情况：

情形Ⅰ 由x+2=a2，得x=a2-2≡7(mod8)，代入x2-2x+4=397b2，得7≡x2

-2x+4=397b2≡5(mod8)，矛盾.故该情形下方程(2)无2⫮x的正整数解.

情形Ⅲ由x+2=3a2，得x=3a2-2≡1(mod8)，代入x2-2x+4=1191b2，得3≡x2-2x+4=1191b2≡7(mod8)，矛盾.故该情形下方程(2)无2⫮x的正整数解.

情形Ⅳ将x+2=1191a2代入x2-2x+4=3b2，整理得

b2-3(397a2-1)2=1

(4)

显然b=±xn，397a2-1=±yn(n∈Z).因此397a2=±yn+1．又y-n=-yn，所以只需考虑：

397a2=yn+1

(5)

由(5)，得yn≡-1(mod397).

容易验证下式成立：

yn+2=4yn+1-yn，y0=0，y1=1

(6)

下面对n进行讨论：

对递归序列(6)取模397，得周期为396的剩余类序列，且仅当n≡199,395(mod396)时，yn≡-1(mod397)．所以(5)式要成立，需n≡199,395(mod396)，则需n≡1(mod2)．

对递归序列(6)取模2，得周期为2的剩余类序列，且当n≡1(mod2)时，有yn≡1

(mod2)，当n≡0(mod2)时，有yn≡0(mod2)．又a为奇数，故397a2也为奇数，则由(5)得yn为偶数，因此有n≡0(mod2)．所以(5)式要成立，需n≡0(mod2)．

综上有，(5)式要成立，需n≡1(mod2)且n≡0(mod2)，显然不可能，故该情形下方程(2)无2⫮x的正整数解.

由此可见2⫮x时方程(2)无整数解．

综上有，不定方程方程(2)在仅有整数解(x,y)=(-2,0)．

参考文献：

[1] 柯召，孙琦．关于丢番图方程x3±8=Dy2和x3±8=3Dy2[J]．四川大学学报(自然科学版)，1981，(4)：1-5.

[2] 曹玉书．关于丢番图方程x3±8=3Dy2[J]．黑龙江大学学报自然科学学报，1991，(4)：18-21.

[3] 曹玉书，黄龙铉．关于丢番图方程x3±8=3Dy2[J]．黑龙江大学学报自然科学学报，1992，(2)：3-5.

[4] 黄勇庆．关于不定方程x3±8=Dy2[D]．重庆:重庆师范大学硕士学位论文，2007.

[5] 李亚卓.关于不定方程x3+8=21y2[J].科学技术与工程, 2009,(2)：364-365.

[6] 娄思远.关于不定方程x3+8=37y2[J].重庆工商大学学报(自然科学版)，2012，(1)：14-15.

[7] 孙浩娜.关于不定方程x3+8=103y2[J].重庆工商大学学报(自然科学版)，2014，(1)：14-15,21.

[8] 玉龙.关于不定方程x3+8=61y2的整数解[J].延安大学学报(自然科学版),2014,(3)：4-5,10.

[9] 杜先存，赵东晋，赵金娥.关于不定方程x3±1=2py2的整数解[J].曲阜师范大学学报,2013, (1)：42-43.

[10] 柯召，孙琦．谈谈不定方程 [M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.

(责任编校：晴川)

On Study of the Diophantine Equation x3+8=397y2

LI Runqi

(College of Mathematics, Dehong Normal College , Mangshi Yunnan 678400, China)

Abstract：That the Diophantine equationx3+8=397y2has only integer solution(x,y)=(-2,0) was proved with the assistance of recurrent sequence, congruence, Maple formality and some properties of the solutions to Pell equation.

Key Words：Diophantine equation; integer solution; congruence; recurrent sequence; Maple Formality

作者简介：李润琪(1965— )，男，云南腾冲人，德宏师范高等专科学校数学系讲师.研究方向：初等数论.

基金项目：云南省教育厅科学研究基金(批准号：2014Y462)资助项目.

收稿日期：2015-01-15

中图分类号:O156

文献标识码：A

文章编号：1008-4681(2015)02-0004-02